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Préparer ma rentrée en Terminale

Option Maths complémentaires

CORRECTION

Eté 2020

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALELes bases

1 Calcul numérique

Règles de calculs sur les fractions et les puissances. Racine carrée d"un nombre réel positif et règles de calculs.

Prérequis

Exercice n

o1 1.

A=327-329

3 28

A=327(1-32)

3

27×3

A=1-9 3 A=-8 3 2.

B=3-6×55

(5

2)3×3-5.

B= 3-6×35×55×5-6.

B= 3-1×5-1.

B=1 15

Exercice n

o2 1. 48
4

2×3

3 2.

36 + 64

100
D= 10 3. 48
3 4

2×3

3 3 3

Exercice n

o3 1. H=-2 7-2 H=-2 7 + 2 7 + 2 7-4 7 2-22 7-4 3 2. 5 5 5 5 5 3 + 5 5 5 3 5 2 5 + 3 5 + 5 2 4 5 4 5

Exercice n

o4 1.

A=-2×(5)n+1+ 2×(5)n

A= 2×(5)n(-5 + 1)

A-8×5n

2.

B= (n+ 1)×2n+1-n×2n

B= 2n(2(n+ 1)-n)

B= 2n(2n+ 2-n)

B= 2n(n+ 2)

Mise en route2

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALEExercice no5 2 n+ 2n= 2×2n= 2n+1

2 Calcul littéral

Maîtriser les identités remarquables et les priorités de développements. Repérer ou mettre en évidence un facteur commun pour factoriser. Mettre en évidence une identité remarquable pour factoriser. Réduire des expressions au même dénominateur.

Prérequis

Développer des expressions

Recopie et complète les pointillés.

A= 2(3x-1)2-(5x+ 3)(2-3x)

A= 2( 9 x 2- 6x + 1)-(10x- 15x2 6 9x

A= 18x2-

12x + 2-10x+ 15x2 6 9x doncA=

33x2-13x-4

Exercice n

o6

B= (6x-4x2-27 + 18x) + 5(4x2+ 4x+ 1)

B= 6x-4x2-27 + 18x+ 20x2+ 20x+ 5

B= 16x2+ 44x-22

Exercice n

o7

C= 2(5x-1)2+ 10x-2

C= 2(5x-1)2+ 2(5x-1)

C= (5x-1)(2(5x-1) + 2)

C= (5x-1)(10x-2 + 2)

C= 10x(5x-1)

E= (4x-3)2-25x2

E= (4x-3)2-(5x)2

E= ((4x-3)-5x)((4x-3) + 5x)

E= (-x-3)(9x-3)

Exercice n

o8 B=2x

3x-1-5

B=2x

3x-1-5×3x-1

3x-1

B=2x-5×(3x-1)

3x-1

B=2x-15x+ 5)

3x-1

B=-13x+ 5

3x-1 C=4

2x+ 6-3

x-5 C=4

2x+ 6×x-5

x-5-3 x-5×2x+ 6 2x+ 6

C=4(x-5)-3(2x+ 6)

(x-5)(2x+ 6)

C=4x-20-6x-18)

2x2+ 6x-10x-30

C=-2x-38

2x2-4x-30

C=-x-19

x

2-2x-15

Mise en route3

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALE3 Equations Savoir développer et factoriser une expression. Connaître et savoir utiliser les identités remarquables. Résolution d"une équation du premier degré et d"une équation produit nul.

Equations du second degré.

Prérequis

Exercice n

o9 1. -x=x+ 16 -2x= 16 x=16 -2=-8doncS={-8} 2. (-x-4)(-x+ 7) = 0 -x-4 = 0ou-x+ 7 = 0 x=-4oux= 7doncS={-4;7} 3.

9(-3x-1)(6x-36) = 0

-3x-1 = 0ou6x-36 = 0 -3x= 1ou6x= 36 x=-1 3 oux= 6doncS={ -1 3 ;6} 4. -3x-1

8-5x= 0

Valeur interdite :8-5x= 0⇐⇒x=8

5 -3x-1

8-5x= 0⇐⇒ -3x-1 = 0etx̸=8

5 -3x-1

8-5x= 0⇐⇒x=-1

3 etx̸=8 5 S={ -1 3 5. 5-8x x-2= 3

Valeur interdite :x-2 = 0⇐⇒x= 2

5-8x x-2-3×x-2 x-2= 0 (5-8x)-3×(x-2) x-2= 0

11-11x

x-2= 0

11-11x

x-2= 0⇐⇒11-11x= 0etx̸= 2

11-11x

x-2= 0⇐⇒x= 1etx̸= 2 S={1}

Exercice n

o10 1. (5x-1)(x-9)-(x-9)(2x-1) = 0 (x-9)((5x-1)-(2x-1)) = 0 (x-9)(5x-1-2x+ 1) = 0

3x(x-9) = 0

3x= 0oux-9 = 0

x= 0oux= 9doncS={0;9} 2. (x-1)(2x-7) = 4x2-28x+ 49 (x-1)(2x-7) = (2x-7)2 (x-1)(2x-7)-(2x-7)2= 0 (2x-7)((x-1)-(2x-7)) = 0

Mise en route4

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALE(2x-7)(x-1-2x+ 7) = 0 (2x-7)(-x+ 6) = 0

2x-7 = 0ou-x+ 6 = 0

x=7 2 oux= 6doncS={7 2 ;6} 3. x+ 1 =9 x+ 1

Valeur interdite :x+ 1 = 0⇐⇒x=-1

x+ 1 =9 x+ 1⇐⇒(x+ 1)2= 9etx̸= 1 ⇐⇒x+ 1 = 3oux+ 1 =-3etx̸= 1 ⇐⇒x= 2oux=-4etx̸= 1

S={-4;2}

4. 3x-1 x-5=3x-4 x

Valeurs interdites :x-5 = 0⇐⇒x= 5

x= 0 3x-1 x-5=3x-4 x ⇐⇒x(3x-1) = (x-5)(3x-4)etx̸= 5etx̸= 0 ⇐⇒3x2-x= 3x2-4x-15x+ 20etx̸= 5etx̸= 0 ⇐⇒ -x+ 19x= 20etx̸= 5etx̸= 0 ⇐⇒x=20 18 =10 9 etx̸= 5etx̸= 0 S={10 9

Exercice n

o11 1.

6x2-15x-9 = 0

On aa= 6,b=-15etc=-9

∆ =b2-4ac= (-15)2-4×6×(-9) = 441 ∆>0donc l"équation admet deux solutions réelles : x 2a x 441
12 441
12 x 1=-1 2 etx2= 3 S={ 3;-1 2 2. 1 8 x2+x+ 2 = 0

On aa=1

8 ,b= 1etc= 2

Mise en route5

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALE∆ =b2-4ac= 12-4×18×2 = 0

∆ = 0donc l"équation admet une unique solution réelle. x 0=-b 2a x 0=-1

2×1

8 x0=-4

S={-4}

3. x

2+x+ 1 = 0. On aa= 1,b= 1etc= 1

∆ =b2-4ac= 12-4×1×1 =-3 ∆<0donc l"équation n"admet pas de solution réelle.

4 Etude de signes et inéquations

Savoir développer et factoriser une expression. Règle des signes pour un produit ou un quotient.

Étudier le signe d"une fonction affine.

Inéquations du second degré.

Prérequis

Inéquation du premier degré

Exercice n

o12 1.

6x+ 7>4x+ 8

6x-4x >8-7

2x >1 x >1 2 S=]1 2 2. x+ 1⩾9x+ 25 x-9x⩾25-1 -8x⩾24 x⩽24 -8 x⩽-3

S= ]-∞;-3]

Signe d"un produit

Exercice n

o13 1. (x-8)(-1-10x)⩽0

Signe de chaque facteur :

x-8>0⇐⇒x >8-1-10x >0⇐⇒x <-1 10

Mise en route6

SPÉCIALITÉ- ETÉ2020PRÉPARER SA RENTRÉE EN TERMINALExsigne de x-8signe de -x-10signe du produit-∞-1108+∞--0++0---0+0- S=] -∞;-1 10 ∪[8;+∞[ 2. (3x+ 2)2-(3x+ 2)(5x+ 1)⩽0 (3x+ 2)((3x+ 2)-(5x+ 1))⩽0 (3x+ 2)(-2x+ 1)⩽0

Signe de chaque facteur :

3x+ 2>0⇐⇒x >-2

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