[PDF] Seconde - Racine carrée Soit un nombre positif le

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I) Définition

Soit ࢇ un nombre positif, le nombre positif dont le carré est égal à ࢇ , la racine carrée de ce nombre ࢇ. Elle se note ξࢇ.

Le symbole ξ se nomme radical.

Exemples :

Attention !!! L'écriture ξࢇ n'a pas de sens si ࢇ est un nombre négatif (dans les réels) dont le carré soit négatif. II) Multiplications et divisions de racines carrées

1) Propriétés

Quels que soient les nombres a et b positifs,

Quels que soient les nombres a et b positifs, et

b0

Exemples :

2) Démonstration

Nous allons démontrer que quels que soient les nombres ܽ et ܾ positifs : ξܽൈܾൌξܽൈξܾ

Donc ξܽൈܾ et ξܽൈξܾ

ils sont donc égaux. Par conséquent ξܽൈܾൌξܽൈξܾ

3) Méthode pour simplifier un radical :

aξ࢈ avec ࢈le plus petit possible.

Pour cela on utilise la propriété : ξࢇൈ࢈ൌξࢇൈξ࢈ ainsi que les carrés

parfaits : (4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ;

Exemples :

Exemple 1 : Simplifier le radical ξʹ͹

Réponse : ʹ͹ൌͻൈ͵ 9 est un carré parfait donc :

Exemple 2 : Simplifier le radical ξ͹ʹ

Réponse : ͹ʹൌ͵͸ൈʹ 36 est un carré parfait donc :

4) Simplifier une racine carrée au dénominateur :

Pour éviter des racines carrées au dénominateur dun quotient on transforme celui-ci afin de simplifier les calculs.

Méthode :

ł Si nous avons une expressions de la forme ࢇ

ξ࢈ il suffit de multiplier le

numérateur et le dénominateur par ξ࢈ . ł Si nous avons une expression de la forme ࢇ ࢈ାࢉξࢊ , nous allons utiliser la

forme conjuguée de ࢈൅ࢉξࢊ qui est : ࢈െࢉξࢊ et multiplier le numérateur et

le dénominateur par cette forme conjuguée . En utilisant la 3ème identité remarquable le dénominateur sera simplifié en un nombre entier

Exemples :

Exemple 1 : ହ

Exemple 2 : ହ

Le dénominateur est ͹൅ξ͵ , sa forme conjuguée est ͹െξ͵, on va multiplier le numérateur et

le dénominateur par ͹െξ͵, III) Propriété sur les additions de racines carrées

1) Propriété

La démonstration sera expliquée dans le chapitre fonction carré.

Exemples :

Attention il en résulte que : ξ૜૟൅ξ૟૝്ξ૜૟൅૟૝

Méthode :

aξ࢈ avec ࢈le plus petit possible.

Pour cela on utilise la propriété : ξࢇൈ࢈ൌξࢇൈξ࢈ ainsi que les carrés

parfaits : (4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ;

Exemples :

Exemple 1 : Simplifier le radical ξʹ͹

Réponse : ʹ͹ൌͻൈ͵ 9 est un carré parfait donc :

Exemple 2 : Simplifier le radical ξ͹ʹ

Réponse : ͹ʹൌ͵͸ൈʹ 36 est un carré parfait donc :

2) Comment réduire une somme ayant des racines carrées

Il existe pas de formule concernant la somme de racines carrées, mais nous pouvons calculer certaines sommes algébriques en simplifiant les racines carrées. Exemple 1 : Ecrire le nombre suivant sous la forme a ξܾ Exemple 2 : Ecrire le nombre suivant sous la forme a ξܾ b étant le plus petit possible. B = ʹൈ͹ൈξ͵൅ͷൈʹξ͵െ͵ൈ͵ൈξ͵

B = (14+10-9)ξ͵

B = 15ξ͵

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