[PDF] CHAPITRE 1 : Arithmétique Page 1. CHAPITRE 4 Calcul

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CHAPITRE 4 Calcul littéral et Identités Remarquables

OBJECTIFS :

- Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables. - 7HVPHU OM YMOLGLPp G·XQH IMŃPRULVMPLRQ RX G·XQ GpYHORSSHPHQPB

I. Les outils

1) La simple et la double distributivité

Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d et k on a :

Exemples :

143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )

= 143 x 100 + 143 x 2 = 14 300 + 286 = 14 586

102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 )

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9 = 20 000 + 900 + 400 + 18 = 21 318

A = 3(- 6x + 4)

= -18x + 12

B = (2x + 3)(3x - 4)

= 6x² - 8x + 9x ² 12 = 6x² + x - 12 k x ( a + b ) = k x a + k x b ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d k x ( a + b ) = k x a + k x b ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d k x ( a + b ) = k x a + k x b ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

2) Règle de suppression des parenthèses

Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses : - précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à

O·LQPpULHXU GHV SMUHQPOqVHVB

- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à

O·LQPpULHXU GHV SMUHQPOqVHV HQ VRQ RSSRVpB

Exemple : A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )

= 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x ) = 8 ² 3 + x ² 4 + 3x

= 4x + 1 3) Les trois identités remarquables Quelques soient les nombres relatifs a et b on a :

Voir les démonstrations de ces LGHQPLPpV GMQV OH ŃMOLHU G·H[HUŃLŃHVB

Exemples :

103²= ( 100 + 3 )²

= 100² + 2 x 100 x 3 + 3² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609

96²= ( 100 - 4 )²

= 100² - 2 x 100 x 4 + 4² = 10 000 - 800 + 16 = 9 216

105 x 95 = ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 )

= 100² - 5² = 10 000 - 25 = 9 975 (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b² (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²

II. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale, c·HVP OM PUMQVIRUPHU HQ XQH VRPPH GH termes.

1) Développer une identité remarquable

Exemples :

Développer en utilisant les identités remarquables

A = (x + 3)²

= x² + 6x + 9 B = (4 - 3x)² = 16 - 24x + 9x²

C = (2x + 3)(2x - 3)

= 4x² - 9

2) Application à des développements plus complexes Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes : (a + b)² = a² + 2ab + b² a est représenté par x : donc a² vaut x² b est représenté par 3 : donc 2ab vaut 2 x x x 3 = 6x e et b² vaut 3²= 9 (a - b)² = a² - 2ab + b² a est représenté par 4 : donc a² vaut 4²=16 b est représenté par 3x : donc 2ab vaut 2 x 4 x 3x = 24x e et b² vaut (3x )²= 9x² a est représenté par 2x : donc a² vaut (2x )²= 4x² b est représenté par 3 : donc b² vaut 3²= 9 (a + b)(a - b) = a² - b² (a - b)² = a² - 2ab + b²

A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )

= (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) = 4x² - 12x + 9 + 3x ² x ² + 15 - 5 x = 3x² - 14x + 24 ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

III. Factoriser une expression littérale

)MŃPRULVHU XQH H[SUHVVLRQ OLPPpUMOH Ń·HVP OM PUMQsformer en un produit de facteurs.

1) Le facteur commun est apparent

Remarque SRXU IMŃPRULVHU LO IMXP PURXYHU GMQV O·H[SUHVVLRQ XQ IMŃPHXU ŃRPPXQ puis utiliser la formule de simple distributivité.

Exemples :

Factoriser et réduire les expressions suivantes.

B = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²

= ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² = x² - 9 - (16 - 24x + 9x²) = x² - 9 - 16 + 24x - 9x² = -8x² + 24x - 25 (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²

Règle de suppression

des parenthèses précédées du signe - k a + k b = k ( a + b )

A = 4x - 4y + 8

= 4x - 4y + 4x2 = 4( x ² y + 2 )

B = x² + 3x - 5x²

= x x x + x x 3 - x x 5x = x ( x + 3 - 5x ) = x ( - 4x + 3 )

C = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x)

= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x) = (1 - 6x)[(1 - 6x) - (2 + 5x)] = (1 - 6x)(1 - 6x - 2 - 5x) = (1 - 6x)(-11x - 1)

Règle de suppression

des parenthèses précédées du signe -

2) IH IMŃPHXU ŃRPPXQ Q·HVP SMV MSSMUHQP

Remarque : pour factoriser, il faut utiliser une identité remarquable.

Exemples :

Factoriser et réduire les expressions suivantes. a² + 2ab + b²= (a + b)² a² - 2ab + b²= (a - b)² a² - b²= (a + b)(a - b) x² - 2x + 1 = (x - 1)² a² - 2ab + b²= (a - b)² avec a = x et b = 1

4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²

a² + 2ab + b²= (a + b)² avec a = 2x et b = 3

25x² - 49 = (5x + 7)(5x - 7)

a² - b²= (a + b) (a - b) avec a = 5x et b = 7 A = (2x + 3)² - 64 a² - b²= (a + b) (a - b) avec a = (2x + 3) et b = 8 =[(2x + 3) ² 8][(2x + 3) + 8] =[2x + 3 ² 8][2x + 3 + 8] =(2x - 5)(2x + 11)quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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