[PDF] probabilités Lexercice 1) On lance deux dés équilibrés `a 6 faces et

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Theme : probabilites

L'exercice

1) On lance deux d es equilibres a6 faces et on note la somme d esdeux faces obten ues. 1.a)

Donner un univ ersasso ciecette exp erience.

On considereU t1;2;3;4;5;6u t1;2;3;4;5;6uqui permet de modeliser les dierentes issues de l'experience. 1.b) A-t-on plus de c hancesd'ob tenir6 ou d'obtenir 7 ?Justier. L'evenement "obtenir 6" est la reunion desevenementselementairesp1;5q;p2;4q;p3;3q;p4;2q;p5;1q. L'evenement "obtenir 7" est la reunion desevenementselementairesp1;6q;p2;5q;p3;4q;p4;3q;p5;2q;p6;1q. Ici, il est naurel de considerer que tous les couples sont equiprobables. La probabilite de chacun d'entre eux est alors egale a 136
et la probabilite de l'evenement "obtenir 6" est egale a536 alors que la probabilite de l'evenement "obtenir 7" est egale a 636
16 . Il est donc plus probable d'obtenir 7 que 6.

Remarque: si le choix d'univers conduit a

t2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12u, l'ensemble des sommes possibles, il est possible de denir une probabiulite sur sans revenir (explicitement) a l'universU. Pour cela, on s'appuie sur l'idee que la probabilite d'une somme est propor- tionnelle au nombre de couples qui lui correspondent. Par exemple,Pp"somme2"q et Pp"somme3"q 2car un seul couple donne 2 pour somme (le couple (1,1)) et deux couples donnent 3 pour somme ((1,2) et (2,1)). En procedant ainsi et en tenant compte que la somme des probabilites vaut 1, on determine136 et on retrouve les probabilites de chacune des sommes. 2) On lance main tenanttrois d eset on note la somm edes faces obten ues.A-t-on autan tde c hances d'obtenir 9 que 10? Un univers de reference est l'ensemble des tripletspi;j;kqou chaque indice varie parmi les entiers compris entre 1 et 6. Il contient donc 6

3216 elements. L'equiprobabilite sur cet ensemble attribue

donc une probabilite egale a 1216
a chaque evenement elementaire.

SiAest l'evenement "obtenir 9", alors

A tp6;2;1q;p6;1;2q;p5;3;1q;p5;2;2q;p5;1;3q;p4;4;1q;p4;3;2q;p4;2;3q;p4;1;4q;p3;5;1q;p3;4;2q;p3;3;3q;

p3;2;4q;p3;1;5q;p2;6;1q;p2;5;2q;p2;4;3q;p2;3;4q;p2;2;5q;p2;1;6q;p1;6;2q;p1;5;3q;p1;4;4q;p1;3;5q;p1;2;6qu

etPpAq 25216

SiBest l'evenement "obtenir 10", alors

B tp6;3;1q;p6;2;2q;p6;1;3q;p5;4;1q;p5;3;2q;p5;2;3q;p5;1;4q;p4;5;1q;p4;4;2q;p4;3;3q;p4;2;4q;p4;1;5q;

p3;6;1q;p3;5;2q;p3;4;3q;p3;3;4q;p3;2;5q;p3;1;6q;p2;6;2q;p2;5;3q;p2;4;4q;p2;3;5q;p2;2;6q;p1;6;3q;p1;5;4q;p1;4;5q;p1;3;6qu

etPpBq 27216

Il est donc plus probable d'obtenir 10 que 9.

La m^eme remarque que dans la question preecdente peut ^etre faite. 1 La solution proposee par trois eleves a la question 1.b):

Eleve 1

Non, on n'a pas plus de chances d'obtenir 6 ou d'obtenir 7 car le lancer est du pur hasard

Eleve 2

La probabilite de 6 est

311

La probabilite de 7 est

311
Il y a autant de chance car leurs probabilites sont egales.

Eleve 3

On n'a pas plus de chances d'obtenir 6 et 7 car pour 6 il faut 1 et 5; 2 et 4; 3 et 3.

Pour 7 il faut 1 et 6; 2 et 5; 3 et 4.

Les issues on les m^eme probabilites, on parle alors d'une situation d'equiprobabilite.Le travail a exposer devant le jury

1- Quelles son tles connaissances et les comp etencesmises en o euvredans ce texercice ? Rappelons d'abord que l'on entendra ici le mot "connaissance" (ou le mot "savoir") comme un ensemble d'enonces (theoremes, denitions, formules) independants du sujet connaissant (l'eleve). Le mot "competence" fera reference a un ensemble de regles d'actions (redaction, declaration orale, processus de calculs) qui visent a mettre en uvre une (ou des) connaissance(s) pour resoudre un certain type de problemes.

Connaissances

D enitiond'un univ ers;

Probabilit ed eniesur un univ ers(et par l asur tous les evenementsconstruits apartir des elements de cet univers); Propri etes elementairesde l'addition des en tiers.

Competences

Choisir un u niversadapt e ala mo delisationd'une exp erienceal eatoire; D eterminerune probab iliteadapt ee al'univ ersc hoisi; D enirun evenement apartir d' evenements elementaires(par r eunioni ci); D enombrerun ensem bleni a vecun algorithme (implicite) q uiassure de ne pas "oublier" d'elements. R edigerune solution en utilisan tun v ocabulaireadapt e. 2- P ourc hacunedes r eponses,indiquez le raisonnemen tqu el' elevea pu suivre et l'ori ginede ses eventuelles erreurs. 2 e1 -P ourcet eleve,le raisonnemen tes ttr esso mmaire.La seule c hosequ'il sait faire c'es tin vo- quer le caractere aleatoire de l'experience et il semble que pour lui "aleatoire = equiprobable = imprevisible". e2 -

Cet elevemo delise(implicitemen t)l'exp eriencepar les v aleursdes som mesp ossibles: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

Soit onze resultats possibles, d'ou le denominateur 11. Ensuite, il denombre les couples qui donnent les sommes 6 et 7. Il trouve trois couples pour chaque somme - car il ne distingue pas les des - fait l'hypothese que chacun de ces couples a une probabilite egale a 111
et conclut. Il applique donc ind^ument l'equiprobabilite sur un univers dont les elements ne sont pas equiprobables. Pour

un eleve de Seconde, cette facon de faire n'est pas surprenante puisque l'equiprobabilite est la pro-

babilite qui intervient dans l'immense majorite des exercices auxquels ces eleves sont confrontes. e3 -

Comm el' elevepr ecedent,cet elevene distingue pas les deux d eset fait l'h ypothesed' equiprobabilite

sur les paires de resultats, ce qui n'est pas adapte. 3- Prop osezune correction de la question 2) telle que v ousl'exp oseriezdev antune classe de seconde.

Voir correction de l'exercice.

4- Pr esentezdeux ou trois exercices mettan ten jeu les probabilit es,don tun au moins demandera une simulation.

Ex 1 :

Prol ongementde l'exercice prop ose

a) Justier que lors du lancer de deux d es equilibres,les probabilit esdes di erentessommes possibles sont :Sommes23456789101112 Prob1 361
181
121
95
361
65
361
91
121
181
36
b) Prop oserune sim ulationde 10000 lancers de deux d es,r ealisee al'aide d'un tableur, qui permette de mettre a l'epreuve ces probabilites.

Voir chier Excel "Ex1Proba1.xlsx".

Ex 2 :

En un lieu donn e,l'heure de passage de Jules suit une loi uniforme sur l'in tervaller13; 14s. En ce m^eme lieu, l'heure de passage de Jim suit une loi uniforme surr13;5; 15s. En faisant l'hypothese que les heures de passage suivent des lois independantes l'une de l'autre, quelle est la probabilite pour que Jules et Jim se rencontrent?

Solution :

L'evenementR="Jules et Jim se rencontrent" est l'intersection des deuxevenements independants R

1="Jules passe entre 13,5 et 14 h" etR2="Jim passe entre 13,5 et 14h".

3

PpR1q 11413»

14

13:51dt rts1413:512

PpR2q 11513:5»

14

13:51dt11:5rts1413:513

Les evenement etant independants, la probabilite de leur intersection est le produit de leurs probabilites, soit 16

Ex 3 :

On v eutcomparer les probabilit esde panne de deux circuits electroniques.Le premmier cir- cuit est constitue par dix composants montes en serie. Le second est constitue de 10 cellules montees en serie, chaque cellule etant constituee de deux composants montes en parallele (la cellule fonctionne alors des qu'un de ses composants fonctionne). La probabilite de panne d'un composant est egale a 0,2. a) D eterminerla probabi litede panne du premier circuit. b) D eterminerla probab ilitede panne du second circuit. c) On construit main tenantun circuit analogue au second circuit mais comp ortantncellules (nentier). Pour quelles valeurs dence circuit est-il moins able que le premier circuit (avec dix composants montes en serie)?

Solution :

a) Le premier circuit est en panne d esque l'un au moins des comp osantsest e npanne. Si on note1l'evenement le premier circuit est en panne, alorsPp1q 1Pp

1q, ou

1 est l'evenement contraire de1, c'est-a-dire l'evenement "le premier circuit n'est pas en panne"="les 10 composants fonctionnent". Si on noteXla va qui donne le nombre de composants du premier circuit,Xest une va binomiale de parametresN10;p0;2 etPp

1q p0;8q10, d'ouPp1q 1 p0;8q10

0;893, en arrondissant au millieme pres.

b) Le se condcircuit est en panne lorsque l'une au moins des 10 cellules qui le comp oseest en panne et cela arrive lorsque les deux composants de cette cellule le sont et seulement dans ce cas. Si on note2l'evenement "le second circuit est en panne", alors

2est l'evenement "le

second circuit n'est pas en panne"="aucune cellule n'est en panne". Calculons la probabilite p

1qu'une cellule soit en panne, cela arrive si les deux composants qui la constituent sont en

panne :p1 p0;2q20;04. SiYest la va qui donne le nombre de cellules en panne,Yest une va binomiale de parametres

N10;p10;04 et

Pp2q 1Pp

2q 1 p0;96q100;335:

c)

Il faut comparer 1 p0;96qnet 1 p0;8q10. On a

netant entier, on retiendra la valeurn55. 4quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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