[PDF] Calcul-du-PGCD.pdf Calcul du PGCD. Définition :





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7.6. Lalgorithme de Bézout-Euclide. Soient a > b deux nombres

Après avoir utlisé l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd on monte du bas vers le haut. 7.7. Méthode par substitutions. Nous référons au calcul de 



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Calcul du PGCD. Définition : Le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de deux entiers est le plus grand nombre capable de diviser 2 entiers de manière complète 



5.6. Le lemme clé utilisé dans la preuve de lalgorithme dEuclide

Deux méthodes de calcul : l'algorithme de Bézout-Euclide. utilisé l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd on monte du bas vers le haut.



Arithmétique Étude des nombres entiers Calcul du PGCD

- Calculer le PGCD de deux entiers. - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. - Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.



Théorème (Division-avec-reste)

diviseur d = pgcd(nm) par récurrence (m > 0). Soit n = qm + r et 0 ? r < m. Si r = 0 alors d = m et on est prêt avec le calcul.



8.7. Un lemme clé. Soient a > b deux nombres naturels. Si b = 0

Deux méthodes de calcul : l'algorithme de Bézout-Euclide. Ce lemme nous donne par récurrence aussi un façon de trouver deux entiers s t tel que sa + tb = pgcd( 



6.6. Lalgorithme de Bézout-Euclide. Soient a > b deux nombres

Après avoir utlisé l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd on monte du bas vers le haut. 6.7. Méthode par substitutions. Nous référons au calcul de 



Chapitre 4. - Autour du PGCD de deux entiers

Son étude s'impose donc. Nous verrons aussi comment écrire sur la TI-Nspire le calcul des coefficients de Bézout. Sommaire. Chapitre 4. Autour du PGCD 



Aujourdhui nous allons discuter : • Lalgorithme dEuclide pour

Il y a une autre méthode qui est un peu plus propre avec moins de risque d'erreur de calcul. Cette méthode calcule le pgcd et la combinaison Z-linéaire.



Calcul du PGCD de deux nombres entiers par la méthode des

Nous admettrons que cette méthode donne : PGCD ( 295 ; 177 ) = 59 . Première partie : Sans l'ordinateur. Calculer en utilisant l'algorithme d'Euclide



Sur le chemin du brevet Arithmétique et fractions

1) Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de son choix 2) En déduire la forme irréductible de la fraction Exercice 6 **: 1) Sans aucun calcul expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction 2) Calculer le PGCD des nombres 4 114 et 7 650 avec la méthode de son choix en détaillant les calculs

Comment calculer le PGCD d'un nombre ?

Le PGCD de deux nombres est égal à celui de l'un deux et du reste de la division de l'autre par l'un. Formulons la division; elle donne 10 pour reste. Le reste avec le dividende donne le même PGCD.

Qu'est-ce que le calcul PGCD ?

Remarque : GCF, GCD et HCF sont les mêmes termes et sont utilisés pour représenter le même concept. Le calcul pgcd est un outil de recherche pgcd efficace qui calcule le plus grand facteur commun (le plus élevé) des nombres donnés en utilisant : Outre pgcd, il calcule également le plus petit commun multiple (PPCM) pour les nombres donnés.

Comment calculer les coefficients du PGCD?

La propri´et´e ´el´ementaire 2) du pgcd montre qu’il su?t de savoir d´eterminer ces coe?cients dans le cas de deux entiers. On consid`ere donc deux entiers naturels non nuls a 0et a 1, a 1< a 0, 22 3. PGCD ET PPCM. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX a 16|a 0, et on conserve les notations utilis´ees dans leur algorithme d’Euclide.

Comment calculer le PGCD de 120 ?

car 3 est le plus grand diviseur commun de 15 et 9. car 11 est le plus grand diviseur commun de 22 et 33. Méthode 1 – La méthode de base : Écrire la liste des diviseurs de chaque nombre. Calculons le pgcd de 120 et 88. Diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Diviseurs de 9 : 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

Calcul du PGCDDéfinition :

Le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de deux entiers est le plus grand nombre capable de diviser 2 entiers de manière complète sans laisser de reste et ceci doit être valable pour le premier comme pour le deuxième de ces entiers.Exemple 1 : Le PGCD de 12 et de 18 c'est 6. Comment peut on arriver à définir ce PGCD ?

On utilise la décomposition en facteur premier pour réaliser un tel calcul12 = 22 . 3 18 = 2 . 32

J'utilise une fois chaque facteur présent dans les 2 nombres décomposésLe facteur 2 et le facteur 3 sont présents dans la décomposition de 12 et 18Donc je prends 2 et 3 que je multiplie pour obtenir le PGCD2. 3 = 6 Exemple 2 :

Le PGCD de 120 et de 630120 = 23 . 3 . 5630 = 2 . 32 . 5 . 7Dans cet exemple on remarque les facteurs communs sont :

2 3 et 5 Le 7 n'est pas utilisé car il n'est pas présent dans les deux Décomposition.PGCD de 120 et 630 = 2 . 3 . 5 = 30 120 se divise par 30 le quotient est 4630 se divise par 30 le quotient est 21ApplicationSi je dois transformer la fraction je sais que je peux diviser par 30 et ma fraction sera complètement réduite en

Remarque :

Si nous sommes en présence de deux décompositions et que le résultat de ces

décompositions nous donne des facteurs premiers répétés avec des exposants différents,

on doit prendre les facteurs premiers qui ont le plus petit exposant.Exemple : Je dois trouver le PGCD de 13824 et 1440Je décompose en facteur premier ces 2 nombres :

13824 = 29 . 33 et 1440 = 25 . 32 . 5

Je remarque que j'ai le facteur 2 et le facteur 3 apparaissent dans ces décompositions

avec des exposants qui ont une valeur différente.Dans ce cas, je prends les facteurs dont l'exposant est le plus petit.Pour réaliser le PGCD ci-dessus, je prendrai donc le 25 car il est plus petit que le 29

Et le 32 car il est plus petit que le 33.

Résultat de cette recherche de PGCD.PGCD de 13824 et 1440 25 . 32 = 32 x 9 = 288Contrôle 13824 : 288= 48 1440 : 288= 5Règle à retenir pour calculer un PGCD.

1.Il faut prendre les facteurs premiers communs aux nombres originaux2.Il faut choisir les facteurs qui ont le plus petit exposant3.Si il n'y a pas d'exposant, cela veut dire que c'est un facteur est a la puissance 1.

4.Multiplier ces facteurs pour obtenir un produit.5.Utiliser ce produit comme diviseur commun pour les nombres originaux.

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