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CQP 099 - Mathématiques de base
Chapitre 8
Fonctions définies par parties
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
20 août 2018
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties1 / 53Introduction
Dans ce chapitre, nous verrons les fonctions définies par parties, notamment la fonction valeur absolue et quelques fonctions périodiques. Nous ferons une étude plus approfondie des fonctions contenant une valeur absolue. Chapitre 8 - Fonctions définies par parties2 / 53Plan du chapitre
1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
4Références
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties3 / 53Fonctions définies par parties
1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
4Références
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties4 / 53Fonctions définies par parties
Unefonction définie par partiesest une fonction dont la règle de correspondance s"exprime différemment selon les sous-ensembles du domaine. Lorsqu"on définit une fonction par parties, on doit s"assurer qu"à chaque valeur dex correspond au plus une image. Pour cela, il suffit que les parties de la définition correspondent à des sous-ensembles disjoints du domaine de la fonction. Chapitre 8 - Fonctions définies par parties5 / 53Fonctions définies par parties
Question éclair 8.1
Soit la fonction
f(x) =(2x+3 six<3
6xsix3:
Évaluez les quantités suivantes.
a)f(2) b)f74 c)f(3) d)f(8)Chapitre 8 - Fonctions définies par parties6 / 53Fonctions définies par parties
Le graphique d"une fonction définie par parties comporte autant de parties que la définition elle-même. Dans le même plan, on trace chaque section de courbe en tenant compte de la partie correspondante du domaine. Chapitre 8 - Fonctions définies par parties7 / 53Fonctions définies par parties
Question éclair 8.2
Représentez graphiquement la fonction
f(x) =(2x+3 six<3
6xsix3:Chapitre 8 - Fonctions définies par parties8 / 53
Fonctions définies par parties
Exercices 8.1
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties9 / 53Fonctions périodiques
1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
4Références
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties10 / 53Fonctions périodiques
Une fonctionf(x)est ditepériodiquesif(x+T) =f(x)pour un nombre réel positifTet pour toutx2Domf.La plus petite valeur possible deTest lapériodede la fonction.Chapitre 8 - Fonctions définies par parties11 / 53
Fonctions périodiques
Exercices 8.2
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties12 / 53Fonction valeur absolue
1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties13 / 53Fonction valeur absolue
Lavaleur absolued"un nombre réelaest notéejajet correspond à la distance, sur l"axe réel, entreaet l"origine. La valeur absolue d"un nombre est toujours positive. Chapitre 8 - Fonctions définies par parties14 / 53 Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]1Fonctions définies par parties2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties15 / 53 Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx] Lafonction valeur absolueest une fonction de la formef(x) =jxj, où jxj=( xsix0 xsix<0Chapitre 8 - Fonctions définies par parties16 / 53 Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx][3] Le domaine def(x) =jxjest l"ensemble des nombres réelsR, tandis que son image estl"ensemble des nombres réels positifsR+= [0;1[.Chapitre 8 - Fonctions définies par parties17 / 53
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Question éclair 8.3Soit la fonction
f(x) =jxj=( xsix<0 xsix0:Évaluez les quantités suivantes.
a)f(5) b)f p2 c)f(0) d)f73 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties18 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj1Fonctions définies par parties2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties19 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxjQuestion éclair 8.4Soit la fonctiong(x) =12
jxj. Évaluez les quantités suivantes. a)g(3) b)g34 c)g(0) d)g25 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties20 / 53Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Les effets du paramètre multiplicatifasont les mêmes que pour la fonction quadratique, que nous avons vue au chapitre précédent. Sijaj>1, on obtiendra un étirement vertical et, sia<0, une réflexion par rapport à l"axe des abscisses.[3] Chapitre 8 - Fonctions définies par parties21 / 53Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
À l"inverse, sijaj<1, on obtiendra une compression verticale et, sia<0, une réflexion par rapport à l"axe des abscisses.[3] Chapitre 8 - Fonctions définies par parties22 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxjQuestion éclair 8.5 Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =jxj? a)g(x) =23 jxj b)g(x) =4jxj c)g(x) =54 jxj d)g(x) =12 jxjChapitre 8 - Fonctions définies par parties23 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxjExercices 8.3 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties24 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj1Fonctions définies par parties2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties25 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxjQuestion éclair 8.6Soit la fonctiong(x) =12
x. Évaluez les quantités suivantes. a)g(3) b)g34 c)g(0) d)g25 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties26 / 53Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Les effets du paramètre multiplicatifbsont les mêmes que pour la fonction quadratique, que nous avons vue au chapitre précédent. Sijbj>1, on obtiendra une compression horizontale.[3] Chapitre 8 - Fonctions définies par parties27 / 53Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Sijbj<1, on obtiendra un étirement horizontal.[3] Chapitre 8 - Fonctions définies par parties28 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxjQuestion éclair 8.7 Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =jxj? a)g(x) =23 x b)g(x) =j 4xj c)g(x) =54 x d)g(x) =12 xChapitre 8 - Fonctions définies par parties29 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxjExercices 8.4 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties30 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k1Fonctions définies par parties2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties31 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+kQuestion éclair 8.8 Soit la fonctiong(x) =4jx+2j+1. Évaluez les quantités suivantes. a)g(3) b)g(2) c)g(0) d)g(2)Chapitre 8 - Fonctions définies par parties32 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Comme c"était le cas avec la forme canonique de la fonction quadratique, les paramètreshetkdans l"équationg(x) =ajb(xh)j+kpermettent de déplacer la fonction originale dans le plan. En particulier, le paramètrehpermet les translations horizontales et le paramètrek permet les translations verticales. Chapitre 8 - Fonctions définies par parties33 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k[3] Chapitre 8 - Fonctions définies par parties34 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+kQuestion éclair 8.9 Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =jxj? a)g(x) =jx4j b)g(x) =jxj 2 c)g(x) =jx+3j+1 d)g(x) =jx1j 3Chapitre 8 - Fonctions définies par parties35 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+kQuestion éclair 8.10 Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =jxj? a)g(x) =12 jx+5j+2 b)g(x) =2jx1j+3 c)g(x) =13 j3x4j 8 d)g(x) ==312 x25Chapitre 8 - Fonctions définies par parties36 / 53 Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+kExercices 8.5 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties37 / 53 Résolution d"une équation contenant une valeur absolue1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties38 / 53 Résolution d"une équation contenant une valeur absolue La résolution de l"équationjxj=c, oùcest une constante positive, consiste à chercher la ou les valeurs dexsituées à une distance decunités de l"origine sur l"axe réel. On trouve donc deux solution s :x=cetx=c. De la même façon, on peut résoudre une équation de la formejf(x)j=cen considérant les deux cas possibles : jf(x)j=c()f(x) =couf(x) =c:Chapitre 8 - Fonctions définies par parties39 / 53 Résolution d"une équation contenant une valeur absolueQuestion éclair 8.11
Résolvez les équations suivantes.
a)jxj=43 b)jxj=1Chapitre 8 - Fonctions définies par parties40 / 53 Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Lorsque le membre de droite de l"équation n"est pas une constante, on peut procéder de la même façon. Ainsi, pour résoudre une équation de la formejf(x)j=g(x), on résout les deux équationsf(x) =g(x)etf(x) =g(x), puis on vérifie les solutions dans l"équationinitialejf(x)j=g(x), et on rejette celles qui ne vérifient pas l"équation.Chapitre 8 - Fonctions définies par parties41 / 53
Résolution d"une équation contenant une valeur absolueExercices 8.6
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties42 / 53 Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue1Fonctions définies par parties
2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties43 / 53 Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue On a vu précédemment que sijxj=c, une distancecsépare le nombrexde l"origine. SijxjQuestion éclair 8.12
Résolvez les inéquations suivantes.
a)jxj<52 b)jxj 2Chapitre 8 - Fonctions définies par parties45 / 53 Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolueOn peut généraliser cette propriété à la valeur absolue d"une expression algébrique
quelconque : jf(x)jQuestion éclair 8.13
Résolvez les inéquations suivantes.
a)j5x+2j<3 b)j32xj 4Chapitre 8 - Fonctions définies par parties47 / 53 Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolueQuestion éclair 8.14
Résolvez les inéquations suivantes.
a)jxj>52 b)jxj 2Chapitre 8 - Fonctions définies par parties48 / 53 Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolueExercice 8.7
Chapitre 8 - Fonctions définies par parties49 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k1Fonctions définies par parties2Fonctions périodiques
3Fonction valeur absolue
Définition et caractéristiques de la fonctionf(x) =jx]Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajxj
Caractéristiques de la fonctiong(x) =jbxj
Représentation graphique de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k Résolution d"une équation contenant une valeur absolue Résolution d"une inéquation contenant une valeur absolue Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+k4Références Chapitre 8 - Fonctions définies par parties50 / 53 Caractéristiques de la fonctiong(x) =ajb(xh)j+kExercice 8.8 Chapitre 8 - Fonctions définies par parties51 / 53Références
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2Fonctions périodiques
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