PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
PUISSANCES ET RACINES CARRÉES. Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/XA-JkXirNz4. Tout le cours sur les racines carrées en vidéo
Racines carrées (cours de troisième)
RACINES CARREES. Emilien Suquet suquet@automaths.com. I Définitions
RACINES CARREES (Partie 1)
Pour un nombre positif a. = a. La racine « annule » le carré. Exercices conseillés En devoir p66 n°34. II. Opération sur les racines carrées.
3ème : Chapitre11 : Les racines carrées.
3ème : Chapitre11 : Les racines carrées. 1. Définition. Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a.
Les racines carrées (cours)
RACINES CARREES. I Introduction : Dans quel chapitre a-t-on vu les racines carrés ? dans Pythagore. 1) Quelle est l'aire d'un carré dont la longueur du côté
Racine carrée - Exercices corrigés
RACINE CARREE. EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9
Racines carrées
« La racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées ». Cours 3ème © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges Massy www.logamaths.fr.
RACINES CARREES (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. RACINES CARREES (Partie 2). I. Sommes et différences de racines carrées. Rappel :.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Ainsi l'ensemble solution est S = {?3;?. ?. 3;2;?2}. 6 Equations irrationnelles avec des racines carrées. Méthode générale : On isole la racine carrée et
Les racines carrées représentent un nouveau type de nombres qui
Pour pouvoir factoriser à partir de racines carrées il est nécessaire d'avoir la même racine carrée pour tous les termes. avec le nombre « c » qui est toujours
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La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes) donc la racine carrée d'un nombre négatif
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Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est Racines de carrés parfaits : ?0 = 0 ?25 = 5 ?100 = 10 ?1 = 1 ?
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3ème : Chapitre11 : Les racines carrées 1 Définition Soit a un nombre positif La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a
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4) Carré parfait : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier Sa racine carrée est un nombre entier positif Exemples : 8 64 = 64 est un carré
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II- Racines carrées et opérations : 1) Multiplication de racine carrée : Soient a et b deux nombres positifs on a :
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Racines carrées I) Définition Soit un nombre positif le nombre positif dont le carré est égal à s'appelle la racine carrée de ce nombre
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Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre 1) Définition Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le
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Dans tout ce cours on notera a un nombre strictement positif Pour résoudre l'équation on notera que la solution est la racine carrée de a notée :
Comment calculer les racines carrées 3ème ?
?ab=?a?b a b = a b Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient. Exemple 2 : Ecrire?365 sous forme d'un quotient sans radical au dénominateur. 2) On multiplie le numérateur et le dénominateur par ?5 puis on applique les propriétés de la racine carrée.Comment on calcule des racines carrées ?
Une racine carrée est un nombre qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, produit une quantité spécifique.
1La racine carrée de 16 est 4, car 4 x 4 = 16.2La racine carrée de 25 est 5, car 5 x 5 = 25.3La racine carrée de 36 est 6, car 6 x 6 = 36.- Propriété Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Le quotient de 2 racines carrées ets égale a la racine carrée du quotient.
1Définitions :
DÉFINITIONOn appelle trinôme du second degré toute fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax2+bx+c(a,betcréels aveca6=0).Remarque :Par abus de langage, l"expressionax2+bx+cest aussi appelée trinôme du second degré.
DÉFINITIONOn appelle racine du trinômef, tout réel qui annulef.Exemple :1 est une racine du trinôme 2x2+3x5, car 2(1)2+3(1)5=0.
Remarque :Chercher les racines du trinômeax2+bx+c, revient à résoudre dansRl"équationax2+bx+c=0.
2Factorisation, racines et signe du trinôme :
DÉFINITIONOn appelle discriminant du trinômeax2+bx+c(a6=0), le réelD=b24ac.2-1SiD<0:Racines :Pas de racines réelles.
Factorisation :Pas de factorisation dansR.
Signe :ax2+bx+cest toujours du signe dea.?
O?ı??a >0
a <01 reSérie Générale - Second degrécP.Brachet -www .xm1math.net1
2-2SiD=0:
Racines :Une racine réelle dite "double" :x1=b2a.Factorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)2.
Signe :ax2+bx+cest toujours du signe deaet s"annule pourx=x1.?O?ı??a >0
a <0x12-3SiD>0:
Racines :Deux racines réelles :x1=bpD
2aetx2=b+pD
2aFactorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)(xx2).
Signe :ax2+bx+cest du signe deaà l"extérieur des racines. (on suppose quex13Exemples de résolution d"équations et d"inéquations du second degré
3-1Equations du second degré
Résolution dansRde l"équationx2+2x3=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=2 etc=3 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (2)24(1)(3) =16.
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l"équa-
tion :Calcul des solutions :
x 1=bpD2a=2p16
21=242
=3x2=b+pD2a=2+p16
21=2+42
=1. L"ensemble solution est doncS=f3;1g.Résolution dansRde l"équation 2x22p2x+1=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=2p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b24ac= (2p2)24(2)(1) =428=0.Le discriminant est nul, donc le trinôme admet une seule racine réelle qui est en fait la solution de l"équation :
Calcul de la solution :
x1=b2a=(2p2)22=p2
2 . L"ensemble solution est doncS=( p2 2Résolution dansRde l"équation 3x2+4x+5=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=3,b=4 etc=5 ). Calcul du discriminant :D=b24ac=424(3)(5) =1660=44.Le discriminant est strictement négatif, donc le trinôme n"admet aucune racine réelle. L"ensemble solution est doncS=/0
Résolution dansRde l"équationx2+4x=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=0 ).Comme à chaque fois queb=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes
traditionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser parx:
x2+4x=0,x(x+4) =0,x=0 oux+4=0,x=0 oux=4. L"ensemble solution est doncS=f4;0g
Résolution dansRde l"équation 4x21=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=0 etc=1 ). Icib=0, il est donc inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées.4x21=0,4x2=1,x2=14
,x=12 oux=12 . L"ensemble solution est doncS=12 ;123-2Inéquations du second degréMéthode générale :on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l"inéquation. On en déduit le signe du trinôme sur
R. On détermine alors l"ensemble solutionS, en cherchant les valeurs dexvérifiant l"inéquation.(Pour les bornes, on applique les
règles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes aux infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes si
l"inéquation est de la forme<0 ou>0 et sont fermées si l"inéquation est de la forme60 ou>0 .)
Remarque :Sib=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde
sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes.Exemples nécessitant le calcul du discriminant :
Résolution dansRde l"inéquationx2+4x560 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=5 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (4)24(1)(5) =36.
Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par
calculer les deux racines : x 1=bpD2a=4p36
21=462
=5x2=b+pD2a=4+p36
21=4+62
=1Signe du trinôme surR: (icia=1 est positif, donc le trinôme est positif à l"extérieur des racines et négatif à l"intérieur)1
reSérie Générale - Second degrécP.Brachet -www .xm1math.net3
x-∞ -51+∞x2+ 4x-5+0-0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+4x-5 est inférieur ou égal à 0. Cela
revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S= [-5;1]. Ce qui peut se vérifier
graphiquement :y x 1 -5ORésolution dansRde l"inéquation2x25x+3<0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=3 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (5)24(2)(3) =49.
Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par
calculer les deux racines : x 1=bpD2a=(5)p49
2(2)=574=12
x2=b+pD
2a=(5)+p49
2(2)=5+74=3
Signe du trinôme surR: (icia=2 est négatif, donc le trinôme est négatif à l"extérieur des racines et positif à l"intérieur)x-∞
-312+∞-2x2-5x+ 3-0+0-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2-5x+3 est strictement inférieur à 0. Cela
revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S=]-¥;-3[[]12
;+¥[. Ce qui peut se vérifier graphiquement :y x1/2-3+
-ORésolution dansRde l"inéquation2x2+5x4>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=4 ).Calcul du discriminant :D=b24ac=524(2)(4) =7.
Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea" , c"est à dire toujours négatif cara=2.
Signe du trinôme surR:4
c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degréx-∞+∞-2x2+ 5x-4-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2+5x-4 est supérieur ou égal à 0, ce qui
est impossible vu le tableau de signe. D"où,S=/0.Résolution dansRde l"inéquationx2+p2x+1>0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (p2)2-4(1)(1) =-2.Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea", c"est à dire toujours positif cara=1.
Signe du trinôme surR:x-∞+∞x
2+⎷2x+ 1+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+⎷2x+1 est strictement supérieur à 0, ce
qui est toujours le cas vu le tableau de signe. D"où,S=R. Résolution dansRde l"inéquation 4x2-4⎷3x+3>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=-4⎷3 etc=3 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (-4⎷3)2-4(4)(3) =0.Le discriminant est nul, la règle est donc "toujours du signe dea(c"est à dire toujours positif cara=4) et s"annule pour
la racine doublex1=-b2a=-(-4⎷3)24=⎷3 2Signe du trinôme surR:x-∞
⎷3 2+∞4x2-4⎷3x+ 3+0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels 4x2-4⎷3x+3 est strictement supérieur à 0, ce
qui est toujours le cas vu le tableau de signesaufpour⎷3 2 . D"où,S=R-( ⎷3 24Relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme
PROPRIÉTÉSoit un trinômeax2+bx+c(a6=0) dont le discriminantDest strictement positif. Les deux racinesx1etx2sont telles que :
x1+x2=-ba
etx1x2=caApplication :Cela permet de déterminer rapidement une racine connaissant l"autre, en particulier lorsque le trinôme admet une
racine "évidente". Remarque : le fait de trouver une racine implique forcément que le discriminant est supérieur ou égal à 0. Il est
donc inutile de le calculer! Exemple :x1=1 est une racine "évidente" du trinôme 2x2-5x+3. On doit donc avoir :1x2=ca
=32 . D"où la deuxième racinex2est forcément égale à32Une conséquence de ces relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme est la propriété suivante :1
reSérie Générale - Second degrécP.Brachet -www .xm1math.net5
PROPRIÉTÉ
Dire que deux nombres réels ont pour sommeSet pour produitPéquivaut à dire qu"ils sont solutions dansRde l"équation du
second degré :x2Sx+P=0 .Exemple :Pour déterminer (s"ils existent) deux réels dont la sommeSest égale à 6 et dont le produitPest égal à 1, on résoud
dansRl"équationx2Sx+P=0,x26x+1=0. On aD= (6)24(1)(1) =32. Il ya donc deux solutions réelles : x1=6p32
2 =64p2 2 =32p2 etx2=6+p32 2 =6+4p2 2 =3+2p2. Les deux réels cherchés sont donc 32p2 et3+2p2.
5Equations bicarrées :ax4+bx2+c=0Méthode générale :Pour résoudre ce genre d"équations, on utilise un changement d"inconnue :
En posantX=x2, l"équationax4+bx2+c=0 est équivalente au système(X=x2 aX2+bX+c=0Exemple :Résolution dansRde l"équationx47x2+12=0
On poseX=x2, l"équation est équivalente au système(X=x2 X27X+12=0
On résoud l"équation du second degréX27X+12=0 :D= (7)24(1)(12) =4948=1 ,X1=(7)p1
21=62=3 ,X2=(7)+p1 21=82
=4 On a doncX=3 ouX=4, ce qui équivaut àx2=3 oux2=4.
D"où,x=p3 oux=p3 oux=2 oux=2.
Ainsi, l"ensemble solution estS=p3;p3;2;2.
6Equations irrationnelles avec des racines carréesMéthode générale :On isole la racine carrée et on utilise le fait quesiA=BalorsA2=B2. On obtient une deuxiéme équation du
de l"équation initiale. (En effet, on ne procéde pas par équivalence mais par implication. La vérification est donc indispensable.)Exemple :Résolution dansRde l"équationp4x19=x4.p4x19=x4)4x19= (x4)2)4x19=x28x+16)0=x28x+164x+19)x212x+35=0
Résolution de l"équation du second degré obtenue :D= (12)24(1)(35) =4 ,x1=(12)p4
21=102
=5 ,x2=(12)+p421=142
=7 .Vérification :
p4519=p1=1 existe et est bien égal à 54p4719=p9=3 existe et est bien égal à 74.L"ensemble solution est :S=f5;7g.6
c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degréquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] analyse de médiation statistique
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