[PDF] Sujet et Corrigé Olympiades Nationales de Maths 2019

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B 5

10.811

C 6

12.011

N 7

14.007

Al 13

26.982

Ga 31

69.723

Zn 30
65.39
Cu 29

63.546

Ge 32
72.61
In 49

114.82

Sn 50

118.71

As 33

74.922

Se 34
78.96
Si 14

28.086

P 15

30.974

S 16

32.065

Cl 17

35.453

O 8

15.999

LYMPIADES

DE MATHÉMATIUES

Sujet et Corrigé vous sont présentés par freemaths.fr . . . Cl l

Olympiades nationales

de mathématiques 2019

Métropole-Europe-Afrique-Orient-Inde

L"épreuve se déroule en deux parties indépendantes et indissociables de deux heures

chacune, les énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des

moments différents. Les copies rédigées sont ramassées à l"issue de la première partie

(" exercices nationaux »). Une pause de cinq à quinze minutes est prévue, avant la seconde partie (" exercices académiques »). Des consignes de confinement peuvent être données selon la zone géographique de passation de l"épreuve. Les calculatrices sont autorisées selon la législation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une

question d"exposer le bilan des initiatives qu"ils ont pu prendre.

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de

composition.

Exercices nationaux

Les candidats traitent deux exercices. Ceux de la série S traitent les exercices numéros 1 (TrianglesTàTcôtésTentiers) et 2 (PremièresTfois), les autres traitent les exercices numéros 1 (TrianglesTàTcôtésTentiers) et 3 (AGADADAGA al l MB4Mr .42√0BMBMB4 rM11MB3

Triangles à côtés entiers

irls hloznzrlh( Sréeuluthlzrlh( Sréeulurh u(lt leutleqrézuz(tlsultutl)lÉmhdtltqrhlsutlurh u(tlrShz(uetlrqrlrzetAl

irl(S..ueeuleSl.(q.( dhdls hulsulencl rdéSe hdlh( SrézeS (ulylTlsSrtlhqzhlh( SréeulrqrlS.eSh leSleqrézuz(lsulÉ1SÉzrl

sutlÉmhdtluthlth( Éhu2urhl r3d( uz(ul4leSltq22ulsutleqrézuz(tlsutlsuz5lSzh(utAll l

2a.lBS(2 leutlh( .euhtl(,,)ltz LSrhtglu5.e ozu(leuozuelsdt éruleutleqrézuz(tlsutlÉmhdtlsnzrlh( Sréeulurh u(lrqrl

S.eSh gl.z tlÉq22urhlh(SÉu(lÉulh( SréeuluhlSLuÉlozuetlqzh etlTl '6gl6gl78ll l 9ll ')gl)gl*8ll l 9ll 'aglagl)8l

b. +zueeutltqrhleutlLSeuz(tl.qtt ,eutlsulenurh u(llt l(15,19,)lsdt éruleutleqrézuz(tlsutlh(q tlÉmhdtlsnzrlh( Sréeul

urh u(lrqrlS.eSh l(Srédutl.S(lq(s(ulÉ(q ttSrhlsulhS eeul-l

c. .hSrhlsqrrdlh(q tlurh u(tlrShz(uetlrqrlrzetl, uhllhuetlozul ≤ ≤ glozueeulÉqrs h qrl3Szh/ elS0qzhu(l.qz(l

ozuleulh( .euhl(,,)lsdt éruleutleqrézuz(tlsutlÉmhdtlsnzrlh( Sréeulurh u(lrqrlS.eSh l-l

1q hllzrlurh u(lrShz(uelrqrlrzeAlirlsdt érul.S(l

lenurtu2,eulsutlh( .euhtlsnurh u(tlrShz(uetlrangés par ordre

croissantl ≤ ≤ luhlsdt érSrhleutlÉmhdtlsnzrlh( Sréeulurh u(lrqrlS.eSh lsqrhleul.d( 22h(uluthldéSel4lAll

3 rt lq,h urs(S h/qrl

=(1,4,4),(2,3,4),(3,3,3)lAl a. 1 leulh( .euhl(,,)S..S(h urhl4l ,ozueeutltqrhleutlLSeuz(tl2S5 2Seuluhl2 r 2Seul.qz(ll-ll b. 4qrru(leSlÉq2.qt h qrlsul luhl(u.(dturhu(lsSrtlzrl(u.2(ulq(h1qrq(2dlenurtu2,eulsutlÉqz.eutl(,).qz(l eutozuetl elu5 thulzrlurh u(lrShz(uellhuelozul(,,) ∈ Al5d( 3 u(lozulÉutlÉqz.eutltult hzurhl4len rhd( uz(lqzltz(l eutl,q(stlsnzrlh( Sréeulsqrhleutltq22uhtlqrhlsutlÉqq(sqrrdutlurh 2(utAl l a. l6zth 3 u(lozult l(,,) ∈ lSeq(tll( + 1, + 1, + 1) ∈ Al b. 1q hl(,,) ∈ Al4dhu(2 ru(lzrulÉqrs h qrltz(l,etl.qz(lozul( - 1, - 1, - 1) ∈ Al c. 7rlsdsz (ulozult lluthl 2.S (lSeq(tl luhl lqrhleul282ulrq2,(ulsnded2urhtAl NPB 11 a. $%lÉqrh urh/ ellzrlh( .euhll(,,)lÉq((ut.qrsSrhl4lzrlh( Sréeuldoz eShd(Sel-l b.

$%lÉqrh urh/ elsutlh( .euhtll(,,)lÉq((ut.qrsSrhl4lsutlh( Sréeutl tqÉ2eutlrqrldoz eShd(Sz5-l1 lqz l

Éq2, url-l

c. 9qrh(u(lozult l $%lÉqrh urhlzrlh( .euhll(,,)Éq((ut.qrsSrhl4lzrlh( Sréeul(uÉhSréeulSeq(tl l2019 $= 4038( + )- 2All

7rlsdsz (ulozul

$%lrulÉqrh urhl.Stlsulh( Sréeul(uÉhSréeuAl C4SrtlÉuhhulozuth qrlqrltul.(q.qtulsulsdrq2,(u(l $%Al a. 1q hl(,,) ∈ $%$$Alirl(S..ueeulozul ≤ ≤ Al6zth 3 u(lozul + ≥ 1012luhl + 2 ≤ 2022All b. :dÉ .(qozu2urhgl2qrh(u(lozult l ≤ gl + ≥ 1012luhl + 2 ≤ 2022lSeq(tl l(,,2022 - - ) ∈ $%$$Al

c. 6zth 3 u(lozuglsSrtlzrl(u.2(ulq(h1qrq(2dglenurtu2,eulsutlÉqz.eutl(,)lsnurh u(tlrShz(uetlhuetlozul ≤ gl

+ ≥ 1012luhl + 2 ≤ 2022lÉqrth hzulenurtu2,eulsutl.q rhtl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utlsnzrlh( Sréeul)*+oz l

uthl(uÉhSréeuAl7rlsdhu(2 ru(lenS (ul,lS rt lozuleulrq2,(ulsul.q rhtl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utlt hzdtltz(ltutlÉmhdtAl

d. irlSs2uhleulh1dq(22ulsulB É;lTlcl1 lzrl.qe<éqrul-luthlhuelozulhqztltutltq22uhtltqrhl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utl

sSrtlzrl(u.2(ulq(h1qrq(2dlSeq(tltqrlS (ul,luthlsqrrdul.S(leSl3q(2zeul, = . + $- 1lq=l.lsdt éruleulrq2,(ulsul

.q rhtl4lÉqq(sqrrdutlurh 2(utlt hzdtl4len rhd( uz(lsul-luhl0leulrq2,(ulsulÉuz5lt hzdtltz(leutlÉmhdtlsul-Alyl

7rlsdsz (uleulrq2,(ulsulh( .euhtlsul

$%$$l.z tlÉuez lsul$%Al llllllllll 4r

B4Mr4B .!

4ul 2Sr 2(ul édrd(Seugl ÉqrÉuLq (l zrl .(qé(S22ul '4l (uh(SrtÉ( (ul tz(l tSl Éq. u8l .u(2uhhSrhl sndrz2d(u(l uhl sul

sdrq2,(u(l

Al>ulhuthu(ltz(lluhltz(l$%Al

l l )l l MB4Mr .4√0BMBMrM11MB1rM,3

Premières fois

irl rqhulℕenurtu2,eul sutl urh u(tl rShz(uetAl irl (S..ueeul oznzrlrq2,(ul .(u2 u(l uthl zrl urh u(l rShz(uel oz l Sl

u5SÉhu2urhlals L tuz(tlurh u(tlrShz(uetls th rÉhtlTlCluhlez /282uAlBS(lu5u2.eulTlagl)luhl7ltqrhl.(u2 u(tlSeq(tlozul?gl

Cluhl)lruleultqrhl.StAl

l Décomposition en produit de facteurs premiers :

Bqz(lhqzhlurh u(lrShz(uel2 ≥ 2, elu5 thulzrlzr ozulurh u(lrShz(uel3glzrulzr ozule thulsulrq2,(utl.(u2 u(tls th rÉhtl

(SrédtlsSrtlenq(s(ulÉ(q ttSrhll ,$,,...,5)luhlzrulzr ozule thulsnurh u(tlrShz(uetlrqrlrzetl(α,α$,α,...,α5)l huetlozulTll 2 = 7

8× $7

:× 7 ;× ...× 57 l'sSrtlÉulsu(r u(lu5u2.eugl3 = 18Al>SlsdÉq2.qt h qrl url.(qsz hlsul3SÉhuz(tl.(u2 u(tlsnzrlrq2,(ul.(u2 u(lltndÉ( hlt 2.eu2urhl = .l l Une fonction agissant sur les nombres entiers naturels

irltqz1S hultSLq (ltn eluthl.qtt ,eulsulÉqrt sd(u(lzrul3qrÉh qrl∆∶ ℕ → ℕl.qttdsSrhleutl.(q.( dhdtltz LSrhutlTl

B(q.( dhdl'C8lTl∆(0)= ∆(1)= 09l l l l l l l B(q.( dhdl'a8lTlBqz(lhqzhlurh u(l.(u2 u(lgl∆()= 19l l l l

B(q.( dhdl')8lTlBqz(lhqztlurh u(tlrShz(uetlCluhlDTl∆(C × D)= ∆(C)× D + C × ∆(D).l l

21q hllzrlrq2,(ul.(u2 u(Al>utl.(q.( dhdtl.(dÉdsurhutl.u(2uhhurh/ueeutlsnu5.( 2u(l∆(

$)-l∆()-l@rlurh u(l rShz(uel2ldhSrhlsqrrdglozueeuluthlen 2Séul.S(l∆lsul E-l

a. 1q hlluhlFlsutlrq2,(utl.(u2 u(tls th rÉhtglGluhl2lsutlurh u(tlrShz(uetltz.d( uz(tlqzldéSz5l4lCAl>utl

.(q.( dhdtl.(dÉdsurhutl.u(2uhhurh/ueeutlsnu5.( 2u(l∆(

H× FE)-l

b.l>ulrq2,(ul ∆(10

E) uth/ elzrl2zeh .eulsulAl.qz(l2 ≥ 1-

Blhqzhlrq2,(ulurh u(l2 ≥ 2glsqrhleSlsdÉq2.qt h qrlurl.(qsz hlsul3SÉhuz(tl.(u2 u(tltndÉ( hlT

2 = 7

8× $7

:× 7 ;× ...× 57

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