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Opérations sur les fonctions

Table des matières

1 fonctions usuelles2

1.1 activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2 corrigé activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . .4

2 fonctions associées6

2.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .7

2.2 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .8

2.3 corrigé exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .11

3 évaluation16

4 corrigé devoir maison18

5 corrigé devoir maison 223

6 évaluation26

1

1 fonctions usuelles

1.1 activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles

1. compléter sans démonstration les tableaux ci dessous concernant les fonctions usuelles

fonctionvariationscourbe fonction affine f(x) =ax+baveca >0 D f=... x f(x) ...l"ordre sur... fonction affine f(x) =ax+baveca <0 D f=... x f(x) ...l"ordre sur... fonction carrée f(x) =x2 D f=... x f(x) fonction inverse f(x) =... D f=... x f(x) fonction racine f(x) =... D f=... x f(x) fonction valeur absolue f(x) =... D f=... x f(x)

2.(a) démontrer le sens de variation pour chacune des fonctions précédentes

(on pourra étudier le signe def(x2)-f(x1)en fonction du signe dex2-x1pourx1< x2) (b) sachant que0<⎷

2< π, ordonner les couples de nombres suivants sans aucun calculet

en justifiant i.3⎷

2-10et3π-10

ii.-4⎷

2 + 5et-4π+ 5

iii. 1 ⎷2et1π iv.(⎷

2)2etπ2

v.|⎷

2|et|π|

vi.?⎷2et⎷π (c) est-il vrai que? : "?x?Rsix <9alorsx2<81" (d) est-il vrai que? : "?x?Rsix >-10alors1 x<-110"

1.2 corrigé activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles

1. compléter sans démonstration les tableaux ci dessous concernant les fonctions usuelles

fonctionvariationscourbe fonction affine f(x) =ax+baveca >0 D f=R x-∞+∞ f(x)? conserve l"ordre surR fonction affine f(x) =ax+baveca <0 D f=R x-∞+∞ f(x)? change l"ordre surR fonction carrée f(x) =x2 D f=R x-∞+∞ f(x)? ? 0 change l"ordre surR- conserve l"ordre surR+ fonction inverse f(x) =1 xDf=R? x-∞0+∞

0 ||+∞

f(x)?||? -∞|| 0 change l"ordre surR?- change l"ordre surR?+ fonction racine f(x) =⎷ x D f=R+ x-∞+∞ f(x)? 0 conserve l"ordre surR+ fonction valeur absolue f(x) =|x| D f=R x-∞+∞ f(x)? ? 0 change l"ordre surR- conserve l"ordre surR+

2.(a) démontrer le sens de variation pour chacune des fonctions précédentes

(on pourra étudier le signe def(x2)-f(x1)en fonction du signe dex2-x1pourx1< x2) i. montrons que la fonction affinef(x) =ax+baveca >0croît surR Pour cela, on étudie le signe def(x2)-f(x1)sachant quex1etx2sont deux réels avec x 1< x2

Soientx1< x2deux réels

on a doncx2-x1>0 de plusf(x2)-f(x1) = (ax2+b)-(ax1+b) =ax2+b-ax1-b=a(x2-x1) doncf(x2)-f(x1)>0en tant que produit de deux réels positifsx2-x1et a doncf(x1)< f(x2) pour résumer :x1< x2=?f(x1)< f(x2) conclusion :x?-→ax+baveca >0croît surR ii. montrons que la fonction carrée décroît surR- Pour cela, on étudie le signe def(x2)-f(x1)sachant quex1etx2sont deux réels né- gatifs avecx1< x2

Soientx1< x2<0deux réels

on a doncx2-x1>0etx2<0etx1<0 de plusf(x2)-f(x1) = (x2)2-(x1)2= (x2-x1)(x2+x1) doncf(x2)-f(x1)<0en tant que produit d"un réels positifsx2-x1par un réel négatifx2+x1 doncf(x2)< f(x1) pour résumer :x1< x2<0 =?f(x1)> f(x2) conclusion :x?-→x2décroît surR- iii. montrons que la fonction inverse décroît surR?- Pour cela, on étudie le signe def(x2)-f(x1)sachant quex1etx2sont deux réels né- gatifs avecx1< x2

Soientx1< x2<0deux réels

on a doncx2-x1>0etx2<0etx1<0 de plusf(x2)-f(x1) =1 x2-1x1=x1-x2x1x2doncf(x2)-f(x1)<0en tant que quotient d"un réels négatifx1-x2par un réel positifx1x2 doncf(x2)< f(x1) pour résumer :x1< x2<0 =?f(x1)> f(x2) conclusion :x?-→1 xdécroît surR?- (b) sachant que0<⎷

2< π, ordonner les couples de nombres suivants sans aucun calculet

en justifiant i.3⎷

2-10<3π-10carx?-→3x-10croît surR

ii.-4⎷

2 + 5>-4π+ 5carx?-→ -4x+ 5décroît surR

iii. 1 ⎷2>1πcarx?-→1xdécroît surR+? iv.(⎷

2)2< π2carx?-→x2croît surR+

v.|⎷

2|<|π|carx?-→ |x|croît surR+

vi. ?⎷2<⎷πcarx?-→⎷xcroît surR+ (c) est-il vrai que? : "?x?Rsix <9alorsx2<81" : non car(-10)2>81et pourtant-10<9 (d) est-il vrai que? : "?x?Rsix >-10alors1 x<-110" : non car15>-110et pourtant5>-10

2 fonctions associées

2.1 à retenir

propriété 1 :(somme d"une fonction avec un nombre) quelles que soient les fonctionsfetudéfinies sur un intervalleIdeRet?k?R si?????x?I,f(x) =u(x) +kalors????fetuont les mêmes sens de variations surI remarque: on peut noter plus simplementf=u+ksurI?R et on dit : "ajouter une constante à une fonction ne change passon sens de variation" exemple : f(x) =x2+ 100pourx?[0;10] f=u+kavec?u:x?-→x2 k= 100doncfetuont les mêmes sens de variations sur[0;10] oru:x?-→x2croît sur[0;10]doncfcroît sur[0;10] propriété 2 :(produit d"une fonction par un nombre) quelles que soient les fonctionsfetudéfinies sur un intervalleIdeRet?k?R? si?????x?I,f(x) =k×u(x) alors?sik >0alors????fetuont les mêmes sens de variations surI sik <0alors? ???fetuont des variations contraires surI remarque: on peut noter plus simplementf=kusurI?R et on dit : "multiplier une fonction par une constante positive (resp : négative) strict ne change pas (resp : change) son sens de variation" exemple : f(x) =-100x2pourx?[-10;0] f=kuavec?u:x?-→x2 k=-100etk <0doncfetuont des variations contraires sur[-10;0] oru:x?-→x2décroît sur[-10;0]doncfcroît sur[-10;0] propriété 3 :(racine carrée d"une fonction positive) quelles que soient les fonctionsfetudéfinies sur un intervalleIdeR si?????x?I,f(x) =?u(x)et????u(x)≥0alors????fetuont les mêmes sens de variations surI remarque: on peut noter plus simplementf=⎷uetu >0surI?R on dit : "uet⎷ uont mêmes sens de variations pouru >0" exemple : f(x) =⎷3x-30pourx?[10;+∞[ f=⎷ uavec?u:x?-→3x-30 u(x)≥0sur[10;+∞[doncfetuont mêmes sens de variations sur[10;+∞[ oru:x?-→3x-30croît sur[10;+∞[doncfcroît sur[10;+∞[ propriété 4 :(inverse d"une fonction non nulle ) quelles que soient les fonctionsfetudéfinies sur un intervalleIdeR si? ?x?I,f(x) =1u(x)et????u(x)?= 0alors????fetuont des variations contraires surI remarque: on peut noter plus simplementf=1uetu?= 0surI?R on dit : "uet1 uont des variations contraires pouru?= 0" exemple : f(x) =13x-30pourx?]10;+∞[ f=1 uavec?u:x?-→3x-30 u(x)?= 0sur]10;+∞[doncfetuont des variations contraires sur]10;+∞[ oru:x?-→3x-30croît sur]10;+∞[doncfdécroît sur]10;+∞[

2.2 exercices

exercice 1 :

1. étudier le sens de variation de la fonction et vérifier à la calculatrice graphique

(a)f(x) =⎷ x-4pourx≥0 (b)f(x) =-5 xpourx >0(c)f(x) =1 |x|pourx <0 (d)f(x) =⎷ x2pourx <0

2. de même en raisonnant en plusieurs étapes

(a)f(x) =-2x2+ 5surR+ (b)f(x) =-2

3x-5surR+?

(c)f(x) =-5 -x+ 3-2pourx >3(d)f(x) =-3⎷ x+ 12surR+ (e)f(x) =3 -2⎷x+ 6pourx >9 (f)f(x) = 3-4 x-6pourx >6 exercice 2 :

1. la périodeT(en secondes) d"un pendule pesant, pour de petites oscillations, est donnée

en fonction de la longueur du fill(enm) et de l"accélération de la pesanteurgen (ms-2) parT= 2π? l g (a) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de la longueur du fil?( donner une démonstration) ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules ont des longueurs de fill1< l2, lequel a la plus grande période d"oscillation?

(b) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de l"accélération de la

pesanteur?( donner une démonstration) ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules sont placés dans des champs de pe- santeurs différentsg1< g2, lequel a la plus grande période d"oscillation?

2. la force d"attractionFqu"exerce un corps de massem1(enkg) sur un corps de massem2

est donnée en fonction de la distanced?= 0(enm) qui les sépares parF=Gm1m2 d2oùG est une constante universelle (a) la forceFest-elle une fonction croissante ou décroissante ded?( donner une démons- tration) (b) donner une interprétation de ce résultat exercice 3 : Soitfla fonction dont le tableau de variations est donné ci dessous x-10 -4 -2 2 3 10 9 16 f(x)0 0 0 -4

1. donner les tableaux de variations des fonctions définies ci dessous :

(a)g(x) =f(x)-10 (b)h(x) = 10-f(x) (c)i(x) =? f(x) (d)j(x) =1 f(x) exercice 4 : Deux cargos(de longueurs 100m)suivent des routes rectilignes et perpendiculaires à la même vitesse. Quand le premier est encore à 10 kilomètres de l"intersectionde leurs trajectoires, l"autre est à 8 kilomètres de ce point. Il y a de la brume et la visibilité n"excède pas 1,4 kilomètres. Le problème est le suivant : pourront-ils se voir à un moment de leurs parcours?

1. soitv= 10(enkm.h-1) la vitesse commune aux deux cargos

soitt(en heures) la durée écoulée depuis leurs passages respectifs à 10km et 8km de l"intersection de leurs trajectoires (a) montrer que la distance entre les deux cargos est donnée en fonction detpar d(t) =⎷

200t2-360t+ 164

(b) étudier les variations de la fonctionfdéfinie surRparf(t) = 200t2-360t+ 164 (c) en déduire les variations de la fonctiondsurR (d) en déduire la réponse à la question posée initialement

2. cette fois, on ne connaît pas la valeur de la vitessev,

reprendre les questions précédentes en gardant la vitesseven paramètres et conclure représenter les cargos par des pointsAetBdéfinis par leurs coordonnées représenter le segment[AB]et afficher la distanceAB représenter le cercle de centreAet de rayon1,4(champ de vision du cargosA)ainsi que le champ de vision deB

vérifier s"il y a cohérence avec les résultats précédents(estimer la distance minimale

et les positions respectives des deux cargos pour ce minimum)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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