[PDF] COMPOSANTES DE HITCHIN ET REPRÉSENTATIONS

View - Download COMPOSANTES DE HITCHIN ET REPRÉSENTATIONS

Previous PDF

Next PDF

j. differential geometry

80(2008) 391-431

COMPOSANTES DE HITCHIN ET REPRÉSENTATIONS

HYPERCONVEXES DE GROUPES DE SURFACE

Olivier Guichard

Abstract

We show that the notion of hyperconvex representation due to F. Labourie gives a geometric characterization of the representa- tions of a surface group in PSL n(R)that belong to the Hitchin component.

Introduction

Le groupeest le groupe fondamental d"une surface orientablede genregplus grand ou égal à deux. Dans son article [12], F. Labourie introduit la notion de représentation hyperconvexe : - une représentationdedans PSLn(R)est dite hypercon- vexe, s"il existe une courbe-équivariante, du bord du groupe dans l"espace projectifP(Rn), qui est hyperconvexe, c"est- à-dire telle quenpoints deux à deux distincts de la courbe sont en somme directe (voir définition 2). On dira aussi qu"une représentationestn-fuchsienne si elle se fac- torise=, oùest la représentation irréductible de PSL2(R) dans PSL n(R)et oùest une représentation discrète cocompacte dans PSL

2(R)(i.e., dans la composante de Teichmüller).

L"un des théorèmes principaux de l"article [12] est le résultat suivant : Théorème(Labourie).Siest une représentation dedans le groupePSLn(R), qui peut être déformée continûment en une représen- tationn-fuchsienne, alorsest hyperconvexe. Le casn= 3est une conséquence des travaux de W. Goldman et S. Choi. Il y a une seule composante connexe dans Hom(;PSL3(R)) qui contient les représentations fuchsiennes et cette composante est l"en- semble des holonomies de structures projectivesconvexesde la surface (voir les deux articles [7], [4]). Pour une telle holonomie, il existe un ouvert convexe saillant deP(R3), stable par()et dont le bord est de classeC1et est la courbe (hyper)convexe-invariante.Received 11/01/2005. 391

392 O. GUICHARD

Lorsquen3, N. Hitchin ([10]) a calculé les composantes connexes de l"espace des représentations. Dans ce même article est expliquée la structure des composantes contenant les représentationsn-fuchsiennes.

Notons

Rep ;PSLn(R):=Homs.s.;PSLn(R)=PSLn(R) le quotient de l"ensemble des représentations semi-simples par l"action par conjugaison de PSL n(R). Le quotient Hom(;PSLn(R))=PSLn(R) muni de la topologie quotient n"est pas séparé, par exemple l"image dans ce quotient d"une représentation à valeurs dans un sous-groupe unipotent est dans tous les voisinages de la représentation triviale. On peut alors considérer le séparé topologique de Hom(;PSLn(R))=PSLn(R), c"est-à- dire cet espace où l"on a identifié deux points si l"un est dans tous les voi- sinages de l"autre. Ce séparé topologique s"identifie naturellement avec Hom s.s.(;PSLn(R))=PSLn(R), ce qui justifie l"introduction de l"espace Rep(;PSLn(R)). Par ailleurs Hom(;PSLn(R))et Rep(;PSLn(R)) ont le même nombre de composantes connexes. Le point de vue de la théorie géométrique des invariants permet de donner à Rep(;PSLn(R)) une structure de variété algébrique. Théorème(Hitchin).Sinest pair(resp. impair)plus grand ou égal à trois, alors l"espace des représentationsRep(;PSLn(R))a six(resp. trois)composantes connexes. En outre, il y a exactement deux(resp. une)composantes connexes deRep(;PSLn(R))contenant des repré- sentationsn-fuchsiennes. Chaque composante contenant des représentationsn-fuchsiennes est homéomorphe à une boule de dimension(2g2)(n21). Ses composantes sont appeléescomposantes de Teichmüllerdans l"ar- ticle de N. Hitchin etcomposantes de Hitchindans celui de F. Labourie. Nous suivrons cette dernière terminologie. Nous appelerons aussi com- posantes de Hitchin les composantes connexes de Hom(;PSLn(R))qui s"envoient sur ces composantes connexes. Le théorème de F. Labourie donne donc une propriété géométrique des représentations des composantes de Hitchin. Nous nous proposons de montrer que cette propriété suffit pour ca- ractériser les composantes de Hitchin, ce qui avait été conjecturé par F.

Labourie dans [12] :

Théorème 1.Siest une représentation hyperconvexe dedans PSL n(R), alorsappartient à la(aux)composante(s)de Hitchin. Nou tenons à remercier ici Aurélien C. dont les questions incessantes ont rendu possible ce travail.

REPRÉSENTATIONS HYPERCONVEXES 393

1. Notations et quelques rappels

1.1. Représentations hyperconvexes.Le groupeest un groupe

hyperbolique et son bord à l"infini est un cercle qui sera noté@(voir [5] pour une introduction aux groupes hyperboliques). Rappelons la définition des courbes hyperconvexes : Définition 2.SoitIun intervalle ou le cercleS1, une application1 deIdansP(Rn)est ditehyperconvexesi toutes les sommes de droites sont directes pour tousx1;:::;xndes points deIdeux à deux distincts, R n=nM i=1

1(xi).

Les représentations hyperconvexes sont alors les représentations de laissant invariant une courbe continue hyperconvexe deP(Rn), plus précisément : Définition 2.Soitreprésentation appartenant à Hom(;PSLn(R)), est ditehyperconvexes"il existe une application continue1de@dans

P(Rn)hyperconvexe et-équivariante.

C"est une conséquence de [12] que la courbe hyperconvexe invariante est unique et que son image est l"ensemble limite de l"action dedans P(Rn). Nous l"expliquerons aussi plus tard (propositions 16 et 17).

Exemples:

- Les représentationsn-fuchsiennes sont hyperconvexes. Dans ces cas, le plongement de Veronese deP(R2)dansP(Rn)est PSL2(R)-équi- variant et est une courbe hyperconvexe. Rappelons que, si l"on iden- tifieRkaux polynômes homogènes de degrék1en deux variables XetY, l"expression du plongement de Veronese est la suivante : [aX+bY]7![(aX+bY)n1]:

De plus le bord du groupe s"identifie àP(R2).

- En dimension trois, les holonomies des structures projectives con- vexes sur une surfacede genreg >1sont bien hyperconvexes. En effet une telle holonomielaisse invariant un ouvert convexe saillant de l"espace projectifP2(R). Cet ouvert est l"image du revêtement universel epar l"application développante. Le groupe agit proprement sur avec quotient compact et donc le bord du groupe@s"identifie au bord de l"ouvert@ . L"application hyper- convexe est ici l"identification naturelle du bord du groupe@avec le bord du convexe@ Ce dernier exemple justifie la terminologie "hyperconvexe». Une courbe hyperconvexe dansP2(R)est une courbe convexe, strictement convexe dans une (toute) carte affine.

394 O. GUICHARD

1.2. Courbes Frenet.Commençons par en donner la définition. La

variété des drapeaux complets deRnest notéeF(Rn). Définition 3.SoitIun intervalle ou le cercleS1et= (1;:::;n1) une application deIdansF(Rn), alorsest diteFrenetsi les deux conditions suivantes sont vérifiées : -Les sommes sont directes pour tout(n1;:::;nk)avecn=n1++nket pour tousx1,...,xk points deIdeux à deux distincts, la somme suivante est directe R n=kM i=1 ni(xi). -Les limites existent pour tout(m1;:::;mk)avecm=m1++mknet pour toutxappartenant àI lim (xi)!xk M i=1 mi(xi) =m(x). la limite étant prise sur lesk-uplets de points(x1;:::;xk)deux à deux distincts. En particulierest continue. Par convention, si= (1;:::;n1)est une courbe dans la variété des drapeaux, on posera0=f0getn=Rn. Exemples: Au plongement de Veronese décrit tout à l"heure est naturellement associée une courbe Frenet. Si on identifie à nouveauRk aux polynômes de degrék1enXetY, alorsm([aX+bY])est le sous-espace vectoriel des polynômes divisibles par(aX+BY)nm. Si une courbe= (1;:::;n1)est Frenet, alors la courbe1est hyperconvexe et de classeC1. De plus l"application1détermine unique- mentpar la condition sur les limites. La proposition suivante nous permettra de travailler qui plus est avec des drapeaux complets dès que nous avons une représentation hypercon- vexe. Proposition 4([12, Théorème 6.1]).Si une représentationest hyperconvexe, alors il existe une courbe Frenet:@! F(Rn)-

équivariante.

1.3. Plan de la démonstration du théorème 1.Le théorème que

l"on veut démontrer s"énonce maintenant sous la forme suivante équiva- lente : Théorème.L"ensemble des représentations hyperconvexes est égal à la réunion des composantes de Hitchin. La stratégie générale est proche de celle de [12]. Décrivons la rapide- ment. Nous travaillons dans la suite avec l"espace Hom(;PSLn(R)). Cet es- pace a le même nombre de composantes connexes que Rep(;PSLn(R)).

REPRÉSENTATIONS HYPERCONVEXES 395

Une ou deux de ces composantes, selon la parité den, contiennent des représentationsn-fuchsiennes.

1.3.1. Ouverture.On montrera d"abord l"ouverture des représenta-

tions hyperconvexes dans l"espace Hom(;PSLn(R)). Dans [12] est dé- montrée l"ouverture des représentations hyperconvexes vérifiant une hy- pothèse supplémentaire (propriété (H)). Cette ouverture est démontrée dans la partie 5 et fait appel à la définition intermédiaire de représenta- tion d"Anosov (partie 2). Une étape technique importante est le résultat de la partie 4.

1.3.2. Fermeture dans les irréductibles.Dans les paragraphes 9.3

à 9.5 de [12], F. Labourie montre qu"une représentationfortement irré- ductible, qui est limite de représentations hyperconvexes, est elle-même hyperconvexe.

1.3.3. Ouverture de l"adhérence.Ceci nous amène à considérerH

l"adhérence des représentations hyperconvexes dans Hom(;PSLn(R)). Le résultat principal de [8] permet de montrer queHest ouvert et donc est une réunion de composantes connexes de Hom(;PSLn(R)). Par ailleurs, les travaux de Hitchin [10] montrent que les composantes connexes de Hom(;PSLn(R))autres que la (les) composante(s) de Hit- chin contiennent des représentations à valeurs dans le groupe compact PSO n(R). De telles représentations ne peuvent pas être limites de re- présentations hyperconvexes. L"adhérenceHest donc égale à la réunion des composantes de Hitchin. Or, toujours d"après Hitchin, ces composantes sont constituées de repré- sentations fortement irréductibles, ce qui donne bien que l"ensemble des représentations hyperconvexes est égal à la réunion de ces composantes. Nous rappelons dans la suite de cette partie quelques définitions com- munes.

1.4. Grassmaniennes.La grassmanienne desk-plans deRnest notée

Gr k(Rn)et celle desk-plans orientés,Grk+(Rn). Ce sont des PSLn(R)- espaces homogènes compacts. Etant donnée une norme euclidiennek k surRn, on peut définir une distance surGrk(Rn) d

Grk(Rn)(E;F) := max

maxz2E;kzk=1d(z;F);maxz2F;kzk=1d(z;E) où d(z;F)est la distance entrezet l"ensembleF d(z;F) := minz02Fkzz0k. Comme il existe une isométrie deRnqui échangeEetF, la distance peut s"exprimer d

Grk(Rn)(E;F) = maxz2E;kzk=1d(z;F):

396 O. GUICHARD

On fixera une telle structure euclidienne pour toute la suite. On adop- tera aussi la convention consistant à écrire les dimensions des espaces vectoriels en exposant : un élément deGrk(Rn)sera notéEk, un élément deGrk+(Rn)sera notéEk+et lek-plan associé àEk+sera notéEk.

1.5. Orientations.Précisons les conventions d"orientations utilisées ici.

Une orientationE+, ouE+1, sur un espace vectoriel est le choix d"une classe d"équivalence de bases deE. On noteE1le même espace muni de l"orientation opposée. SiEetFsont orientés et en somme directe, alorsEFest orienté par une base directe deEsuivie d"une base directe deF. On a la formule F +E+= (E+F+)(1)dimEdimF. SiRnest orienté etE+F=Rn, alorsE\Fest aussi canoniquement orienté.

1.6. Action desur son bord.Si

est un élément dedifférent de l"identité, alors l"action de sur le bord@a exactement deux points fixes,x+etx. L"un,x+, est attracteur, c"est-à-dire pour toutxde@, x6=x, on a lim q!+1 qx=x+.

L"autre,x, est répulseur.

On notera d

@une distance définissant la topologie sur le bord@.

1.7. Flot géodésique sur la surface.Dans ce paragraphe nous rap-

pelons les propriétés du flot géodésique sur le fibré tangent unitaire S sur la surface et les liens avec le bord du groupe@.

1.7.1. Le flot géodésique.Notonsele revêtement universel de la

surface. Identifions, pour un instant, ce revêtement universel au demi- plan hyperboliqueH2et le groupeà un sous-groupe de PSL2(R). La surfaces"identifie alors au quotientnH2et le bord deàP1(R). Cette structure riemannienne permet de munir les fibrés en cercles S et S edu flot géodésique(t)t2R.

1.7.2. Géodésiques.L"ensemble des géodésiques orientées dees"iden-

tifie alors aux couples de points distincts(x+;x)du bordP1(R) =@, i.e., à une géodésique on associe ses extrémités. Cette identification est compatible avec l"action de. De plus, le choix d"une orientation surP1(R) =@(on fixe pour toute la suite du texte une telle orientation) permet de définir la notion de triplet orienté de@. On écrirax+> x0> xsi(x+;x0;x)est un triplet orienté. Unk-uplet(y1;:::;yk)sera dit orienté (k3) si y

1> y2>> yk.

Le fibré en cercles S

es"identifie alors à l"ensemble des triplets orientés S e =@3+:=f(x+;x0;x)2@3tel quex+> x0> xg,

REPRÉSENTATIONS HYPERCONVEXES 397

et donc le fibré Ss"identifie au quotient

S = n@3+.

Aussi la géodésique passant par!= (x+;x0;x)se décrit de la ma- nière suivante L !=f(y+;y0;y)2@3+tel quey+=x+; y=xg.

1.7.3. Hyperbolicité du flot.Le flot géodésique sur Seet sur S

est un flot d"Anosov (voir [11] pour la définition des flots d"Anosov). Plus précisément les feuilles centrales stable et instable passant par!= (x+;x0;x)sont F !=f(y+;y0;y)2@3+tel quey+=x+g; F +!=f(y+;y0;y)2@3+tel quey=xg: L"ensemble des feuilles centrales (in)stables pour le flot géodésique agissant sur S eest naturellement identifié au bord@.

2. Structure d"Anosov

Nous rappelons ici les structures géométriques que F. La- bourie associe aux représentations hyperconvexes ainsi que quelques propriétés qui découlent immédiatement des défini- tions. Nous commencerons par donner la définition qui sera la plus manipulée dans la suite du texte avant de donner une définition plus sujette à généralisation.

2.1.2-hyperconvexité.Une courbe dans la variété des drapeaux est

2-hyperconvexe si deux points distincts sont des drapeaux en position

général. Définition 5.Soit= (1;:::;n1)une courbe continue deIdans la variété des drapeauxF(Rn), oùIest un intervalle ou le cercle. L"ap- plicationest dite2-hyperconvexesi pour toutk= 1;:::;n1et pour tousx6=ydansI, R n=k(x)nk(y). Comme plus haut la notion de représentation2-hyperconvexe est dé- finie de manière similaire. Définition 5.Soitune représentation dedans PSLn(R), la re- présentationest dite2-hyperconvexes"il existe une courbe, de@ dans la variété des drapeauxF(Rn),-équivariante et2-hyperconvexe. Les représentations hyperconvexes sont évidemment2-hyperconvexes.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] courbe représentative fonction racine carrée

[PDF] courier charges calculator

[PDF] courier charges calculator dtdc

[PDF] courier charges calculator india

[PDF] courier charges in india per kg

[PDF] courier cost calculator australia

[PDF] courier cost calculator uk

[PDF] courier cost estimator

[PDF] courier post cost calculator

[PDF] cours 1s nourrir l'humanité

[PDF] cours anglais hypnose metz

[PDF] cours anglais sous hypnose avis

[PDF] cours arabe langue étrangère

[PDF] cours automatisme langage ladder

[PDF] cours comptabilité fiche de stock