[PDF] Correction - 1 ( 6 points ) On considère un cube ABCDEFGH darête

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TS. Évaluation 10 -Correction|

1( 6 points )On considère un cubeABCDEFGH, d"arête de longueur1.

On noteIle point d"intersection de la droite(EC)et du plan(AFH).

1.On se place dans le repère³

. Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A(1 ; 0 ; 0) B(1 ; 1 ; 0) C(0 ; 1 ; 0) D(0 ;0 ; 0) E(1 ;0 ; 1) F(1 ; 1 ; 1) G(0 ; 1 ; 1) H(0 ;0 ; 1) a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite(EC).

M¡x;y;z¢2(EC)()¡¡!EMAEt£¡¡!EC , avect2?. Une représentation paramétrique de la droite (EC) est :

(EC): 8 :xAExEÅt£x¡¡!EC yAEyEÅt£y¡¡!EC zAEzEÅt£z¡¡!EC,t2?()(EC):8 :xAE1¡t yAE0Åt zAE1¡t,t2?avec E(1 ;0 ; 1) et

¡¡!EC0

@¡1 1

¡11

A b.Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). Une équation cartésienne du plan (AFH) est de la formeaxÅbyÅczÅdAE0, avec

¡!n0

@a b c1 A un vecteur normal à ce plan, nest orthogonal à¡!AF0 @0 1 11 A et¡¡!AH0 @¡1 0 11 A

¡aÅcAE0

½bAE ¡c

aAEcdonc¡!n0 @c ¡c c1 A ,AJ BD CFH EG I tous les vecteurs

¡!nsont colinéaires à¡!N0

@1 ¡1 11 A donc une équation du plan (AFH) estx¡yÅzÅdAE0

or ce plan passe par A(1 ; 0 ; 0) donc 1ÅdAE0 d"oùdAE¡1,( AFH)a pour é quationx¡yÅz¡1AE0c.En déduire les coordonnées du pointI, puis montrer que le pointIest le projeté orthogonal du pointEsur le

plan(AFH). Les coordonnées du point I sont les solutions du système : 8>>>< >>:xAE1¡t yAE0Åt zAE1¡t x¡yÅz¡1AE0()8 >>:xAE1¡t yAE0Åt zAE1¡t

1¡t¡tÅ1¡tAE1, donc8

>>:xAE23 yAE13 zAE23 tAE13

Iµ23

;13 ;23

¡!EI0

@23 ¡1 13 23

¡11

A , on a¡!EI0 @¡13 13

¡13

1 A donc¡!EIAE¡13

¡!N c"est-à-dire(E I)?(AFH)

et vu que I2(AFH), le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). d.Démontrer que(HI)?(AF).Que représente le pointIpour le triangleAFH?

La droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF) si, et seulement si, le produit scalaire¡!HI¢¡!AF est nul,

or

¡!AF0

@0 1 11 A et¡!HI0 @23 13 23

¡11

A , donc¡!HI0 @23 13

¡13

1 A , ainsi¡!HI¢¡!AFAE13

Å¡13

AE0()(HI)?(AF)Le point I est dans le plan du triangle AFH et la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF) donc (HI)

est l"une des hauteurs du triangle AFH, pour prouver que I est l"orthocentre du triangle AFH prouvons que

(AI)?(HF), on a :¡!AI0 @¡13 13 231
A

¢¡¡!HF0

@1 1 01 A

AE¡13

Å13

AE0;

I est l"orthocentre du triangle AFH et comme ce triangle est équilatéral de côté de longueur

p2, le point I est point de rencontre de "toutes les droites» du triangle AFH. e.SoitJle milieu de[BF], les vecteurs¡!EI,¡¡!FHet¡!EJsont-ils coplanaires? J

1 ; 1 ;12

donc¡!EI0 @¡13 13

¡13

1 A et¡¡!FH0 @¡1 ¡1 01 A

¡!EJ0

@0 1 12 1 A

Comme 3£¡!EI0

@¡1 1

¡11

A et¡¡!FHÅ2£¡!EJ0 @¡1 1

¡11

A on a :

3 .¡!EIAE¡¡!FHÅ2.¡!EJ()¡!EIAE13

.¡¡!FHÅ23 .¡!EJLes vecteurs ¡!EI ,¡¡!FH et¡!EJ sont coplanaires. On a donc (FH)(EIJ)

2.Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non

fructueuse, sera prise en compte dans l"évaluation. Définitions : ²un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire; ²il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux; ²il est dit de type 3 s"il est à la fois de type 1 et de type 2. Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdreEAFH. Le triangle AFH est équilatéral de côté p2 donc son aire ( formuleA(AFH)AEabsin(C)2 ) est(p2)

2£p3

2 2 AEp3 2 or l"aire de AEH c"est celle d"une demi face du cube c"est12 donc le tétraèdre est ni de type 1 ni de type 3.

Reste à voir s"il est de type 2 or par exemple

¡¡!EA s"écrit¡!EIÅ¡!IA , et l"arête opposée à [EA] c"est [HF] et¡!EI est

orthogonal à toute la face (AFH) donc¡!EI¢¡¡!HFAE0 et¡!IA¢¡¡!HFAE0 car (AI) est l"une des hauteurs du triangle

AFH donc¡¡!EA¢¡¡!HFAE³¡!EIÅ¡!IA´ ¢¡¡!HFAE0 ainsi [EA] et [HF] sont orthogonales et il en de même avec les deux autres couples d"arêtes :([EF] et [AH]) et ([EH] et [AF]).

Le tétraèdre EAFH est dit de type 2 car les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.

.2( 4 points )L"espace est muni d"un repère orthonormal³

O,¡!ı,¡!|,¡!k´

On note(D)la droite passant par les pointsA(1 ;¡2 ;¡1)etB(3 ;¡5 ;¡2).

1.Montrer qu"une représentation paramétrique de la droite(D)est :8

:xAE1Å2t yAE ¡2¡3t zAE ¡1¡tavect2?. La droite (D) passe par A(1 ;¡2 ;¡1) et a pour vecteur directeur¡¡!AB0 @2 ¡3

¡11

A . Elle a donc pour représentation paramétrique : 8< :xAE1Å2t yAE ¡2¡3t zAE ¡1¡tavect2?.2.On note(D0)la droite ayant pour représentation paramétrique :8 :xAE2¡k yAE1Å2k zAEkaveck2?.Montrer que les droites(D)et(D0)ne sont pas coplanaires.

La droite (D

0) a pour vecteur directeur¡!u0

@¡1 2 11 A . Les vecteurs¡!uet¡¡!AB ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles),donclesdroites(D)et(D si, et seulement si, il existe deux réelstetktels que8 :1Å2tAE2¡k(L1)

¡2¡3tAE1Å2k(L2)

¡1¡tAEk(L3). Or (L

1)Å(L2)¡(L3)()0AE3

(Impossible!). Les trois équations sont incompatibles et les droites n"ont pas de point commun.

Les droites (D) et (D

0) ne sont ni sécantes ni parallèles, elles sont donc non coplanaires.

3.On considère le plan(P)d"équation4xÅyÅ5zÅ3AE0.

a.Montrer que le plan(P)contient la droite(D).

Pour tout réelt, on a 4(1Å2t)Å(¡2¡3t)Å5(¡1¡t)Å3AE0, donc tout point de (D) appartient au plan (P).

La droite (D) est donc incluse dans le plan (P).

b.Montrer que le plan(P)et la droite(D0)se coupent en un pointCdont on précisera les coordonnées.

M(x;y;z)2(P)\(D0)()il existe un réelktel que8

>>:xAE2¡k yAE1Å2k zAEk

4xÅyÅ5zÅ3AE0 (e)

M(x;y;z)2(P)\(D0)()8

:xAE2Å4AE6 yAE1¡8AE ¡7 zAE ¡4AE ¡4Le point C a pour coordonnées (6 ;¡7 ;¡4).

4.On considère la droite(¢)passant par le pointCet de vecteur directeur¡!w0

@1 1

¡11

A

a.Montrer que les droites(¢)et(D0)sont perpendiculaires.¡!u¢¡!wAE(¡1)£(1)Å(2)£(1)Å(1)£(¡1)AE0

Elles possèdent le point C en commun, elles sont donc perpendiculaires. b.Montrer que la droite(¢)coupe perpendiculairement la droite(D)en un pointEdont on précisera les coordonnées. De même,¡!w¢¡¡!ABAE0 donc les droites (¢) et (D) sont orthogonales. La droite (¢) a pour représentation paramétrique :8 :xAE6Ÿ yAE ¡7Ÿ zAE ¡4¡¸avec¸2?.

Les droites (D) et (¢) ont un point en commun si, et seulement si, il existe deux réelstet¸tels que :8<

:1Å2tAE6Ÿ

¡2¡3tAE ¡7Ÿ

¡1¡tAE ¡4¡¸()8

:2t¡¸AE5 (L1)

3tŸAE5 (L2)

t¡¸AE3 (L3)()8 :2t¡¸AE5 (L1)

5tAE10 (L2ÅL1)

¡tAE ¡2 (L3¡L1)()½¸AE ¡1

tAE2 Les deux droites se coupent perpendiculairement en un point E(x;y;z) tel que : 8< :xAE1Å4AE6¡1AE5 yAE ¡2¡6AE ¡7¡1AE ¡8 zAE ¡1¡2AE ¡4Å1AE ¡3 Le point E a pour coordonnées (5 ;¡8 ;¡3).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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