[PDF] Devoir de Mathématiques 3 : corrigé Exercice 1.Étude dune fonction

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PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornDevoir de Mathematiques 3 : corrige

Exercice 1.

Etude d'une fonction en notation puissance

On considere la fonctionfdenie par

f(x) =xx=exln(x)

La fonction fonction est denie surR?+. Elle est derivable surR?+comme composee dex?→xln(x)(produit de

fonctions usuelles) derivable surR?+etexpderivable surR. Nous avons alors : ?x >0, f?(x) = (ln(x) + 1)exln(x)

Etudions le signe def?(x).

f ?(x)>0??ln(x) + 1>0??x > e-1 Nous obtenons le tableau de variations :x0e-1+∞f ?(x)-0 +f(x)1?f(e-1)?+∞Les limites aux bornes se justient ainsi : lim x→0+xln(x) = 0par croissance comparee usuelle, donc par compositionlimx→0+exln(x)= 1 lim x→+∞exln(x)= +∞sans diculte.

Nous obtenons l'allure du graphe :1

PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornExercice 2. Un probleme de Cauchy La question 3 peut-^etre abordee m^eme sans avoir traite les precedentes. 1. O nv eriep aru nsi mplecal culq uep ourt outx?R\ {-1,1},

11-x2=12

11 +x+11-x?

Donc :

α=12

=βOn peut en deduire une primitive de la fonctionx?→11-x2(par exemple sur l'intervalleI=]-1,1[) :

x?→12 (ln(1 +x)-ln(1-x)) = ln? ?1 +x1-x?2.P ourt outt?]-π2 ,π2 [on pose :

F(t) =?

t

01cos(θ)dθ

On considere le changement de variablex= sin(θ). Nous avons donc : dx= cos(θ)dθ

θ= 0 =?x= 0etθ=t=?x= sin(t)

Nous obtenons :

F(t) =?

t 01cos

2(θ)cos(θ)dθ=?

t

011-sin2(θ)cos(θ)dθ=?

sin(t)

011-x2dx

Avec la question precedente on trouve donc :

F(t) =?

ln? ?1 +x1-x?? sin(t) 0 = ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)?3.O nr esouts ur]-π2 ,π2 [le probleme suivant : ?y?=-ytan(t) + 1 y(0) = 0 Il s'agit de resoudre une equation dierentielle lineaire d'ordre 1, resolue eny?. Equation homogene.La fonctiont?→tan(t)est continue sur]-π2 ,π2 [et admet pour primitiveln(cos). D'apres un theoreme du cours l'ensemble des solutions sur]-π2 ,π2 [de l'equationy?=-ytan(t)est : t?→λeln(cos(t)),λ?R? ou encore :

{t?→λcos(t),λ?R}•Solution particuliere.En cherchant une solution sous la formey(t) =?(t)cos(t)avec?derivable sur

]-π2 ,π2 [on obtient la CNS : ?(t) =1cos(t) 2

PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornLa question precedente nous donne une expression pour?ainsi qu'une solution particuliere :

y(t) = ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)? cos(t) •Conclusion.L'ensemble des solutions sur]-π2 ,π2 [de l'equation dierentielle est : t?→?

λ+ ln?

?1 + sin(t)1-sin(t)?? cos(t),λ?R?Avec la condition initiale il vientλ= 0ainsi que l'unique solution sur]-π2 ,π2 t?→ln? ?1 + sin(t)1-sin(t)? cos(t)Exercice 3.

Equations dierentielles du second ordre

Dans cet exercice on etudie deux equations dierentielles du second ordre. 1.

O nc onsiderele pr oblemesu ivant:

?y ??+ 3y=et+ 1 (E) y(0) = 0 y ?(0) = 0 (a)Resolution de l'equation homogene associee(E0)y??+ 3y= 0. L'equation(E0)admet pour equation caracteristique : X

2+ 3 = 0

Les racines sontr1=i⎷3etr2=-i⎷3. Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S 0=?

t?→λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t),(λ,μ)?R2?(b)Determination d'une solution particuliere.On determine une solution particuliere pour les equa-

tions : (E1)y??+ 3y=etet(E2)y??+ 3y= 1 ?Pour(E1), on cherche une solution particuliere de la formey1(t) =aet. Nous avons alors pour toutt?R,y?1(t) =y??1(t) =aet; ainsi (a+ 3a)et=etdonca=14 ?Pour(E2), on cherche une solution particuliere de la formey2(t) =b. Nous avons alors pour toutt?R,y?2(t) =y??2(t) = 0; ainsi

3b= 1doncb=13

Parprincipe de superpositiony=y1+y2est une solution de(E). (c)Ensemble de toutes les solutions de(E).Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S=? t?→λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t) +et4 +13 ,(λ,μ)?R2? .3

PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de Born•Conditions initiales.Soity?Stelle quey(0) = 0ety?(0) = 0.

Pour toutt?R:

y(t) =λcos(⎷3t) +μsin(⎷3t) +et4 +13 y ?(t) =-λ⎷3sin( ⎷3t) +μ⎷3cos( ⎷3t) +et4

Commey(0) = 0, nous avons

λ+14

+13 = 0.

Commey?(0) = 0, nous avons

μ⎷3 +

14 = 0

Il vient donc l'unique solution :

R-→R

t?-→ -712 cos(⎷3t)-⎷3 12 sin(⎷3t) +et4 +13 2. D eterminonsl 'ensembled essol utionsy:R→Rde l'equation dierentielle : y ??+ 2y?+y= 2e-t Nous procedons de la m^eme maniere que dans la question precedente. (a)Resolution de l'equation homogene associee(E0)y??+ 2y?+y= 0. L'equation(E0)admet pour equation caracteristique : X

2+ 2X+ 1 = 0

Il y a une racine doubler0=-1. Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S

0=?t?→(λt+μ)e-t,(λ,μ)?R2?(b)Determination d'une solution particuliere.Vu le second membre on cherche une solution particu-

liere de la formey(t) =a2t2e-t. Nous avons alors pour toutt?R,y?(t) =a2(2t-t2)e-tety??(t) =a2(2-4t+t2)e-t; ainsi en identiant on obtient : a

2= 1et la solution particulieret?→t2e-t

(c)Ensemble de toutes les solutions de(E).Nous avons l'ensemble des solutions deRversR: S=?t?→(t2+λt+μ)e-t,(λ,μ)?R2?Probleme 1. Variations autour d'une fonction

Partie A.Etude de la fonction

1.Questions de cours.Vu en cours.

On considere la fonctionfdenie par

f(t) = arccos?1-t1 +t? 2.

Le p lussi mplees td' etudierla f onctiong:t?→1-t1 +t. La fonction est denie et derivable surR\ {-1}et

g ?(t) =-2(1 +t)2. Son tableau de variations est : 4

PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de Bornx-∞ -1 +∞g-1HHHj- ∞+∞HHHj-1Commef(0) = 1on voit d'apres le tableau de variations que

1-t1 +t?[-1,1]si et seulement sit?R+

La fonctionarccosest denie sur[-1,1]. Donc d'apres la question precedentefest denie surR+. 3.

Etude de la derivabilite et reecriture def.

(a) La f onctionarccosest derivable sur]-1,1[. Lorsquet?R+nous avons1-t1 +t=±1si et seulement si t= 0. En conclusionfest derivable surR?+.

Pour toutt?R?+on a :

f ?(t) =-2(1 +t)2-1?

1-?1-t1 +t?

2

1(1 +t)21?t

(1 +t)2 f ?(t) =1(1 +t)⎷t (b)

La f onctionh:t?→2arctan(⎷t)est derivable surR?+(comme composee de la fonction racine carree

derivable surR?+et de la fonctionarctanderivable surR); sa derivee est t?→1⎷t(1 +⎷t

2)=1⎷t(1 +t)

(c)

La d eriveed el af onctionp recedentec o

ncide donc avecf?. Sur l'intervalle]0,+∞[les deux fonctions co ncident a une constante pres. En remarquant quef(1) =π4 =h(1)nous obtenons bien l'egalite de

ces deux fonctions sur]0,+∞[. En veriant qu'elles sont egales en0: nous obtenons l'egalite surR+.

4. Nous a vonsf(0) = arccos(1) = 0. Ensuitelimt→+∞1-t1 +t=-1etarccos(-1) =πdonc lim

t→+∞f(t) =π5.La d eriveed efetant strictement positive surR?+nous avons le tableau de variations :t0 +∞f(t)0?π5

PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornEt le graphe :

Partie B. Calcul d'une primitive

6.

En r emarquantq ue

t21 +t2= 1-11 +t2on obtient une primitive surRdet?→t21 +t2. t?→t-arctan(t)7.P ourt >0, on considere l'expression :

G(t) =?

t

1⎷s

1 +sds

A l'aide du changement de variabler=⎷son obtient :

G(t) =?

⎷t

12r21 +r2dr= 2[r-arctan(r)]⎷t

1= 2(⎷t-arctan(⎷t)) +π2

-2 8.

O n ecritl ap rimitiveF1defqui s'annule en1:

F

1(t) =?

t 1

2arctan(⎷s)ds

Par integration par parties (avecu?(s) = 1etv(s) = 2arctan(⎷s)) : F

1(t) =?2sarctan(⎷s)?t

1-? t

1⎷s

(1 +s)ds

On a une primitiveFdefsurR?+donnee par :

F(t) = 2tarctan(⎷t)-2(⎷t-arctan(⎷t)) = 2? arctan(⎷t)(t+ 1)-⎷2 ?6 PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornPartie C. Une equation dierentielle 9.

L' equationd ierentielle ar esoudrees tl ineairehom ogenedu p remieror drer esolueen y?. Une primitive sur

R ?+det?→12testt?→ln⎷t. L'ensemble des solutions surR?+de l'equation homogene est donc : {t?→λ⎷t,λ?R} 10.

L' equation ar esoudree stl ineaired up remieror drer esolueen y?. Nous avons deja l'ensemble des solutions de

l'equation homogene associee.

Cherchons une solution particuliere de l'equation complete de la formeλ(t)⎷touλest une fonction derivable

surR?+. Il vient : ?(t) =1⎷t(1 +t)=f?(t)

Ainsi, d'apres la question precedente,t?→⎷tf(t)est une solution particuliere de l'equation. Nous avons donc

l'ensemble des solutions surR?+:

{t?→(f(t) +λ)⎷t,λ?R}11.(?)Etant donne une solutionyλ(t) = (f(t) +λ)⎷til s'agit d'etudier la limitelimt→+∞yλ(t).

Il est clair quelimt→+∞⎷t= +∞etlimt→+∞(f(t) +λ) =π+λ. Pour avoir un produit de ces deux quantites

admettant unelimite nieil estnecessairequeλ=-π(nous avons alors un F.I.). Verions que c'est une conditionsusante. Siλ=-πil s'agit de calculer : lim Rappelons que pour toutX >0nous avonsarctan(X) + arctan?1X =π2 donc : (2arctan( ⎷t)-π)⎷t=-2arctan?1⎷t ⎷t=-2arctan?

1⎷t

?1⎷t

Orlimx→0arctan(x)x

= 1(taux d'accroissement) donc par composition des limites : lim t→+∞arctan?

1⎷t

?1⎷t = 1 Il existe donc une unique solution de l'equation dierentielle admettant une limite nie en+∞:

y(t) = (f(t)-π)⎷tetlimt→+∞y(t) =-212.La f onctiondsolvede la librairie Pythonsympypermet de resoudre formellement certaines equations die-

rentielles. Nous l'avons utilisee pour la resolution de l'equation(E1); cela s'obtient avec la sequence d'ins-

tructions : from sympy import * x=symbols('x') y=symbols('y',cls=Function) eqd=Eq(y(x).diff(x) - y(x)/(2*x) - 1/(1+x),0) print(eqd) print(dsolve(eqd,y(x)))Nous arrivons a en extraire la solution suivante : 7 PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de Borny(x) == sqrt(x)*(C1 -2*asin(1/sqrt(x + 1)))

Les solutions donnees par Python sont-elles correctes? Comparer-les aux solutions obtenues a l'issue de la

question 10.

Nous voyons appara^tre une solution particuliereg:t?→ψ(t)⎷tavecψ(t) =-2arcsin?1⎷t+ 1?

qui diere

de la notre. On verie sans diculte queψest derivable sur]0,+∞[etψ?=f?. Comme les fonctionsψetf

sont egales ent= 1elles concident sur]0,+∞[. Nous obtenons bien le m^eme ensemble de solutions. 8 PCSI 2014-2015MathematiquesLycee Bertran de BornBareme. Total /80

Presentation - Redaction. /3

Exercice 1. /8

8 pts : forme exponentielle + derivee et son signe + tableau + limites + graphes.

Exercice 2. /14

1. 4 pts; 2. 4 pts; 3. 4 pts.

Exercice 3. /15

1. (a) 3 pts, (b) 3 pts, (c) 3 pts; 2. 6 pts.

Probleme 1. /40

Partie A.1. (a) 3 pts, (b) 2 pts, (c) 3 pts; 2. 1 pt; 3. (a) 2 pts, (b) 2 pts, (c) 2 pts; 4. 2 pts; 5. 2 pts.

Partie B.6. 2 pts; 7. 3 pts; 8. 3 pts.

Partie C.9. 2 pts; 10. 2 pts; 11. 4 pts; 12. 3 pts.

ResultatsMoyenneMaxMin

Exercice 14,3380

Exercice 27,40140

Exercice 37,63151

Probleme 110,15242

P - R1,6530

TOTAL31,155710

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