[PDF] Concours dacc`es au cycle préparatoire aux concours dagrégation

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Institut preparatoire aux etudes scientiques et techniques de La Marsa

Concours d'acces au cycle preparatoire

aux concours d'agregation de mathematiques

Premiere epreuve Session 2018

Duree : 3 heuresLa qualite de la redaction, le soin de la presentation et la rigueur des raisonnements constitueront

un element important pour l'appreciation des copies. L'usage de tout ouvrage de reference, de tout dictionnaire et de tout autre materiel electronique est strictement interdit.

Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ^etre une erreur d'enonce, il la signalera

sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amene a prendre.Le sujet est compose de deux problemes independants.

Probleme 1.

Soitn2N, on designe par!nle nombre complexe!n= exp(2in ) et parUnle groupe des racinesn-iemes de l'unite, c'est-a-dire : U n=1;!n;!2n;::!n1n=!kn: 1kn. On rappelle que l'ordre dezdans le groupeUnest le plus petit entier strictement positifm veriantzm= 1.

Pour touspetk2N; p^kdesigne le PGCD depetk.

Partie A

Soitz2Un.

* On dit quezest uneracinen-ieme primitivede l'unite si l'ordre dezdansUnestn. *Pour tout entierm1, on noteRml'ensemble des racinesm-ieme primitives de l'unite et '(m) le cardinal de l'ensembleRm.

1. ExpliciterRmet'(m) pourm= 2;3 et 4.

2. Soientk2 f1;:::;ng:Montrer que l'ordre de!kndansUnestnn^k.

1

3. En deduire que

R n=!kn: 1knetn^k= 1.

4. ExpliciterRnet'(n) dans le cas ounest un nombre premier.

5. Montrer queUnest la reunion disjointe des ensemblesRdquanddparcourt l'ensemble

des diviseurs positifs den.

6. En deduire l'egalite :

n=X d=n'(d); ou la somme est consideree sur les diviseurs positifsdden.

Partie B

Pourm2N, le polyn^ome m(X) =Q

z2Rm(Xz) est appele lepolyn^ome cyclotomique d'indicem.

7. Soitpun nombre premier. Montrer que p(X) =p1P

k=0Xk.

8. Demontrer l'egalite

X n1 =Y d=n d(X) ou le produit est considere sur les diviseurs positifsdden.

9. SoientAetB2Z[X] deux polyn^omes a coecients dansZ. On suppose queBest

unitaire. SoitA=BQ+Rla division eulidienne deAparBdansC[X]. Montrer que le quotientQet le resteRsont dansZ[X]. (On pourra raisonner par recurrence sur le degre du polyn^omeA).

10. En deduire que

n2Z[X]. 2

Probleme 2.

Soitn2Netrun entier tel que 0rn.

On designe par :

M n(R) l'algebre des matrices carrees de taillena coecients reels . M n;p(R) l'espace vectoriel des matrices anlignes etpcolonnes a coecients reels. GL n(R) le groupe des matrices inversibles deMn(R).

Inla matrice unite deMn(R).

tAla matrice transposee deAetrg(A) le rang deA;pour toute matriceA2 Mn;p(R). On rappelle que deux matricesAetB2 Mn;p(R) sont dites equivalentes s'il existeP2 GL n(R) etQ2 GLp(R) tels queA=P:B:Q. On admet que deux matricesAetB2Mn;p(R)sont equivalentes si, et seulement si,rg(A) =rg(B). L'objectif de ce probleme est d'etudier la dimension maximale des sous espaces vectoriels de M n(R) formes par des matrices de rang inferieur ou egal ar. Les parties A et B sont independantes. La partie C utilise les resultats des parties A et B.

Partie A. Preliminaires

1. SoitX2 Mn;1(R). On suppose quetX:X= 0. Montrer queX= 0.

2. SoitM2 Mn(R). Montrer que ker(tM:M) = ker(M).

3. SoitA2 GLr(R),B2 Mr;nr(R),C2 Mnr;r(R),D2 Mnr(R) etMla matrice de

M n(R) denie par : M=A B C D (a) SoitK2 Mnr;r(R). Calculer le produit :Ir0 K I nr :M. (b) Montrer que la matriceMest equivalente a la matriceA B

0DCA1B

(c) En deduire querg(M) =rsi et seulement siDCA1B= 0. 3

Partie B

SoitVun sous espace vectoriel deMn(R). On dit queVverie la proprietePrsi : i.Pour toute matriceMdansV; rg(M)r. ii.Vcontient au moin une matrice de rangr.

Exemples:

4. SoitVl'ensemble des matricesMdont les (nr) premieres colonnes sont nulles.

Montrer queVverie la proprietePr. Determiner la dimension deV.

5. SoitV=fM2 Mn(R): tr(M) = 0g. Montrer queVverie la proprietePn.

6. SoitWr=0B

tB A :A2 Mnr(R),B2 Mr;nr(R) . Justier queWrest un sous espace vectoriel deMn(R) de dimensionn(nr).

Partie C

Dans cette partie,Vest unsous espace vectorieldeMn(R) qui verie la proprietePr.

On se propose de montrer que dimVnr.

SoitJrla matrice deMn(R) denie parJr=Ir0

0 0

7.Cas particulier: On suppose dans cette question que la matriceJrappartient aV.

(a) SoitM=0B tB A

2V\ Wr. Montrer que pour tout6= 0;la matrice

IrB tB A 2V (b) Montrer queA=1 tB:B;pour tout2R. ( On pourra utiliser la partie A) (c) En deduire queA=tB:B= 0, puis queB= 0. (d) En deduire que dimV+ dimWrn2et conclure.

8.Cas general.

(a) Justier l'existence de deux matrices inversiblesP;Q2 GLn(R) telles que J r2V0:=PV Q=fP:A:Q:A2Vg. (b) En deduire que dimVnr.

9.Application: Montrer que tout hyperplan deMn(R) contient au moins une matrice

inversible.4 Institut preparatoire aux etudes scientiques et techniques de La Marsa

Concours d'acces au cycle preparatoire

aux concours d'agregation de mathematiques

Deuxieme epreuve Session 2018

Duree : 4 heuresLa qualite de la redaction, le soin de la presentation et la rigueur des raisonnements constitueront

un element important pour l'appreciation des copies. L'usage de tout ouvrage de reference, de tout dictionnaire et de tout autre materiel electronique est strictement interdit.

Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ^etre une erreur d'enonce, il la signalera

sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amene a prendre.Le sujet est compose de deux problemes independants.

Probleme 1.

Soitfune fonction continue par morceaux surR+. On notera

A(f) =fp2R;t7!eptf(t) soit integrable surR+g;

et pour toutp2A(f);on poseF(p) =R+1

0eptf(t)dt:

La fonctionFest la transformee de Laplace def:On la notera souventL[f]:

1. Verier queA(f) est soitR;soit vide, soit une demi-droite de la forme [a;+1[ ou

]a;+1[ aveca2R:On note alors (f) =8 :inf (A(f)) lorsque cette borne inferieure existe

1siA(f) =R

+1siA(f) =; l'element(f) deRest appele l'abscisse de convergence def:L'ensembleA(f) est l'ensemble de convergence. 1

2. Exemples de calcul:

(a) Soitf1:t!tn; n2N:Montrer que(f1) = 0 etL[f1](p) =n!p n+1: (b) Soitf2:t!eat; a2C. Montrer que(f2) =0. Montrer que(f3) = 0 etL[f3](p) =wp 2+w2: (d) Soitf4:t!cos(wt); w >0. Montrer que(f4) = 0 etL[f4](p) =pp 2+w2:

3. Deux proprietes elementaires de la transformee de Laplace: On suppose queA(f)6=;:

(a) Montrer que la fonctionL[f] est continue surA(f): (b) Montrer que lim p7!+1L[f](p) = 0:

4. Quelques resultats theoriques:

(a) On suppose quefest de classeCnsurR+:CalculerL[f(n)](p) pourp2nT k=0Af(k): (b) Theoreme de la valeur initiale: On suppose que(f)<+1:Montrer que: lim p7!+1pL[f](p) =f0+: (c) Theoreme de la valeur nale: On suppose quefpossede une limite nie en +1:

Montrer queL[f] est denie (au moins) surR+et que

lim p7!0+pL[f](p) = limt7!+1f(t):

5. Injectivite de la transformation de Laplace:

(a) Soith: [0;1]!Cune fonction continue. Montrer que:

8n2N;Z

1 0 h(u)undu= 0 =)h= 0: (b) Soitf:R+!Ccontinue, soientp2A(f) eta >0:Soitgla fonction denie surR+parg(t) =Rt

0epuf(u)du:Montrer que

L[f](p+a) =aL[g](a):

1. On suppose que, pour toutn2N;L[f](p+na) = 0:Demontrer que

8n2N;Z

1 0 g ln(u)a u ndu= 0;

2. En deduire quegest nulle.

2 (c) Montrer alors que si une fonctionf;continue surR+et veriant(f)<+1;est telle que

8p2A(f);L[f](p) = 0;

alorsfest nulle surR+:

6. Exemple d'utilisation de la transformation de Laplace: Resoudre;en utilisant la trans-

formation de Laplace, dansR+: 8< :x

002x0= cos3t

x(0) = 1 xquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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