[PDF] 01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations

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Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 1 - Révisions d"analyse. Chap. 01 : démonstrations.

1. Fonctions réelles ou complexes de variable réelle : limites et continuité (Sup).

Théorème 1.1 : unicité d"une limite en un point Soit I un intervalle de ?, et f une fonction de I dans ?. Soit a un réel élément de I ou adhérent à I.

Si f admet pour limite L en a (limite à droite ou limite à gauche en a), cette limite est unique et est notée

)x(flimax®(ou flima) ()x(flimax >® et )x(flimax <® pour les limites à droite et à gauche en a).

Démonstration :

Supposons que f admette deux limites différentes en a, notées L et L", avec : L ¹ L".

Soit : e =

3 "LL-> 0. Alors : · $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e), et : · $ a" > 0, " x Î I, (|x - a| £ a") ? (|f(x) - L"| £ e). Or comme a est adhérent à I (et par définition), pour : a

0 = min(a,a") > 0, $ x0 Î I, |x0 - a| £ a0.

On peut alors écrire : |L - L"| = |L - f(x

0) + f(x0) - L"| £ |f(x0) - L| + |f(x0) - L"| £ 2.e, ce qui conduit à :

3.e £ 2.e, soit : e £ 0 : impossible.

Conclusion : la limite de f en a, si elle existe, est unique. Théorème 1.2 : liens entre limite, limite à droite, limite à gauche en un point Soit I un intervalle de ?, et f une fonction de I dans ?.

Soit a un réel élément de I.

Lorsque limite de f en a, limite à droite et limite à gauche de f en a ont un sens, f admet pour limite L en

a si et seulement si f admet pour limite L a droite et à gauche en a.

Démonstration :

Si f admet pour limite L en a, alors : " e > 0, $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L|) £ e.

Donc : " x Î I, (0 £ x - a £ a) ? (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e), et f admet pour limite L à droite en a.

De même, f admet pour limite L à gauche en a (pour un e donné, le même a convient pour la limite à

droite et la limite à gauche).

Si f admet pour limite L à droite et à gauche en a, alors pour un réel e strictement positif, on a :

· $ a > 0, " x Î I, (0 £ x - a £ a) ? (|f(x) - L| £ e), et : · $ a" > 0, " x Î I, (-a" £ x - a £ 0) ? (|f(x) - L| £ e).

Donc pour : a

0 = min(a,a"), on obtient : " x Î I, (|x - a| £ a0) ? (|f(x) - L|) £ e), puisque (x - a) sera soit

positif, soit négatif, et l"implication sera alors vérifiée dans les deux cas.

Donc f admet bien pour limite L en a.

Théorème 1.3 : existence d"une limite et caractère borné de la fonction Soit I un intervalle de ?, et f une fonction de I dans ?. Soit a un réel élément de I ou adhérent à I. Si f admet une limite finie L en a, f est bornée au voisinage de a.

Démonstration :

Cas où a est réel :

Soit : e > 0.

Alors : $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e) ? ([L - e] £ f(x) £ [L + e]).

Sur le voisinage de a définit par : I Ç [a - a, a + a], |f| est donc majorée par max(|L - e|,|L + e|), et f est

bien bornée au voisinage de a.

Cas où : a = +¥.

Soit : e > 0.

Alors : " A Î ?, " x Î I, (x ³ A) ? (|f(x) - L| £ e) ? ([L - e] £ f(x) £ [L + e]).

Là encore, sur le voisinage de +¥ défini par : I Ç [A, +¥), |f| est majorée par max(|L - e|,|L + e|), et f est

bien bornée au voisinage de a.

Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 2 - Théorème 1.4 : cas des fonctions complexes de variable réelle

Soit I un intervalle de ?, f une fonction de I dans ?, et soit a un réel élément de I. On note : f = Re(f) + i.Im(f), où Re(f) et Im(f) sont des fonctions de I dans ?.

Alors f admet une limite en a si et seulement si Re(f) et Im(f) en admettent une en a, et on a alors :

De plus si fdésigne : f = Re(f) - i.Im(f), f admet une limite en a si et seulement si f en admet une.

Démonstration :

Si f admet une limite : L = L

x + i.Ly, en a, alors : " e > 0, $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e). Or : " z Î ?, z = (u + i.v), avec : (u,v) Î ?

2, on a : |u| £ |z|, et :|v| £ |z|, donc :

" x Î I, (|x - a| £ a) ? (|Re(f)(x) - L x| £ |f(x) - L| £ e, et : |Im(f)(x) - Ly| £ |f(x) - L| £ e).

Donc Re(f) tend vers L

x en a et Im(f) vers Ly. Si maintenant Re(f) tend vers a en a, et Im(f) vers b, alors on a : " e > 0, $ h

1 > 0, $ h2 > 0, " x Î I, (|x - a| £ h1) ? (|Re(f)(x) - a| £ 2

e, et : |Im(f)(x) - b| £ 2 e). Donc, puisque : " z Î ?, z = (u + i.v), avec : (u,v) Î ?

2, on a : |z| £ |u| + |v|, on en déduit :

" e > 0, $ h = min(h

1, h2) > 0, " x Î I, (|x - a| £ h) ? (|f(x) - (a + i.b)| £ e),

et f admet une limite en a qui est bien [a + i.b].

· Enfin, f admet une limite en a si et seulement si Ref(f) et Im(f) admettent des limites en a, donc si et

seulement si Re(f) et -Im(f) admettent des limites en a et enfin si et seulement si f en admet une.

Théorème 1.5 : cas des fonctions monotones

Soit : I = ]a,b[, un intervalle de ?, f une fonction de I dans ?.

Si f est croissante sur I, alors :

· si f est majorée sur I, f admet une limite en b qui est la borne supérieure de f sur I, · si f n"est pas majorée sur I, f tend vers +¥ en b.

Si f est décroissante sur I, alors :

· si f est minorée sur I, f admet une limite en b qui est la borne inférieure de f sur I, · si f n"est pas minorée sur I, f tend vers -¥ en b. Les résultats s"adaptent pour l"étude de f en a.

Démonstration :

Cas où f est croissante sur I.

· Supposons f majorée sur I et posons : L =

)x(fsup

IxÎ.

Alors : " x Î I, f(x) £ L.

De plus : " e > 0, (L - e) n"est pas un majorant de f sur I (puisque L est le plus petit des majorant sur I),

donc : $ y Î I, f(y) > L - e. Mais puisque f est croissante sur I, on en déduit :

· si b est réel, alors : $ a > 0, y = b - a, et : " x Î I, (x ³ y) ? (f(x) ³ f(y) > L - e).

Autrement dit, dans ce cas : " x Î I, (-a £ x - b £ 0) ? (- e £ f(x) - L £ 0) ? (|f(x) - L| £ e),

ce qui traduit le fait que f admet pour limite L à droite en b. · si : b = +¥, alors : " x Î I, (x ³ y) ? (f(x) ³ f(y) ³ L - e), soit : " x Î I, (x ³ y) ? (- e £ f(x) - L £ 0) ? (|f(x) - L| £ e), et on obtient cette fois que f tend vers L en +¥ donc en b.

· Supposons maintenant f non majorée sur I.

Alors : " A Î ?, A n"est pas un majorant de f sur I et : $ y Î I, f(y) > A.

A nouveau, on distingue deux cas :

· si b est réel, alors : $ a > 0, y = b - a, et : " x Î I, (x ³ y) ? (f(x) ³ f(y) ³ A),

ce qui se lit aussi en disant que f tend vers +¥ en b.

· si : b = +¥, alors : " x Î I, (x ³ y) ? (f(x) ³ f(y) ³ A), et là) encore, f tend vers +¥ en +¥ donc en b.

Cas où f est décroissante sur I.

Il suffit de poser : g = - f, qui est alors une fonction croissante sur I, et les résultats obtenus au-dessus

conduisent immédiatement à ceux attendus dans cette deuxième partie, en remarquant que :

Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 3 - (f minorée sur I) Û (g majorée sur I).

Théorème 1.6 : dit " des gendarmes »

Soit I un intervalle de ?, f, g et h trois fonctions de I dans ?. Soit a un élément de I ou adhérent à I (éventuellement ±¥). On suppose que : " x Î I, g(x) £ f(g) £ h(x).

Si g et h admettent la même limite L (finie ou infinie) en a, alors f admet une limite en a égale à la limite

commune de g et de h en a.

Démonstration :

Cas où a est réel et L est un réel.

Soit : e > 0.

Alors :

· $ a

g > 0, " x Î I, (|x - a| £ ag) ? (|g(x) - L| £ e), et :

· $ a

h > 0, " x Î I, (|x - a| £ ah) ? (|f(x) - L| £ e).

En posant alors : a = min(a

g, ah) > 0, on obtient : " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|g(x) - L| £ e, et : |h(x) - L| £ e).

Si on remarque alors que : " x Î I, |f(x) - L| £ max(|g(x) - L|, |h(x) - L|), on conclut à :

" x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e), et f admet bien pour limite L en a.

Les huit autres cas (a réel ou égal à ±¥, L réel ou égal à ±¥) se traitent de façon similaire.

Théorème 1.7 : liens entre continuité, continuité à droite, continuité à gauche en un point

Soit I un intervalle de ?, et f une fonction de I dans ?.

Soit a un réel élément de I.

Lorsque limite de f en a, limite à droite et limite à gauche de f en a ont un sens, f est continue en a si et

seulement si f est continue à droite et à gauche en a.

Démonstration :

C"est une conséquence immédiate du théorème démontré au-dessus sur les liens entre limite d"une

fonction en un point, limite à droite et limite à gauche, en remarquant que :

· (f continue en a) Û (

)x(flimax®= f(a)),

· (f continue à droite en a) Û (

)x(flimax >®= f(a)),

· (f continue à gauche en a) Û (

)x(flimax <®= f(a)). Théorème 1.8 : cas des fonctions complexes de variable réelle Soit I un intervalle de ?, f une fonction de I dans ?, et soit a un réel élément de I. Alors f est continue en a si et seulement si Re(f) et Im(f) sont continues en a. De même, f est continue sur I si et seulement si Re(f) et Im(f) sont continues sur I.

Démonstration :

Puisque l"existence d"une limite en un point pour une fonction à valeurs complexes est équivalente à

l"existence d"une limite en ce point pour ses parties réelle et imaginaire, la première équivalence en

découle.

Pour la deuxième, il suffit de remplacer " sur I » par " en tout point de I » et d"appliquer le premier point.

Théorème 1.9 : somme, combinaison linéaire et produit de fonctions admettant une limite en un

point, de fonctions continues Soit I un intervalle de ?, f et g des fonctions de I dans K. Soit a un réel élément de I ou adhérent à I.

Si f et g admettent des limites en a, alors pour tout : (l,m) Î ?2, (l.f + m.g) admet une limite en a, ainsi

que (f.g) et on a : · )x(glim.)x(flim.)x)(g.f.(limaxaxax®®®m+l=m+l, · )x(glim).x(flim)x)(g.f(limaxaxax®®®=. Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 4 - De plus, si :

0)x(glimax¹®, alors g ne s"annule pas sur un voisinage de a, gf est définie sur ce voisinage

et cette fonction admet une limite en a telle que : )x(glim)x(flim )x(gflimaxax ax

Démonstration :

La démonstration sera faite dans le cas où a est un réel (les cas : a = ±¥, s"adaptent de ce qui suit).

Notons dans toute la suite : L =

)x(flimax®, et : L" = )x(glimax®.

· somme (f + g).

Pour : e > 0, $ a

f > 0, $ ag > 0, " x Î I, (|x - a| £ af) ? (|f(x) - L| £ 2 e, et : (|x - a| £ ag) ? (|g(x) - L| £ 2 e.

Donc, en posant : a = min(a

f, ag) > 0, on a : " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|(f+g)(x) - (L+L")| £ |f(x) - L| + |g(x) - L"| £ e), et on montre ainsi que (f+g) tend vers (L+L") en a.

· produit (l.f).

Si l est nul, le résultat est immédiat puisque la fonction nulle est continue sur I, et si l est non nul :

" e > 0, $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ l e) ? (|(l.f)(x) - (l.L)| £ l el. = e), ce qui montre là encore que (l.f) tend vers (l.L) en a.

· produit (f.g).

On peut commencer par remarquer que :

" x Î I, |(f.g)(x) - L.L"| = |(f(x) - L).g(x) + L.(g(x) - L")| £ |f(x) - L|.|g(x)| + |L|.|g(x) - L"|.

Puis, comme g admet une limite en a, elle est bornée au voisinage de a par une constante : M > 0, soit :

· $ a

1 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a1) ? (|g(x)| £ M).

Soit maintenant : e > 0.

Alors :

· $ a

2 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a2) ? (|f(x) - L| £M.2

e,

· $ a

3 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a3) ? (|g(x) - L"| £ )1L.(2+

e, et, en posant : a = min(a

1, a2, a3), on a : " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|(f.g)(x) - (L.L")| £ e).

On vient bien de démontrer que (f.g) tend vers L.L" en a.

· quotient

gf.

Tout d"abord, si : L" ¹ 0, alors pour : e =

2 "L> 0, on a : $ a

1 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a1) ? (|g(x) - L"| £ e) ? (|g(x)| ³ |L"| - e = e > 0),

ce qui garantit que g est non nulle sur : J = I Ç [a - a

1, a + a1], et qu"elle vérifie : " x Î J,"L2

)x(g1£.

Ensuite : " x Î J,

"LL )x(g)x(f-+-=-=-, et : " x Î J, "LL )x(g)x(f2-+-£-+-£-.

Enfin, soit : e > 0.

· $ a

2 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a2) ? (|f(x) - L| £ 4

"L.e),

· $ a

3 > 0, " x Î I, (|x - a| £ a3) ? (|g(x) - L") £ L.4"L.

2e). Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 5 - Et en posant alors : a = min(a

1, a2, a3) > 0, on constate que : " x Î I, (|x - a| £ a) ? ("LL

)x(g)x(f-£ e), ce qui montre que gf tend vers "L

L en a.

Théorème 1.10 et définition 1.6 : l"algèbre C

0(I,K)

Soit I un intervalle de ?.

L"ensemble des fonctions continues de I dans K forme une algèbre pour les lois +, ., ´ de F(I,K).

De plus, pour deux fonctions f et g continues de I dans K, telles que g ne s"annule pas sur I, la fonction

gf est définie et continue sur I.

Démonstration :

L"ensemble C

0(I,K) est évidemment inclus dans F(I,K), et non vide puisque la fonction nulle de I dans K

est continue sur I, et stable par combinaison linéaire en utilisant le théorème précédent.

Comme de plus la loi ´ est interne dans C

0(I,K), toujours d"après le théorème précédent, les propriétés

des lois de F(I,K) montrent que C

0(I,K) est bien une algèbre pour ces lois (et même une sous-algèbre

de F(I,K)).

Le théorème précédent montre enfin également que si f et g sont continues en tout point de I et si g ne

s"annule pas sur I, alors gf est définie et continue en tout point de I donc sur I. Théorème 1.11 : composée de fonctions admettant des limites, de fonctions continues Soient I et J des intervalles de ?,f une fonction de I dans ?, g une fonction de J dans K.

Si f est continue sur I, à valeurs dans J et si g est continue sur J, alors gof est continue sur I.

Démonstration :

Soit : a Î I, b = f(a) Î J, et : c = g(b).

Soit : e > 0. La fonction g étant continue en b : $ a > 0, " y Î J, (|y - b| £ a) ? (|g(y) - c| £ e).

Pour cet a, f étant continue en a, on a : $ h > 0, " x Î I, (|x - a| £ h) ? (|f(x) - b| £ a).

Et donc : " x Î I, (|x - a| £ h) ? (y = f(x) Î J, et : |y - b| £ a) ? (|g(y) - c| = |g(f(x)) - c| £ e).

Autrement dit, gof admet pour limite : g(b) = g(f(a)), en a. Donc gof est continue en tout point de I, donc continue sur I. Théorème 1.12 : image d"une suite par une fonction admettant une limite en un point Soit I un intervalle de ?, f une fonction de I dans ?. Soit a un élément de I ou adhérent à I (éventuellement ±¥).

Si f admet une limite (éventuellement infinie) en a, alors pour toute suite (an) d"éléments de I qui tend

vers a, la suite (f(xn)) tend vers la limite de f en a.

Si d"autre part, a est élément de I, alors f est continue en a si et seulement si pour toute suite (xn)

d"éléments de A qui converge vers a, la suite (f(xn)) converge vers f(a).

Démonstration :

· Dans le cas où a est un réel (les autre cas : a = ±¥, là encore, s"adaptent).

Soit : e > 0. Puisque f admet comme limite L en a, on a : $ a > 0, " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - L| £ e).

Soit maintenant (x

n) une suite d"éléments de I qui converge vers a.

Alors, puisque : a > 0, $ n

0 Î ?, " n ³ n0, |xn - a| £ a, et pour ces valeurs de n : |f(xn) - L| £ e.

Autrement dit : " e > 0, $ n

0 Î ?, " n ³ n0, |f(xn) - L| £ e, et (f(xn)) converge vers L.

· Si maintenant a est élément de I,

[?] si f est continue en a, alors f admet pour limite f(a) en a, et le résultat précédent s"applique.

[Ü] supposons f non continue en a. Alors : $ e > 0, " a > 0, $ x Î I, |x - a| £ a, et : |f(x) - f(a)| ³ e.

Soit donc : " n Î ?, $ x

n Î I, |xn - a| £ 2-n, et : |f(xn) - f(a)| ³ e.

Il est alors clair que la suite (x

n) est une suite d"éléments de I qui converge vers a, et (f(xn)) ne converge pas vers a. Par contraposée, on démontré l"implication réciproque.

Théorème 1.13 (hors programme pour le premier point) : lien entre continuité et uniforme continuité

Soit I un intervalle de ?, f une fonction de I dans ?.

Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 6 - Si f est uniformément continue sur I, elle est continue sur I.

Si f est k-lipschitzienne sur I, elle est uniformément continue, donc continue sur I.

Démonstration :

· Supposons f uniformément continue sur I.

Soit : a Î I.

Alors : " e > 0, $ a > 0, " (x,x") Î I

2, (|x - x"| £ a) ? (|f(x) - f(x")| £ e).

En particulier : " x Î I, (|x - a| £ a) ? (|f(x) - f(x)| £ e), et f est continue en a, donc sur I.

· Supposons f k-lipschitzienne (avec : k > 0, en le remplaçant au besoin par une valeur plus grande).

Alors : " e > 0, $ a =

k e, " (x,x") Î I2, (|x - x"| £ a) ? (|f(x) - f(x")| £ k.|x - x"| £ k.a = e). f est donc uniformément continue sur I, donc continue sur I.

2. Fonctions réelles de variable réelle : théorèmes généraux liés à la continuité (Sup).

Théorème 2.1 : des valeurs intermédiaires Soit I un intervalle de ?, et f une fonction continue de I dans ?. Si f prend des valeurs positives et négatives sur I, f s"annule en au moins un point de I.

Plus généralement, pour a et b éléments de I, f prend sur I toutes les valeurs entre f(a) et f(b).

Démonstration :

· Supposons qu"il existe a et b dans I, tels que : a < b, et : f(a) ¹ f(b), par exemple : f(a) < f(b).

Posons : a

0 = a, b0 = b, et : c0 = 2

ba+.

Alors : f(a) < 0, f(b) > 0, et :

· si : f(c

0) = 0, alors c0 est solution du problème : f(x) = 0,

· si : f(c

0) > 0, on pose : a1 = a0, b1 = c0,

· si : f(c

0) > 0, on pose : a1 = c0, b1 = b0.

On constate alors que : a

0 £ a1 £ b1 £ b0, et : b1 - a1 =2

ab-, f(a1) < 0, f(b1) > 0. Supposons maintenant, pour un entier n donné, qu"on ait construit (a

0, ..., an, b0, ..., bn) telle que :

· " 0 £ k £ n, f(a

k) < 0, f(bk) > 0,

· a

0 £ ... £ an £ bn £ ... £ b0,

· b

n - an =n2 ab-,

On pose alors : c

n = 2 bann+, et trois possibilités à nouveau se présentent :

· si : f(c

n) = 0, alors on a trouvé une solution à l"équation : f(x) = 0,

· si : f(c

n) > 0, on pose : an+1 = an, bn+1 = cn,

· si : f(c

n) > 0, on pose : an+1 = cn, bn+1 = bn,

et donc, soit on a trouvé une solution à l"équation : f(x) = 0, soit on a construit des termes a

n+1, bn+1 qui complètent les suites précédentes et vérifient toujours : f(a

n+1) < 0, f(bn+1) > 0, a0 £ ... £ an £ an+1 £ bn+1 £ bn £ ... £ b0, bn+1 - an+1 =1n2

ab

On constate donc qu"ainsi, soit on trouve une solution à l"équation : f(x) = 0, soit on construit deux suites

adjacentes (a n) et (bn) (toutes les hypothèses sont vérifiées), qui convergent donc : a Î [a,b]. Puisque de plus a est élément de I, f étant continue en I, les suites (f(a n)) et (f(bn)) convergent toutes deux vers f(a).

Enfin : (" n Î ?, f(a

n) < 0) ? ()a(flimnn+¥®= f(a) £ 0), et : (" n Î ?, f(bn) > 0) ? ()b(flimnn+¥®= f(a) ³ 0).

On constate finalement que : f(a) = 0.

Maintenant, si f est quelconque, pour : a < b, dans I : · si : f(a) = f(b), il n"y a pas de problème, et :

· si : f(a) < f(b) (par exemple), alors : " l Î ]f(a),f(b)[, la fonction j définie par : " x Î I, j(x) = f(x) - l,

permet de montrer (puisqu"elle vérifie les hypothèses précédentes) que : $ c Î ]a,b[ Ì I, f(c) = l.

Autrement dit, f prend toutes les valeurs sur I (et même sur [a,b]) entre f(a) et f(b).

Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 7 - Théorème 2.2 : image continue d"un intervalle

Soit I un intervalle de ?, et f une fonction continue de I dans ?.

Alors f(I) est un intervalle de ?.

Démonstration :

C"est une conséquence immédiate du théorème précédent.

En effet, si on note : J = f(I), et si J contient deux valeurs a et b, le théorème des valeurs intermédiaires

montre que f prend sur I toutes les valeurs entre a et b.

Théorème 2.3 : image continue d"un segment

Soit : I = [a,b], un segment de ?, et f une fonction continue de I dans ?.

Alors f(I) est un segment de ?.

En particulier, f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b].

Démonstration :

· Montrons tout d"abord que f est bornée sur [a,b]. Supposons pour cela f non majorée, et donc : " n Î ?, $ x n Î [a,b], f(xn) > n.

Alors la suite (x

n) est une suite d"éléments de [a,b]. Or [a,b] est un ensemble fermé et borné, donc compact, et donc on peut extraire de (x n) une suite (xj(n)) convergente vers un élément a de [a,b].

Mais puisque f est continue en a, la suite (f(x

n)) tend vers f(a). C"est donc contradictoire avec le fait que : " n Î ?, f(x n) > n.

Donc f est majorée sur [a,b] (de même en appliquant à -f ce qu"on vient de faire, on montre que f est

minorée sur [a,b]), et f est bornée sur [a,b].

· Notons maintenant : M =

)x(fsup ]b,a[xÎ, et montrons que f atteint cette valeur M sur [a,b].

Pour cela : " n Î ?*,

]n

1M[- n"est pas un majorant de f sur [a,b] (puisque M est le plus petit de ces

majorants) et donc : $ x n Î [a,b], n

1M-< f(xn) £ M.

Mais la suite (x

n) est encore une suite d"éléments de [a,b] et on peut encore en extraire une suite convergente (x y(n)) vers un élément b de [a,b], où f est toujours continue.

On a alors : " n Î ?*,

)n(1My-< f(xy(n)) £ M, et en passant à la limite : M £ f(b) £ M, soit : f(b) = M.

On montre de même, par exemple à l"aide de -f, que f atteint aussi sa borne inférieure m sur [a,b].

· Enfin, l"image de [a,b] est un intervalle, borné par m et M, f([a,b]) contient les bornes de cet intervalle et

donc : f([a,b]) = [m,M].

L"image de [a,b] est donc bien un segment.

Théorème 2.4 : monotonie et bijectivité ( Soit I un intervalle de ?, et f une fonction I dans ?.

Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f permet de définir une bijection f0 de I sur : J = f(I),

et la bijection réciproque f0-1 est continue sur J, de même monotonie que f.

Démonstration :

Supposons f strictement croissante, quitte à la remplacer par -f.

· Puisque f est strictement monotone, f

0 est injective.

En effet : " (x,x") Î I

2, (x < x") ? (f(x) < f(x")) ? (f(x) ¹ f(x")).

Puis par définition de J, tout élément de J a bien un antécédent par f

0 (J est d"ailleurs un intervalle de ?).

Donc f

0 est bien une bijection de I dans J.

· Montrons que f

0-1 est de même monotonie que f, et pour cela, soit : a < b, deux éléments de J.

Alors : $ (a,b) Î I

2, a = f(a), b = f(b).

Si on avait : a > b, f étant strictement croissante, on aurait : f(a) > f(b), soit : a > b, ce qui n"est pas le

cas. Donc : a £ b, et a et b étant distincts, on a bien finalement : a = f

0-1(a) < f0-1(b) = b.

· Montrons enfin que f

0-1 est continue.

Soit pour cela : y

0 Î J, x0 Î I, f(x0) = y0, et : e > 0.

Supposons que x

0 ne soit pas une extrémité de I. Alors : $ a > 0, [x0 - a, x0 + a] Ì I.

De plus, en posant : a" = min(a,e), on a toujours : ]x

0 - a", x0 + a"[ Ì I.

f étant strictement croissante sur I, on a alors : f(x

0 - a") < f(x0) = y0 < f(x0 + a"), et donc on peut poser :

Chapitre 01 - Révisions d"analyse. - 8 - f(x

0 - a") = y0 - a1, avec : a1 > 0, et : f(x0 + a") = y0 + a2, avec : a2 > 0.

Enfin f

0-1 étant strictement croissante sur J, avec : h = min(a1, a2) > 0, on a :

" y Î J, (|y - y

0| £ h) ? (y0 - h £ y £ y0 + h) ? (y0 - a1 £ y £ y0 + a2) ? (x0 - a" £ f0-1(y) £ x0 + a").

Soit donc : " y Î J, (|y - y

0| £ h) ? (|f0-1(y) - f0-1(y0)| £ a" £ e).

Autrement dit, f

0-1 est continue en y0.

Si enfin, x

0 est une extrémité de I, il suffit d"oublier soit a1, soit a2 et on adapte la démonstration.

Finalement, f

0-1 est bien continue en tout point de J, donc continue sur : J = f(I).

Théorème 2.5 : monotonie de bijectivité ( Soit I un intervalle de ?, et f une fonction continue I dans ?. Si f permet de définir une bijection de I sur : J = f(I), alors f est strictement monotone.

Démonstration :

Supposons f non strictement monotone sur I.

Alors il existe : a < b < c, dans I, tels que [f(a) £ f(b), et : f(c) £ f(b)], ou [f(a) ³ f(b), et : f(c) ³ f(b)].

Quitte à remplacer f par -f, on peut supposer qu"on se trouve dans le premier cas.

Si maintenant l"une des inégalités est une égalité, il y a contradiction avec le fait que f est une bijection

de I sur J puisqu"on met alors en évidence deux éléments distincts de I qui ont même image par f.

On peut alors noter : M = max(f(a), f(c)) < f(b), et le théorème des valeurs intermédiaires montre que :

· $ x

1 Î [a,b[, f(x1) = M, et :

· $ x

2 Î ]b,c], f(x2) = M,

x

1 et x2 pouvant valoir éventuellement a et c.

Mais on a alors trouvé deux éléments distincts de I qui ont même image par f, ce qui n"est pas possible.

Finalement, f est bien strictement monotone sur I.

Théorème 2.6 (hors programme) : de Heine

Soit : I = [a,b], un segment de ?, et f une fonction continue de I dans ?.

Alors f est uniformément continue sur I.

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