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Optique ondulatoire

RAPPELS DE COURS

ET EXERCICES

AgnèsMAUREL

Gilles BOUCHET

BELIN

8, rue Férou 75278 Paris cedex 06

www.editions-belin.com BELIN

Physique

3032_00_p001_002 27/06/07 17:13 Page 1

DANS LA COLLECTIONBELINSUPSCIENCES

A. MAUREL

Optique gŽomŽtrique, cours

A. M

AURELet J.-M. MALBEC

Optique gŽomŽtrique, rappels de cours et exercices M. S

AINT-JEAN, J. BRUNEAUXet J. MATRICON

J. B

RUNEAUX, M. SAINT-JEANet J. MATRICON

DANS LA COLLECTIONBELINSUPHISTOIRE DESSCIENCES

A. BARBEROUSSE

La mŽcanique statistique. De Clausius ˆ Gibbs M. B LAY La science du mouvement. De GalilŽe ˆ Lagrange

Photo de couverture© DigitalVision

SchŽmas: Laurent Blondel/Coredoc

3032_00_p001_002 27/06/07 17:13 Page 2

Sommaire

1.Lesondeslumineuses................................................... 5

2.Polarisation d'uneondelumineuse....................................... 23

3.Interférencesàdeux ondespardivision dufrontd'onde.................... 49

4.Interférencesàdeux ondespardivision d'amplitude.Le Michelson......... 81

5.Interférenceà troisondesou plus.Réseaux................................ 125

6.Diffractiond'uneondelumineuse........................................ 173

7.Interférenceet diffraction.Réseaux optiquesréels......................... 203

3

Chapitre1

Les ondes lumineuses

Un peu d histoire´

Un dÈbat sur la lumiËre

Líoptique connaÓt un vÈritable renouveau auXVII e siËcle. Les scientiques de la

premiËre moitiÈ du siËcle se consacrent principalement ‡ líoptique gÈomÈtrique, et

dËs 1604, Johan Kepler prÈcise les lois de la propagation rectiligne de la lumiËre. optiques. Les premiËres lunettes ‡ oculaire divergent sont construites au tout dÈbut du siËcle. GalilÈe (1564-1642qui estl e premier ‡s íen servir, publie seso bserva- tions du ciel en 1610. Si celles-ci suscitent díabord une certaine mÈance quant ‡ leur vÈracitÈ, Kepler dÈmontre dËs 1611 leur bien-fondÈ dans un livre (leDiop-

trice) entiËrement consacrÈ ‡ líoptique gÈomÈtrique des lentilles et de la lunette

astronomique. En 1637, Descartes dÈtermine la loi de la rÈfraction, dite loi des sinus.

Dans la seconde moitiÈ du siËcle, les thÈories physiques, cíest-‡-dire líÈtude de

la nature de la lumiËre, prennent leur essor. En 1665, Francesco Maria Gri- maldi (1618-1663met en Èvidence l esphÈnomËnes de diffraction, tandis que Robert Boyle (1627-1691puis Robert Hooke (1635-1703effectuent lesp re- miËres recherches sur les phÈnomËnes díinterfÈrence. Isaac Newton (1642-1727 dÈmontre que la lumiËre blanche níest pas pure et homogËne comme on le pensait mais un mÈlange de lumiËres homogËnes de couleurs diffÈrentes. En 1675, Olaus Rˆmer (1644-1710dÈtermine l av itessede la lumiËre.

Jusquíau milieu du

XIX e siËcle, les physiciens vont travailler ‡ líÈlaboration díune thÈorie de la lumiËre qui rende compte de tous les phÈnomËnes nouvellement observÈs. Ils se regroupent autour de deux grandes thÈories concurrentes,hÈritiËres des conceptions de Descartes qui sont reprises et modiÈes : certains, comme Newton, considËrent que la lumiËre est un corps (thÈorie corpusculaire); díautres, comme Christian Huygens (1629-1695la rapprochentdu mouvement d íun corps sans transport de matiËre (thÈorie ondulatoire).

1. LES ONDES LUMINEUSES5

1. LA LUMIÈRE : UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Lesondeslumineusesappartiennent ‡ la famille des ondes ÈlectromagnÈtiques, dÈcrites par deux champs vectoriels,électrique

E(r,t)etmagnétique

B(r,t)quivÈrient

líÈquation díonde suivante dans un milieu transparent, homogËne et isotrope :

E(r,t)

1 v 2 2 t 2

E(r,t)

0

B(r,t)

1 v 2 2 t 2

B(r,t)

0 vdÈsigne la vitesse de propagation de líonde dans le milieu considÈrÈ. Sinestl'in- dice optiquedu milieu, on avc ?n, o˘ c est la vitesse de la lumiËre (dans le vide, c3 10 8 m?s).

2. LUMIÈRE MONOCHROMATIQUE

Une onde lumineuse monochromatiqueest une onde dont la dÈpendance temporelle est sinusoÔdale. Le champ Èlectrique síÈcrit alors :

E(r,t)

E 0 (r)cos 5 tkr 1 ou en notation complexe :

E(r,t)

E 0 (r)exp l i 5 tkr 13

B(r,t)sedÈduitde

E(r,t) par la relation :

B(r,t)1

kE(r,t) kest levecteur d'ondeassociÈ ‡ la propagation de líonde lumineuse etlapulsation. Líonde a donc une double pÈriodicitÈ, temporelle avecT2 ?et spatiale avec 2 ?k(k, module du vecteur díonde, est appelÈ lenombre d'onde). On dÈnit

Ègalement la frÈquencef1

?T2?de líonde sinusoÔdale.

La relationcTpermet díÈcrirekc.

3. STRUCTURE D'UNE ONDE LUMINEUSE

3.1. Dénition

Une onde lumineuse monochromatique est dite :

planesi son champ

EsíÈcrit

E(r,t)

E(x,t)

E 0 exp[i(tkx)],avec E 0 de norme constante, 6 sphériquesi son champ

EsíÈcrit

E(r,t)

E(r,t)

A 0 rexp[i(t kr)],avec A 0 de norme constante, cylindriquesi son champ

EsíÈcrit

E(r,t)

E(r,t)

A 0 rexp[i(t kr)],avec A 0 de norme constante. Rappelons enn que sikdÈsigne le nombre díonde díune onde se propageant dans le vide ‡lavitessecetavecunepulsation, líonde passant dans un milieu díindicengarde la mÍme pulsation : on dit que la pulsation est uninvariantde la propagation. Sa vitesse de propagation est donnÈe parvc /netsonnombredíondedevient: k n /vnk

3.2. Plan et surface d"onde

Unplan d'ondeest dÈni comme le plan localement perpendiculaire au vecteur díonde en tout point du rayon lumineux. de la propagation de la lumiËre dans un faisceau lumineux. Par convention, lorsquíon reprÈsente plusieurs surfaces díonde, on espace les plans díonde correspondants díune distance Ègale ‡ la longueur díondele long des rayons lumineux.

4. INTENSITÉ LUMINEUSE

4.1. Dénition

L'intensitélumineuse(ouéclairement) díune onde dÈcrite par son champ Èlectrique E est proportionnelle ‡ la moyenne deE 2 (t), notÈe-E 2 ≈(ou, en notation complexe, ‡ la moyenne deE(t)E 5 (t)avecE 5 le complexe conjuguÈ deE). Cette moyenne síeffectue sur le temps de rÈponsedu dÈtecteur (par exemple líúil) : I(t) 1 t t 1 E 2 (t l )dt l

4.2. Expression

Si le temps caractÈristique du dÈtecteur est trËs supÈrieur ‡ la pÈriodeT2/de E(t)E 0 cos(t), líintensitÈ ne dÈpend pas du temps et síidentie au carrÈ du module deE: I(t) E 2 0 2

1. LES ONDES LUMINEUSES7

PROPAGATION D'UNE ONDE LUMINEUSE

Exercice 1Longueur díonde díune radiation Èmise par un laser 1

0,632992310

7 m.Cal- culerlalongueurd'onde 2 durayonnementémisdansl'aird'indicen 2

1,0002810

5

Solution

CONSEIL :se souvenir que la fréquence est un invariant de la propagation. La fréquencefde l'onde étant conservée, on afv ,oùvest la vitesse de l'onde dans le milieu considéré :vc n(c vitesse de l'onde dans le vide etnindice de réfraction du milieu). La longueur d'onde 1

étant donnée dans le vide, on a :

fc 1 c n 2 2

On en déduit :

2 1 n 2

0,6328151

m

La précision sur la valeur de

2 est obtenue en différentiant le logarithme de l'expression ci-dessus (dérivée logarithmique) : d 2 2 d 1 1 dn 2 n 2 On passe des différentielles à l'incertitudeen sommant les valeurs absolues : 2 2 1 1 n 2 n 2 Avec 1 10 7 etn 2 10 5 ,onobtient 2 10 7 . On a nalement : 2

0,632815110

7 m Exercice 2Onde lumineuse Èmise par une source ponctuelle On considère un point source O émettant une onde lumineuse monochromatique dans un milieu homogène, isotrope et transparent. Le champ électrique au point source s'écrit :

E(O,t)E

0 cos(t)

1. Quelle est la forme des surfaces d'onde?

2. Donner l'expression de la surface d'onde dont la différence de phase avec la source est5.

3. Comment obtenir une onde plane avec une source ponctuelle?

8

Solution

1.Une source ponctuelle Èmet une onde sphÈrique dans un milieu homogËne isotrope :

les surfaces díonde sont des sphËres de centre O.

Puisque líintensitÈ lumineuse est conservÈe, líamplitude dÈcroÓt au fur et ‡ mesure quíon

síÈloignedelasource.NotonsE M líamplitude du champ Èlectrique sur la surface díonde (t kr) pour une onde sphÈrique). SidÈsigne la diffÈrence de phase entre le point considÈrÈetlasource,lasurfacedíondecherchÈeapourÈquationkr. Finalement, le champ Èlectrique síÈcrit :

E(M,t)E

M cos(t) F

3.Lorsquíon se place trËs loin de la

source, les surfaces díonde sphÈriques ont un rayon de courbure trËs impor- tant; on peut donc les assimiler loca- lement ‡ des droites : on retrouve les ce qui se passe par exemple avec les ondes lumineuses Èmises par le Soleil au niveau de la Terre. Une faÁon plus rigoureuse de gÈnÈrer une onde plane ‡ partir díune source ponctuelle est de placerlasourcedansleplanfocalobjet díunelentilleconvergente:lefaisceau

Èmergeantdelalentilleestunfaisceau

de rayons parallËles correspondant ‡ une onde plane.

DÉTECTION D"UNE ONDE LUMINEUSE

Exercice 3Condition de séparation de deux signaux lumineux On considËre une bre creuse rectiligne : la gaine de la bre est constituÈe díun verre

díindicen1,5 et on rÈalise le vide ‡ líintÈrieur de la bre. On Èclaire une extrÈmitÈ

de la bre avec un bref signal lumineux. ¿ líextrÈmitÈ de la bre, de longueurL1m, on place un dÈtecteur dont le temps de rÈponse est notÈ.

1. Écrire l"expression de l"onde (notée 1) se propageant dans l"air le long de la bre, et de

celle (notée 2) se propageant dans la gaine de verre le long de la bre.

2. Au bout de combien de temps le détecteur reçoit-il la première onde? la seconde?

3. En déduire le temps de réponse que doit avoir le détecteur pour séparer les deux signaux.

1. LES ONDES LUMINEUSES9

4. Sachant que les détecteurs usuels ont un temps de réponse de 10

6 s, quelle devrait être la longueur de la bre pour qu'un détecteur usuel sépare les deux signaux?

Solution

CONSEIL :dans la première question, on demande d'écrire le champ électrique associé à chaque onde; les

ondes considérées sont planes et il s'agit simplement de calculer le nombre d'ondekdans chaque milieu.

Dans la dernière question, on remarquera que le détecteur ne peut distinguer les deux ondes que si son

temps de réponse est inférieur à la différence des temps d'arrivée.

1.Les ondes se propagent dans la directionxde la bre; leur pulsation◦est commune

puisqu'elle ne dépend pas du milieu de propagation. Le vecteur d'onde s'écrit :k?2 où la longueur d'ondedépend de l'indice du milieu :?2c n◦. Le champ électrique de l'onde plane s'écritE(x,t)?E 0 cos(◦t5kx). On a donc, dans le milieu 1, d'indice égal

à 1 et dans le milieu 2 d'indicen?1,5 :

E 1 (x,t)?E 0 cos t5 1 cx E 2 (x,t)?E 0 cos t5 n cx

2.Le temps au bout duquel le détecteur reçoit les deux ondes correspond au temps de

parcours de la bre de longueurLà la vitessev 1 ?c(respectivementv 2 ?c n): T 1 ?L v 1 ?L c T 2 ?L v 2 ?n 2 L c A.N.T 1 ?3,33l10 9 setT 2 ?5l10 9 s.

3.Pour que le détecteur soit capable de séparer les deux signaux, il faut donc qu'il ait un

temps de réponse de l'ordre de 10 9 s, ce qui est très au-dessus des performances actuelles des détecteurs.

4.Avec un temps de réponse de l'ordre de?10

6 s, les deux signaux doivent être séparés d'au moins.LalongueurL de la bre doit être telle que :

D'où

L >c n 2 51
A.N.L ?600 m. 10 Exercice 4Condition de détection d'un phénomène de battement On considËre deux faisceaux lumineux monochromatiques (issus par exemple de deux sources lasers). Les deux faisceaux sont de longueurs díonde voisines et de frÈquences respectives 1 et 2 ,avec 2 1 . Les ondes associÈes aux faisceaux sont E 1 et E 2 etellesÈclairent un dÈtecteur dont le temps de rÈponse est(avec 1/ 1 et 1/ 2

On rappelle quíun dÈtecteur optique est sensible ‡ líintensitÈ lumineuse reÁue, propor-

tionnelle ‡ ?E 2 -,o˘ Eest le champ Èlectrique associÈ ‡ líonde reÁue par le dÈtecteur, et ?X-dÈsigne la moyenne temporelle deXsur le temps caractÈristique du dÈtecteur.

1. Expliciter la dépendance temporelle des champs électriques.

2. En déduire la forme du champ électrique associé à l'onde résultante.

3. Écrire l'expression de l'intensité lumineuse mesurée par le détecteur et exprimer une

condition sur le temps de réponse du détecteur pour qu'il puisse détecter le phénomène de

battement.

Solution

CONSEIL :le battement est obtenu par superposition de deux ondes de fréquences légèrement décalées.

On ne s'intéresse pas à la dépendance spatiale de l'onde, la variation de l'intensité lumineuse étant

temporelle, puisque dans ce cas, elle est due à un décalage temporel dans le terme de phase. Dans la

question 1, on exprimera simplement les champs électriques associés à une onde de pulsation1

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