Comment calcule-t-on les limites dune fonction rationnelle?
Chacune des deux parenthèses ayant pour limite 1 on obtient que la limite en l'infini de la fonction rationnelle est alors celle du quotient de ses termes de
Fiche technique sur les limites
4 Polynômes et les fonctions rationnelles. 4.1 Fonction polynôme. Théorème 1 Un polynôme a même limite en +? et ?? que son monôme du plus haut degré.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Cette limite s'appelle la dérivée de f en x0 on la note f (x0). une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur son ensemble.
Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions
1. 2(X2+1)2 . 2.3.4 Limite (technique asymptotique). Méthode. Soit F est une fraction rationnelle de degré strictement négatif. Alors la fonction
1 S Limites de fonctions (2) Calculs de limites
La limite d'une fonction rationnelle non nulle en + ? ou en – ? est égale à la limite du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré. Un polynôme non
Comportement asymptotique
6 sept. 2011 4 Limites des fonctions élémentaires ... 6 Limite en l'infini des fonctions polynômes et rationnelles ... 6.2 Fonction rationnelle .
LIMITES DES FONCTIONS
On dit que la fonction admet pour limite L en +? si ( ) est aussi proche Lever une forme indéterminée sur les fonctions polynômes et rationnelles.
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
(DL de fonctions usuelles à retenir absolument) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0. Ces formules sont
Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés - AlloSchool
4) Déterminons. D'après le théorème sur les limites des fonctions rationnelles en l'infini. Donc
LIMITE DUNE FONCTION
On dit que la fonction admet 0 comme limite en 0. et on écrit : lim Une fonction rationnelle est le rapport de deux fonctions polynômes : ?( ) =.
FONCTIONS RATIONNELLES - maths et tiques
3 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques II Variations des fonctions rationnelles Méthode : Étudier les variations d’une fonction rationnelle
Limites et comparaisons opérations sur les - MAXICOURS
x2 Limite d’une fonction composée lim x!+" cos( 2 5x lim5 x x Si on obtient une forme indéterminée ( « ? ? ? » « 0 x ? » « 0 0 » « ? ? ») pour : 1 une fonction polynôme de degré n : Chercher la limite de son terme du plus haut degré
Chapitre 4 - Limites et Asymptotes GYMNASE DE BURIER 2MSt - BDRP
une fonction rationnelle Dans le cas ou la fonction n'a pas d'asymptote horizontale d'un c^ote ou d'un autre elle peut avoir uneasymptote oblique (AO) C'est le cas lorsque le degre de N (x ) estegal au degre de D (x ) + 1 On trouve les asymptotes oblique en e ectuant la division euclidienne
Fiche technique sur les limites - lyceedadultesfr
a pour limite l l0 1* F ind 0 1* F ind *Appliquer la règle des signes 4 Polynômes et les fonctions rationnelles 4 1 Fonction polynôme Théorème 1 Un polynôme a même limite en +1et 1 que son monôme du plus haut degré Si P(x) = a nxn +a n1xn 1 + +a 1x +a 0x 0 alors lim x!+1 P(x) = lim x!+1 a nx n et lim x!1 P(x) = lim x!1 a nx n 4 2
Limites d'une fonction rationnelle aux bornes de son ensemble
On dit que la fonction ???? admet pour limite ???? en +? si ????( ) est aussi proche de L que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand On note cela : lim ????( )=???? Exemple : lim 2+1 ???? =2 • De façon plus rigoureuse : on dit que la fonction ???? admet comme limite ???? lorsque tend vers
Searches related to fonction rationnelle limite PDF
5) La limite en l’infini d’une fonction rationnelle est la même que celle du quotient de ses termes de plus haut degré lim x ?? f(x) = 2 lim x ?? 2 x x = lim x ?? 1 = 1 donc lim x ?? f(x) = 1 6) La droite D d’équation y = 1 est donc asymptote à C f Pour connaître les positions respectives de C f et D étudions le
Quelle est la limite d'une fonction rationnelle ?
À l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré. Voir le paragraphe III. Limites et croissances. Soit la fonction f définie sur par . La limite de f en est .
Quelle est la limite d'une fraction rationnelle ?
Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes. La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en et en est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Faites ces exercices : Limites de fractions rationnelles .
Comment déterminer la limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée ?
Rappelons que nous pouvons essayer de déterminer la limite d’une fonction rationnelle de forme indéterminée en suivant les étapes ci-dessous : factoriser le numérateur et le dénominateur. annuler tous les facteurs communs. assimiler la limite de la fraction simplifiée à la limite d’origine. déterminer la limite.
Quelle est la limite d'une fonction ?
LIMITES DES FONCTIONS I. Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction ! admet pour limite L en +? si !(%) est aussi proche de L que l’on veut pourvu que % soit suffisamment grand. Exemple : La fonction définie par !(%)=2+ ) * a pour limite 2 lorsque x tend vers +?.
Comportement
asymptotiqueTable des matières1 Limite infinie en l"infini
21.1 Limite positive infinie en + l"infini
21.2 Limite négative infinie en + l"infini
21.3 Limite positive infinie en - l"infini
31.4 Limite négative infinie en - l"infini
32 Limite infinie en a
42.1 Limite positive infinie en a
42.2 Limite négative infinie en a
42.3 Limite à droite et à gauche en a
53 Limite finie
53.1 Limite finie en l"infini
53.2 Limite finie en a
64 Limites des fonctions élémentaires
74.1 Limite en l"infini
74.2 Limite en zéro
75 Opération sur les limites et formes indéterminées
85.1 Somme de fonctions
85.2 Produit de fonctions
85.3 Quotient de fonctions
96 Limite en l"infini des fonctions polynômes et rationnelles
106.1 Fonction polynôme
106.2 Fonction rationnelle
116.3 Asymptote oblique
117 Étude d"une fonction
147.1 Plan d"étude
147.2 Une fonction très classique
157.3 Une fonction bornée
187.4 Fonction et point d"inflexion
19 PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES
21 LIMITE INFINIE EN L"INFINILe but de ce chapitre est de déterminer le comportement d"une fonction aux
bornes de son ensemble de définition.1Limiteinfinieenl"infini
1.1Limitepositiveinfinieen+l"infini
La fonctionfn"est pas majorée en+¥.
Aussi grand que soitM, il existe un réel
Aau delà duquelf(x)est plus grand
queMOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8M>0,9Atel quex>A)f(x)>M
On écrira dans ce cas :lim
x!+¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2On veut quex2>Msoitx>pM(pour x>0), on a donc :
8M>0 ,9A=pMtel quex>A)f(x)>M
On a ainsi : lim
x!+¥x2= +¥1.2Limitenégativeinfinieen+l"infini
La fonctionfn"est pas minorée en+¥.
Aussi grand négatif que soitm, il existe
un réelAau delà duquelf(x)est plus petit quemOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8m<0,9Atel quex>A)f(x) On écrira dans ce cas :lim
x!+¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR+par :f(x) =3px On veut que 3px(m+3)2, on a donc :
8m<0 ,9A= (m+3)2tel quex>A)f(x) On a ainsi : lim
x!+¥3px=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 1.3 LIMITE POSITIVE INFINIE EN-L"INFINI31.3Limitepositiveinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas majorée en¥.Aussi grand que soitM, il existe un réel Bau deçà duquelf(x)est plus grand
queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0,9Btel quexM
On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2 On veut quex2>M, x>pM(pour x<0),x 8M>0 ,9B=pMtel quexM
On a ainsi : lim
x!¥x2= +¥ 1.4Limitenégativeinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas minorée en¥.
Aussi grand négatif que soitm, il existe
un réelBau deçà duquelf(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0,9Btel quex On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3 On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjM On a ainsi : lim
x!01x 2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea. Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
lim x!0x>0f(x) = +¥ lim x!0x<0f(x) =¥ 3Limitefinie
3.1Limitefinieenl"infini
Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelAau delà duquelf(x)se trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Atel quex>A) jf(x)`j On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0 On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On écrira dans ce cas :lim
x!+¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR+par :f(x) =3pxOn veut que 3px(m+3)2, on a donc :
8m<0 ,9A= (m+3)2tel quex>A)f(x) On a ainsi : lim
x!+¥3px=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 1.3 LIMITE POSITIVE INFINIE EN-L"INFINI31.3Limitepositiveinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas majorée en¥.Aussi grand que soitM, il existe un réel Bau deçà duquelf(x)est plus grand
queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0,9Btel quexM
On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2 On veut quex2>M, x>pM(pour x<0),x 8M>0 ,9B=pMtel quexM
On a ainsi : lim
x!¥x2= +¥ 1.4Limitenégativeinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas minorée en¥.
Aussi grand négatif que soitm, il existe
un réelBau deçà duquelf(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0,9Btel quex On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3 On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjM On a ainsi : lim
x!01x 2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea. Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
lim x!0x>0f(x) = +¥ lim x!0x<0f(x) =¥ 3Limitefinie
3.1Limitefinieenl"infini
Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelAau delà duquelf(x)se trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Atel quex>A) jf(x)`j On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0 On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On a ainsi : lim
x!+¥3px=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES1.3 LIMITE POSITIVE INFINIE EN-L"INFINI31.3Limitepositiveinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas majorée en¥.Aussi grand que soitM, il existe un réelBau deçà duquelf(x)est plus grand
queMOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8M>0,9Btel quexM
On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) = +¥Exemple :Soit la fonction carrée soit :f(x) =x2On veut quex2>M, x>pM(pour x<0),x 8M>0 ,9B=pMtel quexM
On a ainsi : lim
x!¥x2= +¥ 1.4Limitenégativeinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas minorée en¥.
Aussi grand négatif que soitm, il existe
un réelBau deçà duquelf(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0,9Btel quex On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3 On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjM On a ainsi : lim
x!01x 2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea. Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
lim x!0x>0f(x) = +¥ lim x!0x<0f(x) =¥ 3Limitefinie
3.1Limitefinieenl"infini
Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelAau delà duquelf(x)se trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Atel quex>A) jf(x)`j On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0 On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
8M>0 ,9B=pMtel quexM
On a ainsi : lim
x!¥x2= +¥1.4Limitenégativeinfinieen-l"infini
La fonctionfn"est pas minorée en¥.
Aussi grand négatif que soitm, il existe
un réelBau deçà duquelf(x)est plus petit quemOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8m<0,9Btel quex On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3 On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjM On a ainsi : lim
x!01x 2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea. Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
lim x!0x>0f(x) = +¥ lim x!0x<0f(x) =¥ 3Limitefinie
3.1Limitefinieenl"infini
Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelAau delà duquelf(x)se trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Atel quex>A) jf(x)`j On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0 On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On écrira dans ce cas :lim
x!¥f(x) =¥Exemple :Soit la fonction cube soit :f(x) =x3On veut quex3 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjM On a ainsi : lim
x!01x 2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea. Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quem On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
lim x!0x>0f(x) = +¥ lim x!0x<0f(x) =¥ 8m<0 ,9B=3pmtel quex On a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea. Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queM On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2 On veut que
1x 2>M,x2<1M
, 1pM 8M>0 ,9h=1pM
tel quejxjOn a ainsi : lim
x!¥x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES42 LIMITE INFINIE EN A2Limiteinfinieena
2.1Limitepositiveinfinieena
La fonctionfn"est pas majorée autour
dea.Aussi grand que soitM, il existe un in-
tervalle ouvert centré enatel quef(x) est plus grand queMOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8M>0 ,9htel quejxajM
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) = +¥Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la courbe def Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =1x 2On veut que
1x2>M,x2<1M
, 1pMOn a ainsi : lim
x!01x2= +¥
2.2Limitenégativeinfinieena
La fonctionfn"est pas minorée autour
dea.Aussi grand négatif que soitm, il existe
un intervalle ouvert centré enatel que f(x)est plus petit quemOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8m<0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def 2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena. On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!axOn a alors :
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES2.3 LIMITE À DROITE ET À GAUCHE EN A5Remarque :On dit que la droitey=aest uneasymptote verticaleà la
courbe def2.3Limiteàdroiteetàgaucheena
Il peut se passer que la limite à droite et à gauche deane soit pas le même infini. Il n"y a alors pas de limite ena. On parle alors delimite à droite et à gaucheena.On écrit alors par exemple :lim
x!ax>af(x) = +¥etlim x!ax3Limitefinie
3.1Limitefinieenl"infini
Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelAau delà duquelf(x)se trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous :8e>0 ,9Atel quex>A) jf(x)`j On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0 On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On écrira alors :lim
x!+¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe defPAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES63 LIMITE FINIEExemple :C"est la cas de la fonction inverse en+¥. On a :
lim x!+¥f(x) =0On a le cas symétrique en¥Pour tout intervalle ouvert autour de`il existe un réelBau deçà duquelf(x)se
trouve dans cet intervalle On peut donner une définition plus rigoureurse ci-dessous :8e>0 ,9Btel quex On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =0 3.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJ On peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous : 8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On écrira alors :lim
x!¥f(x) =`Remarque :On dit que la droitey=`est uneasymptote horizontaleà la courbe def Exemple :C"est la cas de la fonction inverse en¥. On a : lim x!¥f(x) =03.2Limitefinieena
La fonctionfn"est pas défini ena.
Pour tout intervalle ouvertJcentré en`
, on peut trouver un intervalle ouvertI centré enatel quef(x)soit dans l"inter- valleJOn peut donner une définition plus
rigoureurse ci-dessous :8e>0 ,9htel quejxaj On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3) 1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =16 4Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair ¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥ 4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair ¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées 5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite` 0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1x On a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite` 0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signes Exemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2 On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1x On a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles 6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré. SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
lim x!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré. Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4 D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur. Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur. Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1 D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21 D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=43 6.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : lim x!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥. Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
On écrira dans ce cas :lim
x!af(x) =`PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES 7 Exemple :Soit la fonction définie surRf3gpar :f(x) =px+63x3 Déterminer la limite defen 3. Il faut alors changer la forme def(x). f(x) =px+63x3 (px+63)(px+6+3)(x3)(px+6+3) x+69(x3)(px+6+3)1px+6+3
En passant à la limite, on trouve : lim
x!3f(x) =164Limitesdesfonctionsélémentaires
4.1Limiteen+¥et¥f(x)x
n1 x npx1px lim x!+¥f(x)+¥0+¥0 lim x!¥f(x)+¥sinpair¥sinimpair0non défininon défini
Remarque :Pour les fonctions du type1x
n, l"axe des abscisses est asymptote en+¥et¥4.2Limiteen0
f(x)1 x n1px lim x!0x>0f(x)+¥+¥lim x!0x<0f(x)+¥sinpair¥sinimpairnon défini
Remarque :Ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote en 0.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES85 OPÉRATION SUR LES LIMITES ET FORMES INDÉTERMINÉES5Opérationsurleslimitesetformesindéter-
minées5.1Sommedefonctions
Sifa pour limite```+¥¥+¥Siga pour limite`0+¥¥+¥¥¥alorsf+ga pour limite`+`0+¥¥+¥¥F. Ind.
Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x+3+1x lim x!+¥x+3= +¥ lim x!+¥1x =09 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ 2) Limite en +¥et¥de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x lim x!+¥x2= +¥ lim x!+¥x= +¥9 ;Par somme lim x!+¥f(x) = +¥ lim x!¥x2= +¥ lim x!¥x=¥9 ;Par somme, on ne peut conclureForme indéterminée :+¥¥
5.2Produitdefonctions
Sifa pour limite``6=00¥
Siga pour limite`
0¥¥¥
alorsfga pour limite``0¥*F. ind.¥**Appliquer la règle des signesExemples :
1) Limite en ¥de la fonction précédente :f(x) =x2+x Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2 1+1xOn a alors avec le produit :
lim x!¥x2= +¥ lim x!¥1+1x =19 ;Par produit lim x!¥f(x) = +¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES5.3 QUOTIENT DE FONCTIONS92)Limite en +¥de la fonction définie surR+par :f(x) =xpx
On ne peut résoudre par la somme par c"est une forme indéterminée, on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =xpx=x 11px lim x!+¥x= +¥ lim x!+¥11px =19 ;Par produit lim x!+¥f(x) = +¥ 3) Limite à dr oitede 0 de la fonction définie sur Rpar :f(x) =1x sinx lim x!0x>01x lim x!0x>0sinx=09 >>;Par produit, on ne peut conclureForme indéterminée0¥
5.3Quotientdefonctions
Sifa pour limite``6=00`¥¥
Siga pour limite`
06=000¥`¥
alors fg a pour limite`0¥*F. ind.0¥*F. ind.
*Appliquer la règle des signesExemples :
1) Limite en 2 de la fonction définie surRf2gpar :f(x) =2x1x+2On a le tableau de signes dex2 :x¥2+¥x+20
+lim x!22x1=5 lim x!2x>2x+2=0+ lim x!2x<2x+2=09 >>>>>;Par quotient lim x!2x>2f(x) =¥ lim x!2x<2f(x) = +¥ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=2. 2) Limite en +¥de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+13x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+¥, nous avons une forme indéterminée :¥¥ . Il faut donc changer la forme def(x).PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES106 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESf(x) =2x+13x+2=x
2+1x x 3+1x =2+1x 3+1xOn a alors :
lim x!+¥2+1x =2 lim x!+¥3+1x =39 >;Par quotient lim x!+¥f(x) =23 rationnelles6.1Fonctionpolynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+¥et¥que son monôme du plus haut degré.SiP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors
limx!+¥P(x) =limx!+¥anxnet limx!¥P(x) =limx!¥anxnDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon-
trer en factorisant par le monôme du plus degré.Exemples :
1) Limite en +¥du polynômeP, défini par :P(x) =5x26x+1D"après le théorème, on a
lim x!+¥P(x) =limx!+¥5x2= +¥ 2) Limite en ¥du polynômeQ, défini par :Q(x) =4x3+2x2+4D"après le théorème, on a
lim x!¥Q(x) =limx!¥4x3=¥PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES6.2 FONCTION RATIONNELLE116.2Fonctionrationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+¥et¥que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénomina- teur.Sif(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0x0b
mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+¥f(x) =limx!+¥a nxnb mxmet limx!¥f(x) =limx!¥a nxnb mxmDémonstration :: On admettra ce théorème, qui peut aisément se démon- trer en factorisant par le monôme du plus degré le numératuer et le dénomina- teur.Exemples :
1) Limite en +¥de la fonctionf, définie par :f(x) =2x23x+6x1D"après le théorème, on a
lim x!+¥f(x) =limx!+¥2x2x =limx!+¥2x= +¥ 2) Limite en ¥de la fonctiong, défini par :g(x) =4x2+3x53x21D"après le théorème, on a
lim x!¥g(x) =limx!¥4x23x2=limx!¥43 =43 Il y aura alors une asymptote horizontale d"équation :x=436.3Asymptoteoblique
Définition 1 :Une courbeCfreprésentant une fonctionfadmet une asymptote obliqued"équationy=ax+ben+¥ou¥si et seulement si : limx!+¥[f(x)(ax+b)]=0 ou limx!¥[f(x)(ax+b)]=0Remarque :La courbe se rapproche de plus en plus de la droite asymptote
lorsquexdevient de plus en plus grand soit en valeur positive soit en valeur négative. Exemple :On obtient par exemple le graphisme suivant :PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES126 LIMITE EN L"INFINI DES FONCTIONS POLYNÔMES ET RATIONNELLESThéorème 3 :Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du poly-
nôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+¥ et¥.Soitf(x) =P(x)Q(x)etdP=dQ+1
Soit la droite(D)d"équationy=ax+balors limx!¥[(f(x)(ax+b)] =0Exemple :Soit la fonction rationnelle définie surRf1gpar :
f(x) =2x23x+1x+1 Déterminer l"asymptote oblique deCfen+¥et¥. On précisera de plus la position de la courbe par rapport à l"asymptote. Le numérateur de la fonctionfest de degré 2 et celui de son dénominateur est de degré 1, donc la courbeCfadmet une asymptote en+¥et en¥. Pour déterminer cette asymptote, il faut changer la forme def(x). Il faut dé- terminer les coefficienta,betctel que : f(x) =ax+b+cx+1 Il y a deux méthode pour déterminer ces coefficients.PAUL MILAN6 septembre 2011 PREMIÈRES6.3 ASYMPTOTE OBLIQUE131
reméthode : par identification On réduit la deuxième forme au même dénominateur puis on identifie à la première forme. f(x) =(ax+b)(x+1) +cx+1 ax2+ax+bx+b+cx+1 ax2+ (a+b)x+b+cx+1quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] fonction reciproque exercice corrigé bac
[PDF] fonction réciproque exponentielle
[PDF] algorithme récursif exercice corrigé
[PDF] récursivité exercices corrigés
[PDF] récursivité terminale et non terminale
[PDF] algorithme récursif maternelle
[PDF] algorithme récursif factorielle
[PDF] algorithme itératif
[PDF] exercice récursivité algorithme
[PDF] exercices corrigés récursivité python
[PDF] exercices récursivité
[PDF] exercice algorithme avec solution recursivité
[PDF] fonction récursive exercice corrigé python
[PDF] algorithme récursif exemple
