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Chapitre9 :les nombres complexes21janvier2017

Contrôle de mathématiques

Jeudi 26 janvier 2017

Exercice1

Triangle(6 points)

On donne les points A(2+i), B(6+3i) et C(-1+7i).

1) Placer les points A, B et C dans le plan complexe (O,-→u,-→v) sur l'annexe.

2) a) Déterminer la forme algébrique du complexe

zC-zA zB-zA b) En déduire que le triangle ABC est rectangle.

3) a) Déterminer l'ensemble (Δ) des points M d'affixeztel que :|z-2-i|=|z-6-3i|.

Représenter (Δ) sur l'annexe.

b) On donne le point E?5 2+5i? . Montrer que le point E est le milieu de [BC].

4) a) Calculer la longueur EB.

b) Déterminer l'ensemble (C) des points M d'affixeztel que :|z-zE|=⎷ 65
2.

Représenter (C) sur l'annexe.

c) Pourquoi les points A, B et C appartiennent à (C)?

Exercice2

Fonction complexe(3 points)

Soitzun nombre complexe différent de 2. On posef(z)=iz z-2et A(2)

1) Montrer que l'ensemble (E) des points du plan complexe (O,-→u,-→v) d'affixeztel que

|f(z)|=1 est une droite parallèle à l'axe des imaginaires purs.

2) Montrer quef(z) est un imaginaire pur si, et seulement si,zest réel.

Exercice3

Forme exponentielle(3 points)

1) a) Déterminer le module et un argument dez=-⎷

3+i. En déduire la forme expo-

nentielle dez. b) Donner la forme exponentielle dez4=(-⎷

3+i)4puis sa forme algébrique.

2) Résoudre l'équation (E) d'inconnue complexez:z2-8z+25=0

paul milan1terminale s contrˆole de math´ematiques

Exercice4

Bac(8 points)

On considère les nombres complexeszndéfinis, pour tout entier natureln, par z

0=1 etzn+1=((((((

1+i⎷

3

3))))))

zn.

On note A

nle point d'affixezndans le repère orthonormé (O,-→u,-→v) de l'annexe. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points An.

1) a) Vérifier que 1+i⎷

3

3=2⎷3eiπ

6. b) En déduirez1etz2sous forme exponentielle.

2) a) Montrer que pour tout entier natureln,zn=?2

⎷3? n e inπ 6. b) Pour quelles valeurs den, les points O, A0et Ansont-ils alignés?

3) Pour tout entier natureln, on posedn=|zn+1-zn|.

a) Interpréter géométriquementdn. b) Calculerd0. c) Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,zn+2-zn+1=((((((

1+i⎷

3

3))))))

(zn+1-zn). d) En déduire que la suite (dn)est géométrique puis que pour tout entier natureln, d n=⎷ 3 3?

2⎷3?

n

4) a) Montrer que pour tout entier natureln,|zn+1|2=|zn|2+d2n.

b) En déduire que, pour tout entier natureln, le triangle OAnAn+1est rectangle en An. c) Construire,àlarèglenongraduéeetaucompas,lepointA

5surlafiguredel'annexe

à rendre avec la copie.

d) Justifier cette construction. paul milan2terminaleS contrˆole de math´ematiques Nom :

Prénom :

Annexe exercice 1

(à rendre avec la copie)

123456789

1 2 3 4 5 6 7 8

-1-2

Annexe exercice 4

(à rendre avec la copie) O??? A0A 1A 2A 3A4 A 6 paul milan3terminaleSquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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