TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE
Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne Pour une distribution de Student à ddl degrés de liberté et pour une ...
Table de la loi de Student
La table qui appara?t `a la page suivante nous donne certains quantiles de la loi de Student. Voici quelques exemples illustratifs. Exemple 1.
Table de la loi du khi-deux
La table qui appara?t `a la page suivante nous donne certains quantiles de la loi du khi-deux. Voici quelques exemples illustratifs. Exemple 1. Trouvons le
7 Lois de probabilité
Plusieurs formats de tables sont disponibles tout comme dans le cas de la loi normale. Celui qui a été retenu et assez fréquent et il facilite la lecture des
Practice of statistical tests of conformity
13 abr 2016 Lecture de la table de la loi normale dans le cas d'un encadrement de la ... modifier la loi de distribution de la statistique de test.
Annexe 3 : La lecture dune table statistique
Elle donne la probabilité de trouver dans la population un individu dons le score est inférieur à z. Comme la distribution normale pour des scores standardisée
TABLES STATISTIQUES Loi binomiale Loi normale Loi de Student
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. (probabilité F(z) de trouver une valeur inférieure `a z) Table pour les grandes valeurs de z.
PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS
Des tables de probabilités ont été élaborées pour les lois les plus importantes. Elles Ce cours présente trois distributions discrètes : la distribution ...
Chapitre 4 : La loi normale
La valeur recherchée est juste au milieu des deux valeurs de la table : x ? 1 645. S.Herrmann (UBFC). Loi normale. 12 / 17. Page 13. Lecture inverse de la
Statistique pour ingénieur
Pour chaque loi une explication sommaire de la lecture des tables est donnée
Munich Personal RePEc Archive
Practice of statistical tests of conformity
Keita, Moussa
April 2016
Online athttps://mpra.ub.uni-muenchen.de/70699/
MPRA Paper No. 70699, posted 13 Apr 2016 13:20 UTC 1 *lermont Ferrand 1 ; Ecole Nationale Supérieure de Statistique et -C.IContact info: Email : keitam09@ymail.com
Codes JEL: C1
Mots clés: statistique, test, probabilités.
Pratique des tests statistiques de
conformité ____ ParMoussa Keita, PhD*
Avril 2016
(Version 1) 2AVANT-PROPOS
Ce fascicule du premier document intitulé "Introduction à la méthode statistique et probabiliste » et vise à apporter quelques précisions et des détails sur la conduite des tests paramétriques. Il se focalise, à cet effet sur le cas particulier des tests de conformité. Un accent particulier est mis sur le calcul des statistiques des tests, leurs lois de distributions ainsi que les règles de décision quant à la conclusion du test. Nous menons également une ample discussion sur les notions sur la notion de p-valeur ou "p-value" qui sont des outils nécessaires pour la test. 3Table des matières
AVANT-PROPOS ................................................................................................. 2
Table des matières ............................................................................................. 3
1. INTRODUCTION ......................................................................... 5
1.1. Généralités sur les tests ............................................................................. 5
1. ................................................................ 5
..................................................................................................... 6
............................................................ 6 ............................................................................... 82. TESTS DE CONFORMITE SUR LA MOYENNE ..................... 9
2.1. Présentation ................................................................................................. 9
2.2. Test bilatéral sur la moyenne ................................................................. 11
2.2.1. Cas où la variance est connue ................................................................... 11
2.2.2. Cas où la variance ....................................................... 14
2.3. Test unilatéral (à droite) ......................................................................... 16
2.3.1. Cas où la variance est connue .................................................................. 16
2.3.2. Cas où la variance : ..................................................... 17
2.4. Test unilatéral (à gauche) ....................................................................... 19
2.4.1. Cas où la variance est connue .................................................................. 19
2.4.2. Cas où la variance n ....................................................... 20
2.5. Notion de " valeur p » ............................................................................... 22
, le seuil critique , lastatistique du test et la p-value .............................................................. 22
.............................. 232.6.2. Graphique de décision d............. 24
2.7. Détermination du seuil critique
............................................................................................................................ 25
2.7.1.
........................................................................................................................................ 26
......................................................... 26 .......................................... 26 ....................................... 27 .. 27 ..................................................... 28 4 .................................... 29 oi de Student) .................................. 302.8. Détermination de la p-value p connaissant la statistique de test Z
.............................................................................................................................. 31
2.8.1. Détermination de la p-value dans un test bilatéral ................................... 31
2.8.2. Détermination de la p-value dans un test unilatéral à droite ................. 32
2.8.3. Détermination de la p-value dans un test unilatéral à gauche ............... 33
3. TESTS DE CONFORMITE SUR LA PROPORTION ............ 33
4. TESTS DE CONFORMITE SUR LA VARIANCE .................. 35
BIBLIOGRAPHIE .......................................................................... 37 ANNEXE .......................................................................................... 37 Aide à la lecture des tables statistiques usuelles ...................................... 37Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite .................................... 37
Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 38
Lecture des probabilités connaissant les fractiles ...................................................................... 38
Lecture de la table de la loi normale de la fractile ...................... 39Utilisation de la table de Student ............................................................................ 40
Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 40
Lecture des probabilités connaissant les fractiles ......................................................................... 41
Utilisation de la table de khi-deux .......................................................................... 42
Lecture des fractiles connaissant les probabilités ...................................................................... 42
Lecture des probabilités connaissant les fractiles ......................................................................... 44
51. Introduction 1.1. Généralités sur les tests La plupart des problèmes statistiques sont des problèmes de décision ou de choix. Dans le choix (ou la décision) consiste à déterminer,
parmi deux éventualités, celle qui peut être considérée comme " vraie ». suivent des lois de probabilité. Comme dans tout problème de décision, dans un test statistique, il faut avoir des règles de décision. La méthode de construction de ces règles décision constitue n dans un test statistique fait entrer en jeux plusieurs notions statistiques que sont notamment, tests ou encore la valeur p. En statistique, pour examiner une hypothèse nulle contre une alternative, on dispose généralement de deux types de tests : paramétriques ou non paramétriques. connaît les lois de probabilités des variables analysées, on utilise des tests paramétriques. ne connaît pas les lois de probabilités des variables de test, on utilise plutôt des tests non-paramétriques. Dans ce document, nous nous intéressons uniquement aux tests paramétriques en se focalisant sur les tests de conformité qui sont des tests dans lesquels on cherche à comparer à une valeur théorique donnée.1.2. statistique
Pour pouvoir décider entre plusieurs éventualités statistiques, on met en avant une hypothèse particulière appelée l formulant une hypothèse alternative qui notée H1. Très straduit la situation contraire de H0. Mais cela n pas nécessairement le cas ; iPar exem
6 Dans le premier cas, on parle de test bilatéral et dans les deux autres cas de test unilatéral (à gauche ou à droite). 1.3.Dans la prise de décision
part, o première espèce, noté . n peut décider que H0 est vraie alors t le risque de deuxième espèce, noté .Le risque
risque . est le risque de rejeter à tort H0. Il est courant de fixer = 0,05 (5%) ou = 0,01 (1%). Dans certains domaines coéconomie, on peut fixer leLe risque H0.
Par conséquent, pour lui, 1-
tre.Le tableau suivant résume la situation :
Décision H0 Vraie (H1 Fausse) H0 Fausse (H1 Vraie)Accepter H0
Décision correcte
Erreur de 2ème espèce
Rejeter H0
Erreur de 1ère espèce
1-Décision correcte
Remarque :
1. Les procédures de tests fixent une limite supérieure au risque de première
espèce. On prend souvent la valeur 5% (significatif) ou 1% (très significatif). Cette valeur (aussi appelée seuil ) représente le niveau de signification du test.2. On souhaite minimiser à la fois les risques et mais, pour un échantillon
donné, une diminution du risque conduit à une augmentation du risque . 3. L 4. U 1.4. 7 variable de décision est vraie. rs de la variable de décision qui sont cette hypothèse. Mais, si H0 était vraie, ce serait un rejet à tort. Or justementPar conséquent, le seuil
prendre deux formes différentes :Si on fait un test unilatéral, elle est entièrement à une extrémité de la
distribution de probabilité ; Si on fait un test bilatéral, elle est en deux morceaux de surfaceà chaque
extrémité de la distribution. Les graphique ci-dessous sont les illustrations dans le cas où la variable de décision suit une loi normale centrée réduite N(0; 1).Remarque :
8à gauche, p05, la
limite de la région de rejet est le quantile u tel que : Par exemple, pour une distribution normale, on trouve u = -1,64. limite de la région de rejet est le quantile u tel que : Pour une distribution normale, on trouve u = +1, 64. atéral, les limites de la région de rejet sont les quantiles - u et u tels que : et On trouve, pour une distribution normale, u = 1,96. servées de la variable de décision pour lesquelles La règle de décision des tests consiste à regarder si la valeur de la variable de1.5. Démarche gé
1. Choix du risque
2. Choix des hypothèses H0 et H1
3. Détermination de la variable de décision i.e la variable sur laquelle porte le
test (moyenne, proportion, variance, etc..)4. Détermination de la région critique i.e la région de rejet de H0 : Choisir RC telle que
5. Calcul éventuel de la puissance du test :
6. i.e. la statistique du test.
7. Conclusion du test : rejet ou acceptation de H0 par comparaison de la valeur expérimentale à la valeur théorique de la statistique de test.
92. Tests de conformité sur la moyenne 2.1. Présentation Exemple introductif enseigne commerciale est rt-
effectués par 20 consommateurs. Les résultats observés sont les suivants :44.49 43.66 48.32 48.95 49.30 53.05 44.52 51.50 46.94 50.28
47.73 53.38 43.72 49.95 45.78 48.56 38.14 46.82 50.78 49.38
Les résultats fournis par cet échantillon sont-ils conformes aux valeurs globales ? -elle égale, supérieureou inférieure à la moyenne générale ? La réponse à chacune de ces questions
bilatéral, unilatéral (à gauche) ou unilatéral (à droite). On suppose que les achats suivent une loi normale N(50,5).La réalis
statistique dite " statistique du test part la variance du paramètre étudié et en appliquant la loi des grandes (ou le théorème central limite). soit connue ou pas a une implication importante dans la conduite du test. En modifier la loi de distribution de la statistique de test. Pour le montrer, considérons par exemple une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m et de variance : alors : . Ainsi lorsque la variance est connue, en appliquant le théorème central limite, on a Lorsque est connue, la statistique de test définie par est distribuée selon une loi normale (0, 1). 10Cependant lorsque la variance
variance estimée telle que : . Cherchons en à intégrer cette valeur dans la construction de la statistique de test.On sait que:
En élevant au carré et en prenant la somme on a : Ainsi, on peut écrire cette expression telle que : Cette expression montre que le rapport entre la variance estimée et la vraie variance est distribuée selon une loi de khi-deux à n-1 degré de liberté (normée par son degré de liberté). Maintenant faisons le rapport entre Z et la racine carrée de cette loi de khi-deux.On a :
Mais on sait que
loi de khi-deux divisée par son degré de liberté est distribuée selon une loi deStudent. On peut alors écrire :
Cette propriété montre que la connaissance de la variance a donc une implication 11 En reprenant ci-dessus, le montant moyen des achats par client dans est -type Mais la moyenne calculée sur un échantillon de 20 consommateur est =47,7625.
Nous allons utiliser ces informations pour types de tests deconformité : le test bilatéral, le test unilatéral à gauche et le test unilatéral à
droite.2.2. Test bilatéral sur la moyenne
Soit une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m et de variance : Ici est la moyenne théorique dont (moyenne empirique constitue une et est la valeur théorique avec laquelle on teste la conformité.2.2.1. Cas où la variance est connue
Lorsque est connue, avec le théorème central limite, on peut poser : En fixant le seuil de première espèce , la table de la loi normale centrée réduite le fractile correspondant à . (noté ). Ensuite, on ci-dessous 12 Puis ue la distribution de la loi normale est et son opposée . Cette rouges où chaque zone correspond à la moitié du risque. Ainsi, étant donné cette répartition, on peut écrire que :Mais sachant que
on a :Où est la statistique du test calculée
et de la loi normale centrée réduite ( qui doit être lue dans la table de loi normale centrée réduite).Aussi, comme
, on peut aussi écrire que : Cette expression équivaut mathématique à celle-ci : test : soit qui exprime le seuil de confiance. re cas, on compare la valeur calculée à la valeur de lue dans la table de la loi normale.Règle de décision :
Lorsque
, on ne peut pas rejeter H0. 13 La région critique de ce test (encore appelée région de rejet de H0) se définit telle que : Ou sachant que finit comme suit. Ou une autre règle de décision par rapport au test. En effet après avoir calculée la moyenne contre si appartient de RC, on rejette H0.Application :
La variance est connu ( , et , et n=20.
AinsiOn sait que dans la table de la loi normale
pour . On peut obtenir cette valeur avec Excel en utilisant la fonction suivante : 14 =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N(0,975) Ainsi, comme , on rejette H0 au seuil de 5%.2.2.2. Cas où la variance
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