[PDF] Théorie des Jeux - Équilibre de Nash

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Theorie des Jeux

Equilibre de NashMarc Plantevit

marc.plantevit@univ-lyon1.fr

Un peu d'histoire

Resoudre un jeu?predire une issue probable,?logique?.Pour cela, il convient de denir un concept de solution.

Le plus communement admis est sans conteste celui propose par

John NashArticle d'une page (1950),

Sa these de 27 pages (!) l'universite de Princeton (publiee en 1951). L'equilibre de Nash constitue une pierre angulaire de la theorie des jeux moderne.Denition Unequilibre de Nashest en ensemble de strategies (une par joueur) tel qu'aucun joueur ne peut obtenir un gain supplementaire en changeant

unilateralementde strategies.L'equilibre de Nash renvoie a un critere d'absence de regret.2Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Un peu d'histoire

Resoudre un jeu?predire une issue probable,?logique?.Pour cela, il convient de denir un concept de solution.

Le plus communement admis est sans conteste celui propose par

John NashArticle d'une page (1950),

Sa these de 27 pages (!) l'universite de Princeton (publiee en 1951). L'equilibre de Nash constitue une pierre angulaire de la theorie des jeux moderne.Denition Unequilibre de Nashest en ensemble de strategies (une par joueur) tel qu'aucun joueur ne peut obtenir un gain supplementaire en changeant

unilateralementde strategies.L'equilibre de Nash renvoie a un critere d'absence de regret.2Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Un peu d'histoire

Resoudre un jeu?predire une issue probable,?logique?.Pour cela, il convient de denir un concept de solution.

Le plus communement admis est sans conteste celui propose par

John NashArticle d'une page (1950),

Sa these de 27 pages (!) l'universite de Princeton (publiee en 1951). L'equilibre de Nash constitue une pierre angulaire de la theorie des jeux moderne.Denition Unequilibre de Nashest en ensemble de strategies (une par joueur) tel qu'aucun joueur ne peut obtenir un gain supplementaire en changeant

unilateralementde strategies.L'equilibre de Nash renvoie a un critere d'absence de regret.2Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Un peu d'histoire

Resoudre un jeu?predire une issue probable,?logique?.Pour cela, il convient de denir un concept de solution.

Le plus communement admis est sans conteste celui propose par

John NashArticle d'une page (1950),

Sa these de 27 pages (!) l'universite de Princeton (publiee en 1951). L'equilibre de Nash constitue une pierre angulaire de la theorie des jeux moderne.Denition Unequilibre de Nashest en ensemble de strategies (une par joueur) tel qu'aucun joueur ne peut obtenir un gain supplementaire en changeant

unilateralementde strategies.L'equilibre de Nash renvoie a un critere d'absence de regret.2Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Un peu d'histoire

Resoudre un jeu?predire une issue probable,?logique?.Pour cela, il convient de denir un concept de solution.

Le plus communement admis est sans conteste celui propose par

John NashArticle d'une page (1950),

Sa these de 27 pages (!) l'universite de Princeton (publiee en 1951). L'equilibre de Nash constitue une pierre angulaire de la theorie des jeux moderne.Denition Unequilibre de Nashest en ensemble de strategies (une par joueur) tel qu'aucun joueur ne peut obtenir un gain supplementaire en changeant

unilateralementde strategies.L'equilibre de Nash renvoie a un critere d'absence de regret.2Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Concepts abordes :

Equilibre de Nash,les fonctions de meilleures reponses, l'ecacite et domination au sens de Pareto, les problemes de la multiplicite des equilibres, les points focaux dans un jeu, l'equilibre correle.

3Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

John Nash (1951)?generalisation du concept d'equilibre de Cournot.Idee simple et coherent avec l'essence des jeux non-cooperatifs : Jeux non-cooperatifs?Des situations d'interactions entre individus poursuivant des objectifs independants.Absence de communication avant le jeu. Absence de possibilite d'engagement dans une strategie particuliere. Equilibre de Nash?des resultats qui sont stables par rapport aux

deviations individuelles, donc unilaterales.Absence de communication?absence de coordination explicite et

absence des deviations multilaterales.

4Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Equilibre de NashUn equilibre de Nash (EN) est un resultat dont aucun joueur n'a envie de devier unilateralement, etant donnees les strategies jouees par les autres joueurs.Denition Un prolp?? ?p?1;:::;p?n? ?p?i?Pi;i?1:::n?est un equilibre de Nash

si aucun joueur n'a inter^et a devier unilateralement de sa strategiep?iquand les autres joueurs continuent a jouer le prolp??i.Par consequent, nous devons avoir :

u i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:p ?est un equilibre de Nashstrictsi u

i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:Si l'equilibre de Nash est strict, en devier doit avoir un co^ut pour les

joueurs.

5Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Equilibre de NashUn equilibre de Nash (EN) est un resultat dont aucun joueur n'a envie de devier unilateralement, etant donnees les strategies jouees par les autres joueurs.Denition Un prolp?? ?p?1;:::;p?n? ?p?i?Pi;i?1:::n?est un equilibre de Nash

si aucun joueur n'a inter^et a devier unilateralement de sa strategiep?iquand les autres joueurs continuent a jouer le prolp??i.Par consequent, nous devons avoir :

u i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:p ?est un equilibre de Nashstrictsi u

i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:Si l'equilibre de Nash est strict, en devier doit avoir un co^ut pour les

joueurs.

5Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Equilibre de NashUn equilibre de Nash (EN) est un resultat dont aucun joueur n'a envie de devier unilateralement, etant donnees les strategies jouees par les autres joueurs.Denition Un prolp?? ?p?1;:::;p?n? ?p?i?Pi;i?1:::n?est un equilibre de Nash

si aucun joueur n'a inter^et a devier unilateralement de sa strategiep?iquand les autres joueurs continuent a jouer le prolp??i.Par consequent, nous devons avoir :

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joueurs.

5Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Equilibre de NashUn equilibre de Nash (EN) est un resultat dont aucun joueur n'a envie de devier unilateralement, etant donnees les strategies jouees par les autres joueurs.Denition Un prolp?? ?p?1;:::;p?n? ?p?i?Pi;i?1:::n?est un equilibre de Nash

si aucun joueur n'a inter^et a devier unilateralement de sa strategiep?iquand les autres joueurs continuent a jouer le prolp??i.Par consequent, nous devons avoir :

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joueurs.

5Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Equilibre de NashUn equilibre de Nash (EN) est un resultat dont aucun joueur n'a envie de devier unilateralement, etant donnees les strategies jouees par les autres joueurs.Denition Un prolp?? ?p?1;:::;p?n? ?p?i?Pi;i?1:::n?est un equilibre de Nash

si aucun joueur n'a inter^et a devier unilateralement de sa strategiep?iquand les autres joueurs continuent a jouer le prolp??i.Par consequent, nous devons avoir :

u i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:p ?est un equilibre de Nashstrictsi u

i?p?i;p??i? ?ui?pi;p??i?;?pi?Pi;?i?1:::n:Si l'equilibre de Nash est strict, en devier doit avoir un co^ut pour les

joueurs.

5Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Pour tester si un resultatpest un equilibre de Nash, nous devons :veriersi un des joueurs au moins n'a pas inter^et a choisir une

autre strategie.Si ce n'est pas le cas alorspest un equilibre de Nash.Reprenons le dilemme du prisonnier :

Clyde N D

N??1;?1??? 10;0?Bonnie

D?0;?10? ??8;?8??N;N?n'est pas un equilibre de Nash car : u

2?N;N? ? ?1?0?u2?N;D?

?Clyde choisira de jouerDau lieuN.6Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Pour tester si un resultatpest un equilibre de Nash, nous devons :veriersi un des joueurs au moins n'a pas inter^et a choisir une

autre strategie.Si ce n'est pas le cas alorspest un equilibre de Nash.Reprenons le dilemme du prisonnier :

Clyde N D

N??1;?1??? 10;0?Bonnie

D?0;?10? ??8;?8??N;N?n'est pas un equilibre de Nash car : u

2?N;N? ? ?1?0?u2?N;D?

?Clyde choisira de jouerDau lieuN.6Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Pour tester si un resultatpest un equilibre de Nash, nous devons :veriersi un des joueurs au moins n'a pas inter^et a choisir une

autre strategie.Si ce n'est pas le cas alorspest un equilibre de Nash.Reprenons le dilemme du prisonnier :

Clyde N D

N??1;?1??? 10;0?Bonnie

D?0;?10? ??8;?8??N;N?n'est pas un equilibre de Nash car : u

2?N;N? ? ?1?0?u2?N;D?

?Clyde choisira de jouerDau lieuN.6Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Pour tester si un resultatpest un equilibre de Nash, nous devons :veriersi un des joueurs au moins n'a pas inter^et a choisir une

autre strategie.Si ce n'est pas le cas alorspest un equilibre de Nash.Reprenons le dilemme du prisonnier :

Clyde N D

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2?N;N? ? ?1?0?u2?N;D?

?Clyde choisira de jouerDau lieuN.6Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Pour tester si un resultatpest un equilibre de Nash, nous devons :veriersi un des joueurs au moins n'a pas inter^et a choisir une

autre strategie.Si ce n'est pas le cas alorspest un equilibre de Nash.Reprenons le dilemme du prisonnier :

Clyde N D

N??1;?1??? 10;0?Bonnie

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2?N;N? ? ?1?0?u2?N;D?

?Clyde choisira de jouerDau lieuN.6Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Rappel :

Elimination des strategies dominees?Unique solution (D,D).Aucun joueur n'a inter^et a devier deDquel que soit le choix de

l'autre (et donc, en particulier, si l'autre choisitD).Mais, de maniere plus generale, c'est un equilibre de Nash car :

u

1?D;D? ? ?8? ?10?u1?N;D?

?Bonnie n'a pas inter^et a devier deDsi l'autre joueD.et u

2?D;D? ? ?8? ?10?u2?D;N?

Clyde non plus.Qu'en est-il des strategies mixtes?

7Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Rappel :

Elimination des strategies dominees?Unique solution (D,D).Aucun joueur n'a inter^et a devier deDquel que soit le choix de

l'autre (et donc, en particulier, si l'autre choisitD).Mais, de maniere plus generale, c'est un equilibre de Nash car :

u

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?Bonnie n'a pas inter^et a devier deDsi l'autre joueD.et u

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Clyde non plus.Qu'en est-il des strategies mixtes?

7Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Rappel :

Elimination des strategies dominees?Unique solution (D,D).Aucun joueur n'a inter^et a devier deDquel que soit le choix de

l'autre (et donc, en particulier, si l'autre choisitD).Mais, de maniere plus generale, c'est un equilibre de Nash car :

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?Bonnie n'a pas inter^et a devier deDsi l'autre joueD.et u

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Clyde non plus.Qu'en est-il des strategies mixtes?

7Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Rappel :

Elimination des strategies dominees?Unique solution (D,D).Aucun joueur n'a inter^et a devier deDquel que soit le choix de

l'autre (et donc, en particulier, si l'autre choisitD).Mais, de maniere plus generale, c'est un equilibre de Nash car :

u

1?D;D? ? ?8? ?10?u1?N;D?

?Bonnie n'a pas inter^et a devier deDsi l'autre joueD.et u

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Clyde non plus.Qu'en est-il des strategies mixtes?

7Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Strategies mixtes :p1? ?q;1?q?etp2? ?t;1?t?avec

q;t? ?0;1?.qest la frequence du choix de la strategieNpar Bonnie ettest la frequence du choix deNpar Clyde.L'equilibre en strategies pures :

p ?1? ?0;1?etp?2? ?0;1?

ouBonnie et Clyde choisissent toujoursD.8Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Strategies mixtes :p1? ?q;1?q?etp2? ?t;1?t?avec

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p ?1? ?0;1?etp?2? ?0;1?

ouBonnie et Clyde choisissent toujoursD.8Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Strategies mixtes :p1? ?q;1?q?etp2? ?t;1?t?avec

q;t? ?0;1?.qest la frequence du choix de la strategieNpar Bonnie ettest la frequence du choix deNpar Clyde.L'equilibre en strategies pures :

p ?1? ?0;1?etp?2? ?0;1?

ouBonnie et Clyde choisissent toujoursD.8Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Nous pouvons representer les strategies mixtes des joueurs dans laforme normale du jeupour faciliter leur comprehension.Clyde t1?tN D qN??1;?1? ??10;0?Bonnie

1?qD?0;?10? ??8;?8?Question :

Peut-il y avoir d'autres equilibres en strategies mixtes?

9Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Nous pouvons representer les strategies mixtes des joueurs dans laforme normale du jeupour faciliter leur comprehension.Clyde t1?tN D qN??1;?1? ??10;0?Bonnie

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Peut-il y avoir d'autres equilibres en strategies mixtes?

9Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Nous pouvons representer les strategies mixtes des joueurs dans laforme normale du jeupour faciliter leur comprehension.Clyde t1?tN D qN??1;?1? ??10;0?Bonnie

1?qD?0;?10? ??8;?8?Question :

Peut-il y avoir d'autres equilibres en strategies mixtes?

9Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashInsu sancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Probabilites Jointes

Etant donne que les strategies mixtes (et donc les evenements correspondants au choix deDet deN) sontindependantesentre les deux joueurs, nous pouvonscalculer la probabilite jointe de realisation de chaque prol de strategies.Clyde t1?tN D qNq?t q? ?1?t?Bonnie

1?qD?1?q? ?t?1?q? ? ?1?t?10Fonctions de meilleures reponses et equilibre de NashIn susancesde l' equilibrede Nash Entrant P otentiel

Probabilites Jointes

Etant donne que les strategies mixtes (et donc les evenements correspondants au choix deDet deN) sontindependantesentre les deux joueurs, nous pouvonscalculer la probabilite jointe de realisation de chaque prol de strategies.Clyde t1?tN D qNq?t q? ?1?t?Bonnie

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Esperances de gains

Clyde t1?tN D qNq?t q? ?1?t?Bonnie

1?qD?1?q? ?t?1?q? ? ?1?t?Les gains esperes des deux joueurs sont alors donnes :

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