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SESSION 2014. SCIENCES DE LA VIE ET DE LA TERRE. Série S. Durée de l'épreuve : 3h30. Coefficient : 6. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
A. P. M. E. P.
?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013?Corrigé
EXERCICE15 points
Commun à tous les candidats
Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=ex+1 x.1. Étude d"une fonctionauxiliaire
a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=x2ex-1. Pour tout réelxde [0 ;+∞[ :g?(x)=2xex+x2ex?0 sur ]0 ;+∞[ (car tous les termes sont positifs. La fonctiongest strictement croissante sur [0 ;+∞[ (car la dérivée ne s"annule qu"en 0). b.g(0)=-1<0 etg(1)=e-1>0. Dressons le tableau de variations deg: x0a1+∞ g(x) -10e- 1 D"après ce tableau de variations, l"équationg(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle [0;1]; on appelleacette solution. g (0,703)≈-0,0018<0 etg(0,704)≈0,002>0 donca?[0,703;0,704]. c.D"après le tableau de variations deg: •g(x)<0 sur [0;a[ •g(x)>0 sur ]a;+∞[2. Étude de la fonctionf
a. limx→0ex=1 lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0e x+1x=+∞=?limx→0 x>0f (x)=+∞ lim x→+∞ex=+∞ lim x→+∞1 x=0??? b.On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle ]0 ;+∞[. f(x)=ex+1 x=?f?(x)=ex-1x2=x2ex-1x2=g(x)x2 c.Pour toutxde ]0 ;+∞[,x2>0 doncf?(x)est du signe deg(x).On dresse le tableau de variation def:
x0a+∞ g(x)-1---0+++ f?(x)---0+++ f(x) f(a)Baccalauréat SA. P. M. E. P.
d.D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a) comme minimum sur son intervalle de définition. f (a)=ea+1 a. Oraest la solution de l"équationg(x)=0 donc g (a)=0??a2ea-1=0??a2ea=1??ea=1 a2.On en déduit quef(a)=1
a2+1aet on a donc démontré que la fonctionf admettait pour minimum sur ]0 ;+∞[ le nombre réelm=1 a2+1a. e.On a successivement(en valeurs approchées) :0,703 0,4942 1 0,4957<1a2<10,4942
2,017<1
a2<2,024 0,703 1 0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc : 3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
0,4942 1 0,4957<1a2<10,4942
2,017<1
a2<2,024 0,703 1 0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc : 3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
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Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
0,4957<1a2<10,4942
2,017<1
a2<2,0240,703 1 0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc : 3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
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EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc :3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
FinÉtat des variables :
KWUV0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 512et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un.La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10.La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u.La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v.3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u.Or la suite
(wn)est géométrique de raison512et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?.4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46.Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?.La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7.La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7.Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc :0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124.2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N0,9876?A
0,99 A0,01 N0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P?N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N?×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P?A∩
N?P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième).PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?.DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=?3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p2?1-p?n-2=?
1002?
×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 1000?
×0,01240×0,9876100+?
1001?
×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct?O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?21+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie.2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées :quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] corrigé sujet bac svt pondichery 2014
[PDF] corrigé sujet bac svt septembre 2013
[PDF] corrigé sujet bac washington 2014
[PDF] corrigé sujet culture de la communication 2013
[PDF] corrigé sujet d'anglais bac 2013
[PDF] corrigé sujet d'anglais bac 2015
[PDF] corrigé sujet d'histoire bac pro 2015
[PDF] corrigé sujet d'invention bac 2010
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais 2011
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais 2012
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais 2013
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais 2014
[PDF] corrigé sujet d'invention bac francais 2015
