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iGénération de l"onde de Scholte par conversion d"onde de surfaceProjet réalisé du 15 janvier au 13 avril 2018.

Réalisé par :

ChloëPalerm

ClémentDu Burck

Encadrants :

TonyValier-Brasier

RégisWunenburger

NicolasChastrette

Sorbonne Université Master Sciences pour l"ingénieur

Introduction

Du fait qu"elles soient guidées, les ondes de surface suscitent depuis longtemps l"intérêt de la commu-

nauté scientifique et ont amené à diverses applications. Par exemple, les ondes de Rayleigh sont notamment

utilisées dans les domaines du contrôle non destructif [ 1 ], de la microscopie acoustique [ 2 ], et il a été montré qu"elles peuvent permettre de déplacer des objets à la surface de matériaux [ 3

Lorsqu"un solide est chargé par un fluide, deux ondes d"interface peuvent exister : une onde de Ray-

leigh fuyante, ou encore onde deleakyRayleigh, dont les caractéristiques (célérité et polarisation) sont très

semblables à celles de l"onde de Rayleigh, et une onde de Scholte, dont la vitesse est légèrement inférieure à

celle des ondes de compression dans le fluide. L"onde de Scholte est une onde particulièrement intéressante

puisqu"elle se propage sans atténuation, contrairement à l"onde deleakyRayleigh qui rayonne de l"énergie

dans le fluide au cours de sa propagation. Pour cette raison, il a récemment été envisagé d"utiliser l"onde

de Scholte comme moyen pour caractériser des fluides, notamment leur viscosité. Cependant, l"utilisation

de l"onde de Scholte présente une difficulté : sa génération. Plusieurs méthodes existent, parmi lesquelles la

génération par laser [ 4

], qui a pour défaut d"être très onéreuse, la génération par l"intermédiaire d"un sabot

liquide [ 5

] ou d"un sabot " mou » (c"est-à-dire un sabot solide au module de cisaillement très faible) [

6

exploitant la loi de Snell-Descartes, ou encore la génération directe par utilisation de peignes interdigités [

7

Il a été montré par M. de Billy que l"onde de Scholte peut également être générée par la conversion

d"une onde de Rayleigh [ 8 ]. En effet, lorsqu"un solide est partiellement immergé dans un fluide, une onde

de Rayleigh peut se propager le long de l"interface solide/air. Lorsque cette onde rencontre la ligne triple,

elle se convertit en onde deleakyRayleigh et, sous certaines conditions, en onde de Scholte se propageant

le long de l"interface solide/fluide. L"expérience proposée par M. de Billy est schématisée en figure

1 . Cette

expérience présente de nombreux paramètres tels que le matériau solide et le fluide utilisés, la profondeur

d"immersion, l"angle d"immersion et l"angle de mouillage. Ce dernier paramètre, dont l"influence dans la

génération de l"onde de Scholte a été mise en évidence par M. de Billy, ne dépend que des propriétés

chimiques du solide et du fluide. Aussi il n"est possible de contrôler l"angle de mouillage que dans une

certaine mesure, par exemple en traitant la surface du solide de manière à la rendre hydrophobe.R

S LR Air

Fluide

SolideFigure1 - Schématisation de l"expérience. Les lettres R, S et LR désignent respectivement les ondes de

Rayleigh, Scholte etleakyRayleigh. Les angles d"immersion et de mouillage sont respectivement notés

et.

Ce projet a pour objectif de reproduire l"expérience de M. de Billy afin d"étudier les ondes d"interface

générées par conversion de l"onde de Rayleigh à la ligne triple solide/air/fluide. En premier lieu, il sera

abordé dans ce compte-rendu la caractérisation du matériau solide utilisé dans l"expérience. La méthode de

génération de l"onde de Rayleigh sera ensuite décrite, puis une étude détaillée des ondes deleakyRayleigh

et de Scholte générées dans le fluide sera finalement proposée. 1 Caractérisation ultrasonore des matériaux de l"étude

1 Caractérisation ultrasonore des matériaux de l"étude

Pour détecter les différentes ondes étudiées dans le cadre de ce projet, il est nécessaire d"estimer leur

temps de vol. À cette fin, il est proposé dans cette partie de caractériser le matériau qui sera immergé dans

l"expérience, ce qui permettra le calcul des vitesses des ondes d"interface pouvant s"y propager. Le solide

à la surface duquel générer l"onde de Rayleigh est ici une plaque de dural longue de 40 cm et d"épaisseur

e= 9;74mm. La plaque étant de forme parallélépipédique, sa masse volumique se calcule simplement

comme le rapport de sa masse par le produit de ses dimensions : = 2792 kg=m3:

La vitessecTdes ondes transverses dans la plaque est mesurée à l"aide d"un transducteur piézoélectrique

à ondes de cisaillement de la marque Olympus, de fréquence centrale 5 MHz et de diamètre 0,5 pouce,

utilisé en émission et en réception. Ce transducteur, excité par un pulseur, est placé de manière à générer

et réceptionner une onde transverse dans l"épaisseur de la plaque, en prenant soin d"appliquer une couche

de couplant visqueux entre le transducteur et la plaque (figure 2a ). Le signal ainsi réceptionné est envoyé

vers une carte d"acquisition quantifiant sur 14 bits à la fréquence d"échantillonnage 400 MHz. Le principe

du montage est schématisé en figure 2b . La mesure de la vitessecLdes ondes longitudinales dans la plaque

se fait de la même manière, mais avec un transducteur à ondes de compression de la marque General

Electrics, de fréquence centrale 3,5 MHz et de diamètre 0,5 pouce, et en remplaçant le couplant visqueux

par du couplant aqueux.(a)Pulseur Carte d"acquisition e(b)

Figure2 - (a) Photographie et (b) schématisation du montage permettant la mesure de la célérité des

ondes transverses dans la plaque de dural. Du gel visqueux et un serre-joint assurent un bon couplage

entre le transducteur à ondes de cisaillement et la plaque.

Les signaux obtenus avec les transducteurs à ondes transverses et longitudinales sont tracés en figures

3a et 3b

resp ectivement.Sur c esgraphes apparaissen tdes pics corresp ondantaux éc hos,c"est-à-dire aux

multiples allers-retours effectués par l"onde émise par le transducteur dans l"épaisseurede la plaque. Deux

échos consécutifs sont donc séparés du temps nécessaire à l"onde pour parcourir une distance2e. Il est

ainsi possible de tracer l"évolution du temps de vol des ondes transverses et longitudinales en fonction

de la distance parcourue dans le dural ramenée à2e(figure4 ). Les courbes obtenues sont des droites de

coefficient directeur2e=cTet2e=cLrespectivement. Connaissant l"épaisseurede la plaque, les vitessescT

etcLsont déterminées par régression linéaire en prenant en compte douze échos : c

T= 3146m/s; cL= 6302m/s:

2 Caractérisation ultrasonore des matériaux de l"étude-0,3-0,2-0,100,10,20,3

Amplitude (V)

t s)

0 10 2030 40 50(a)0 5 10 1520 25 30

t s) -0,3-0,2-0,100,10,20,3

Amplitude (V)(b)

Figure3 - Signaux représentant les échos des ondes (a) transverses et (b) longitudinales dans l"épaisseur

de la plaque de dural. Les mesures de temps de vol ne se font pas directement sur le signal (en gris) mais

sur son enveloppe obtenue par l"intermédiaire de la transformée de Hilbert (en noir). 4 2 e6 8 10 12

57 9 1113130

d

01020304050607080

Temps de vol (

s)

Onde transverse

Onde longitudinale

2Figure4 - Évolution du temps de vol des ondes longitudinales et transverses dans le dural en fonction de

la distance parcourue ramenée à2e(l"axe des abscisses donne donc le nombre d"allers-retours des ondes

dans l"épaisseur de la plaque). Les droites sont les régressions linéaires des deux séries de mesures.

Le calcul de la vitesse des ondes de Rayleigh dans la plaque nécessitant également la connaissance des

coefficients de Laméetdu dural, il est rappelé les relations suivantes : c T=r ; cL=s+ 2 d"où : = 55;6 GPa; = 27;6 GPa: 3 Génération et détection de l"onde de Rayleigh

La plaque de dural ici caractérisée présentant quelques défauts pouvant potentiellement obstruer la

propagation des ondes d"interface, un autre échantillon sera utilisé pour présenter une partie des résultats

de ce compte-rendu : il s"agit d"une seconde plaque de dural, plus lisse que la première et d"épaisseur

e= 10;20mm. Sa caractérisation, effectuée de la même manière que décrit précédemment, fournit les

valeurs suivantes : = 2660 kg=m3; cT= 3207 m=s; cL= 6328 m=s; soit les coefficients de Lamé : = 51;8 GPa; = 27;4 GPa:

2 Génération et détection de l"onde de Rayleigh

Comme cela a été décrit, l"expérience consiste dans un premier temps en la génération de l"onde de

Rayleigh à la surface d"une plaque de dural. La méthode ici retenue est la génération par l"intermédiaire

d"un sabot : une onde longitudinale incidente dans un sabot à la céléritécpet à un angle critiqueR, dit

angle de Rayleigh, doit se convertir en une onde de Rayleigh se propageant à la céléritécRle long de la

plaque de dural. L"angle de Rayleigh vérifie la loi de la transmission de Snell-Descartes : sin(R) =cpc

R;(2.1)

ce qui impose la condition nécessaire suivante pour pouvoir générer une onde de Rayleigh par sabot :

c p< cR:(2.2) La célérité des ondes de Rayleigh peut être approchée par la relation suivante [ 9 c

RcTs1;44+ 0;881;58+ 1;16;(2.3)

où les coefficients de Laméetet la céléritécTdes ondes transverses dans la plaque de dural ont été

déterminés en partie 1 . Il est ainsi obtenu, pour la plaque de dural présentant quelques défauts de surface : c

R= 2935 m=s;

et pour la plaque de dural sans défaut : c

R= 2989 m=s:

Le dispositif utilisé au cours de ce projet pour la génération de l"onde de Rayleigh a été mis en place

dans le cadre de la thèse de Nicolas Chastrette à l"Institut Jean Le Rond D"Alembert. Ce dispositif,

photographié et schématisé en figures 5a et 5b resp ectivement,consiste en un transduct eurpiézo électrique

à ondes longitudinales fixé à un sabot de plexiglas à angle variable, lui-même plaqué contre la plaque

de dural à la surface de laquelle il est souhaité de générer une onde de Rayleigh. Afin d"assurer un bon

couplage entre tous les éléments de ce montage et pour éviter la présence d"éventuelles bulles d"air, du

couplant aqueux est appliqué à chaque interface. Le transducteur piézoélectrique utilisé est un transducteur

de puissance de la marque Olympus, de fréquence centrale 1,3 MHz et de dimensions0;51pouce. Ce

transducteur, fonctionnant en émission et en réception, est relié au même système d"acquisition que celui

décrit en partie 1 . Le sabot, dont la forme hémicylindrique permet le réglage de l"angle d"incidence, est

également de la marque Olympus. La céléritécpdes ondes longitudinales dans le sabot est donnée par le

constructeur : c p= 2720 m=s; ce qui vérifie bien la condition 2.2 et donne lieu à un angle de Ra yleighégal à R= 67;9dans le cas de la plaque présentant des défauts etR= 65;5pour la seconde plaque. 4 Génération et détection de l"onde de Rayleigh (a)L R(b)

Figure5 - (a) Photographie et (b) schématisation du dispositif expérimental permettant la génération

d"ondes de Rayleigh dans une plaque de dural. Les lettres L et R désignent respectivement des ondes

longitudinale et de Rayleigh. La distance de propagation de l"onde longitudinale dans le sabot de plexiglas vaut environlp= 36;3mm

et la distance de propagation de l"onde de Rayleigh entre sa génération et son arrivée à l"extrémité de la

plaque vautL= 37;5cm. Ces mesures permettent d"estimer théoriquement le temps de vol d"une onde

longitudinale générée dans le plexiglas par le transducteur, convertie en onde de Rayleigh se propageant

le long de la plaque de dural, et réfléchie à l"extrémité de cette dernière. L"onde ainsi réfléchie réalise le

parcours inverse avant d"être réceptionnée par le transducteur. Le temps de vol théorique d"une telle onde

est donc : t= 2lpc p+Lc R :(2.4)

Expérimentalement, l"angle de Rayleigh est recherché en observant l"évolution du signal réceptionné

par le transducteur en faisant varier lentement l"angle d"incidence entre60et70. Lorsque l"angle d"inci-

dence est égal à l"angle de Rayleigh, l"onde longitudinale dans le sabot se convertit en onde de Rayleigh

dans la plaque, ce qui se caractérise par un signal présentant un pic plus fin et de plus forte amplitude que

celui associé à une onde transverse, et dont la position temporelle est en accord avec le calcul théorique

en relation 2.4

Il est donné en figure

6 le signal obten uà l"angle de Ra yleighp ourla plaque de dural présen tantdes

défauts. Le temps de vol de l"onde de Rayleigh relevé sur ce signal vaut 283s (pic surligné en rouge sur

le graphe), ce qui est tout à fait en accord avec le temps calculé théoriquement (282s). Sur ce signal,

d"autres échos notables sont observables, parmi lesquels celui de l"onde ayant effectué deux allers-retours

entre le transducteur et l"extrémité de la plaque (à 562s, en bleu sur le graphe) et celui d"une onde

réfléchie à l"intérieur du sabot de plexiglas (à 42s, en vert sur le graphe). La partie saturée au début du

signal correspond à l"émission par le transducteur.

Il peut être intéressant, pour l"étude des ondes deleakyRayleigh et de Scholte dans les parties à venir,

de s"intéresser au contenu fréquentiel de l"onde de Rayleigh. Aussi il est représenté en figure

7a un fenêtrage de l"onde de Rayleigh et en figure 7b le sp ectreen a mplitudede cette fenêtre. Il apparaît alors que l"o nde de Rayleigh est caractérisée par une fréquence centrale de 830 kHz. 5

Génération et détection d"ondes d"interface par conversion d"onde de Rayleigh à la ligne triple0 100 200 300 400500 600 700 800

t s) -0.3-0.2-0.100.10.20.3

Amplitude (V)Figure6 - Signal réceptionné par le transducteur lorsque celui-ci est réglé à l"angle de Rayleigh.

278 280 282 284 286 288290 292

t s) -0,3-0,2-0,100,10,20,3

Amplitude (V)(a)

0 12 34

f (MHz)

00,20,40,60,81

Amplitude normalisée(b)

Figure7 - (a) Fenêtrage et (b) spectre de l"onde de Rayleigh.

3 Génération et détection d"ondes d"interface par conversion d"onde de

Rayleigh à la ligne triple

Un dispositif photographié en figure

8a p ermetl"immersion de la plaque de dural dans un aq uarium

rempli d"eau, dont la masse volumique vautf= 1000 kg=m3et la célérité des ondes de compression s"y

propageant est environ égale àcf= 1460m/s. Le réglage de l"angleet de la profondeurhd"immersion

de la plaque est permis par ce dispositif. Il est ici proposé d"estimer dans un premier temps les temps de

vol de trois ondes afin de permettre leur détection. Les notations employées par la suite sont données en

figure 8b ( Ln"est pas la longueur de la plaque mais la distance de propagation des ondes d"interface dans la plaque). 6

Calcul de temps de vol

(a)Lh(b)

Figure8 - (a) Photographie du dispositif immergé, (b) notations utilisées dans ce compte-rendu.

3.1 Calcul de temps de vol

L"immersion de la plaque dans laquelle se propage une onde de Rayleigh pouvant donner lieu à de

nombreuses autres ondes, il est nécessaire d"estimer des temps de vol théoriques afin de pouvoir détecter

certaines ondes. Il est question dans cette partie de calculer les temps de vol de trois ondes pouvant se

propager dans le dispositif : une o ndede Ra yleighse réfléc hissantsur la li gnetriple solide/air/eau ;

une onde de Ra yleighse con vertissante nonde de leakyRayleigh au passage à l"interface solide/eau;

une o ndede Ra yleighse con vertissanten onde de Sc holteau passage à l"in terfacesolide/eau.

En tenant compte du temps de parcours de ces ondes dans le sabot de plexiglas, les temps de vol de ces

trois ondes, notés respectivementtR,tLRettS, sont donnés par : tR= 2lpc p+Lhc R ;(3.1) tLR= 2lpc p+Lhc R+hc 0LR ;(3.2) tS= 2lpc p+Lhc R+hc S :(3.3)

oùc0LRest la partie réelle de la célérité de l"onde deleakyRayleighcLRetcSest la célérité de l"onde de

Scholte à l"interface dural/eau.

D"après la référence [

10 ], l"équation de dispersion d"une onde se propageant à l"interface entre un solide et un fluide s"écrit : 2c2c 2T 2 4s 1c2c 2L 1c2c 2T jfc4c 4Tv uuuuuut1c2c 2Lc 2c

2f1= 0;(3.4)

7 Plaque à la verticale avec évolution de la profondeur d"immersion où,cTetcLcaractérisent le solide, tandis quefetcfcaractérisent le fluide.

La céléritécSde l"onde de Scholte est la racine réelle de l"équation3.4 et la célérité cLRen est la racine

complexe. Il est obtenu numériquement, pour la plaque présentant des défauts : c

S= 1457 m=s; cLR=c0LR+jc00LRavec(c0LR= 2943 m=s;

c

00LR= 81;42 m=s;

et dans la plaque sans défaut : c

S= 1457 m=s; cLR=c0LR+jc00LRavec(c0LR= 2997 m=s;

c

00LR= 86;00 m=s:

Ainsi, en appliquant les relations

3.1 3.3 , les temps de vol des trois ondes considérées sont obtenues

en fonction de la profondeur d"immersion de la plaque. Certaines valeurs de temps de vol sont référencées

dans les tableaux 1a et 1b p ourles plaque sa vecet sans défaut resp ectivement.Les temps de v olp our

une profondeur d"immersionhinférieure à 12 cm ne sont pas données puisque le but est ici de découpler

temporellement ces trois ondes. En effet, pour les faibles valeurs deh, il vienttRtLRtS.h(cm)tR(s)tLR(s)tS(s)12200282365

14187282379

16173282393

18160282407

20146282420

22132282434

(a)h(cm)tR(s)tLR(s)tS(s)12197277362

14184277376

16170277390

18157277404

20144277418

22130277432

(b)

Table1 - Temps de vol théoriques pour quelques profondeurs d"immersion avec (a) la plaque présentant

des défauts et (b) la plaque sans défauts.

3.2 Plaque à la verticale avec évolution de la profondeur d"immersion

Dans cette partie est étudiée l"évolution des ondes apparaissant dans les signaux en immergeant la

plaque avec un angle d"immersionnul, les résultats étant donnés avec la plaque ne présentant pas de

défaut. Une immersion progressive de la plaque donne lieu aux signaux représentés en figure 9 . Il y apparaît

alors que l"onde de Rayleigh se convertit en une onde deleakyRayleigh dont l"amplitude décroît avec la

profondeur d"immersion (partie des signaux encadrée en bleu). Par ailleurs, l"onde de Rayleigh réfléchie

sur la ligne triple est clairement identifiable, son temps de voltRétant très proche de celui calculé, donné

dans le tableau 1b (partie des signaux encadrée en v ert).Il est à noter que tous les sig nauxen figure 9

présentent entre 0 et 120s l"émission par le transducteur et plusieurs réflexions de l"onde longitudinale

dans le sabot de plexiglas. Ces ondes n"étant pas liées aux ondes de surface étudiées dans ce compte-rendu,

les signaux présentés ultérieurement omettront les temps inférieurs à 120s.

Le montage avec= 0ne permet pas la génération de l"onde de Scholte. En effet, malgré l"apparition

de multiples échos dans les signaux en figure 9 , aucun n"a un temps de vol comparable aux tempstS référencés dans le tableau 1b . Cependant, les signaux obtenus permettent une étude de l"onde deleaky Rayleigh, dont le fenêtrage et la transformée de Fourier sont donnés en figures 10a et 10b resp ectivement

pour plusieurs profondeurs d"immersion. Il apparaît que l"onde deleakyRayleigh se caractérise, comme

l"onde de Rayleigh, par une fréquence centrale de 850 kHz environ. 8

Plaque à la verticale avec évolution de la profondeur d"immersion0 50 100 150 200250 300 350 400 450500

t s)

0246810121416182022

Profondeur d"immersion (cm)Figure9 - Signaux obtenus en faisant varier la profondeur immergée avec un angle d"immersion nul. Le

signal en gris est obtenu pour la plaque non immergée avec un gain inférieur à celui des autres signaux

pour éviter une saturation.

276 278 280 282 284 286288

t s) -0,02-0,0100,010,02

Amplitude (V)

h = 4 cm h = 8 cm h = 12 cm(a)

0 12 34

f (MHz)

00,20,40,60,81

Amplitude normalisée

h = 4 cm h = 8 cm h = 12 cm(b)

Figure10 - (a) Fenêtrage et (b) spectre de l"onde deleakyRayleigh pour trois profondeurs d"immersion.

L"onde deleakyRayleigh ayant une céléritécLRcomplexe, son amplitude décroît théoriquement selon

l"exponentielleexp(2h), où le coefficient d"atténuationest l"opposé de la partie imaginaire du nombre

d"ondekassocié àcLR(le facteur 2 dans l"exponentielle décroissante provient du fait que les ondes repérées

dans cette expérience effectuent un aller-retour dans la plaque). Le coefficients"écrit, en employant le

formalisme de l"onde plane : =Im(k) =Im!c LR =Im!c

0LR+jc00LR

=! c00LR(c0LR)2+ (c00LR)2;(3.5)

où!= 2f0est la pulsation de l"onde deleakyRayleigh (f0= 850kHz). Il est ainsi calculé= 51;08 m1

pour la plaque sans défaut. Le facteurpeut également être approché par la relation suivante [11] :

fcff0 c

2R;(3.6)

9

Signaux pour différents angles d"immersion

où,fetcfsont définis de la même manière qu"en partie3.1 et cRest la célérité des ondes de Ray-

leigh dans le dural. Cette estimation donne= 52;23 m1. Les évolutions théorique et expérimentale

de l"amplitude de l"onde deleakyRayleigh sont comparées en figure11 . L"amplitude expérimentale est

mesurée sur l"enveloppe des signaux obtenus, et le facteur d"atténuationest calculé par la relation3.5 ,

l"estimation 3.6 do nnantune courb eprat iquementiden tique.0 5 1015 20

Profondeur d"immersion (cm)

00,20,40,60,81

Amplitude normaliséeFigure11 - Évolution de l"amplitude de l"onde deleakyRayleigh en fonction de la profondeur d"im-

mersion. La ligne grise représente l"amplitude théorique, proportionnelle àexp(2h), et les points noirs

l"amplitude mesurée sur l"enveloppe des signaux.

3.3 Signaux pour différents angles d"immersion

L"onde de Scholte n"ayant pas pu être observée avec un angle d"immersion de la plaque nul, il est ici

proposé d"étudier l"évolution des signaux obtenus avec la plaque sans défaut en faisant varier. L"im-

portance de ce paramètre est mise en évidence en figure 12a , représentant les signaux observés sur une large gamme de temps en faisant varierde25à38avech= 16cm. Il y apparaît que des échos dont

l"amplitude et le temps de vol dépendent deapparaissent. Un écho en particulier (en rouge) présente

une amplitude maximale largement supérieure à celle de l"onde deleakyRayleigh (en bleu) autour de

= 30. Cette observation, à défaut de trouver une explication dans ce compte-rendu, montre l"ampleur

de la complexité de l"expérience ainsi que le caractère imprévisible des ondes pouvant se propager dans le

dispositif une fois immergé.

Afin de se focaliser sur la génération de l"onde de Scholte, une seconde série de mesures est effectuée sur

une fenêtre temporelle plus restreinte, avec un gain plus important, et pour un angle d"immersion compris

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