Nombre dérivé et tangente à une courbe
La tangente à une courbe en un point A est une droite : ¤ qui passe par le point A ;. ¤ qui « effleure » la courbe . EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Le point de la courbe d'abscisse 0 est le point (0 ; ?3). Comme la droite (T0) est horizontale (pas de pente) son coefficient directeur est 0. Une équation de
FICHE n°5 Déterminer une fonction dérivée Déterminer une fonction
Remarque Pour par exemple déterminer un nombre dérivé rapidement (voir par exemple « Equations de tangente à une courbe » - fiche n°4) il est utile de
1 Des suites aux séries numériques
Offrez vous le quart d'heure de jolies « maths » avec Mickael Launay si avec les nombres de Bernoulli vous le verrez peut être dans un devoir l'an pro-.
MATHÉMATIQUES.
menons les tangentes communes à cette courbe et à deux plus petit et le plus grand des nombres ÎÎ Î2î • • • ^ ... admet encore une dérivée.
Diagrammes et Catégories
???/???/???? courbe ou d'une structure n'est pas de nature simple. ... une autre d'annihiler complètement le poids du nombre. Si le nombre positif a une.
Contrôle optimal : théorie et applications
TxM (où M est une variété et x ? M) : espace tangent à M au point x. En 1638
Lémergence de lastronomie physique en France (1860-1914
???/???/???? Directeur de thèse : M. Gérard Emptoz professeur émérite
Gazette des Mathématiciens – N°158
taire et informatique quelque peu brutale a nécessité un certain nombre de Mickaël Launay montreur de mathématiques ... tangent unitaire S?M 6.
MATHÉMATIQUES.
???/???/???? nombre des variations du polynôme la dijjérence est un nombre pair. ... La courbe de M. Delaunay engendrée par le foyer.
1ère ES
FICHE n°4
Nombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbe
I. Pour comprendre la notion de tangente à une courbeL"idée
La définition de la tangente sera donnée au paragraphe III... Mais l"" idée principale » est la suivante :
EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une équation d"une tangente On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d"une fonction f.Déterminer graphiquement une équation de :
a. la tangente T1 à la courbe (Cf) au point d"abscisse 1.
b. la tangente T0 à la courbe (Cf) au point d"abscisse 0.
Solution
a. Le point de la courbe d"abscisse 1 est le point (1 ; -2). Graphiquement (voir fiche " Equations de droites »), on peut déterminer :1 : 2
1 = 21 : -4
Une équation de la tangente (T
1) est donc : y = 2x - 4 .
b. Le point de la courbe d"abscisse 0 est le point (0 ; -3).Comme la droite (T
0) est horizontale (pas de pente), son coefficient directeur est 0.
Une équation de la tangente (T
0) est donc : y = - 3 .
Remarque
La tangente à une courbe en un point A donne " l"allure de la pente de la courbe » juste autour
de point A. + 1 + 2 T1 T0 CfII. Nombre dérivé
1. Vers la définition...
Pour comprendre
Soit f une fonction définie sur un intervalle I autour d"un nombre réel a.Le nombre
f (a+h) - f (a) h est appelé taux d"accroissement de la fonction f entre a et a+h.Graphiquement,
f (a+h) - f (a) h est le coefficient directeur de la droite (AM).Lorsque h tend vers 0, le point M s"approche de A, la droite (AM) tend à devenir comme une tangente...
Définition
Le nombre dérivé d"une fonction f en a est la limite quand h tend vers 0 du quotient f (a+h) - f (a)
h Ce nombre dérivé est noté f "(a) et on dit que la fonction f est dérivable en a.Remarque
Dans certains cas (peu courant en 1ère ES...), ce quotient n"a pas de limite quand h tend vers 0. On dit alors que la fonction n"est pas dérivable en a.2. Aspect graphique
Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative . La tangente à la courbe Cf au point A d"abscisse a est la droite passant par A et de coefficient directeur f "(a) . EXERCICE TYPE 2 Déterminer graphiquement un nombre dérivéOn a représenté ci-dessous la courbe (Cg) représentative d"une fonction g ainsi que la tangente
∆ à (Cg) au point d"abscisse (-3). Déterminer graphiquement le nombre dérivé g"(-3).Solution
D"après la leçon, g"(-3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (Cg) au point d"abscisse (-3),
c"est donc le coefficient directeur deGraphiquement, on a donc : g"(-3) = -2
+1 = -2 + 1 ---- 2 x y A M a a+h f(a) f(a+h) 2 ----8 T Ch A ----14 +3 +1Propriété Une équation de la tangente à la courbe Cf au point A d"abscisse a est : y = f "(a)×(x - a) + f (a) .
EXERCICE TYPE 3 Déterminer une équation d"une tangenteOn considère la fonction h : x
ï x3 ---- 9x + 2 .
On note (Ch) sa courbe représentative.
On admet dans cet exercice que h"(2) = 3.
a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (Ch) au point A d"abscisse 2. b. Tracer la tangente T .Solution
3 - 9×2 + 2 = 8 - 18 + 2 = - 8
D"après la leçon, au point A d"abscisse 2, une équation de la tangente est : y = f "(2)×(x - 2) + f (2) y = 3×(x - 2) + (----8) y = 3x - 6 ---- 8T : y = 3x
---- 14 b. Pour tracer la tangente, on peut utiliser plusieurs méthodes... Par exemple : - pour x = 2, on a : y = 3×2 ---- 14 = ----8 donc A(2 ; ----8) Î T.- pour x = 0, on a : y = 3×0 ---- 14 = ----14 donc B(0 ; ----14) Î T. (ordonnée à l"origine)
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