[PDF] Oral de Mathématiques II Planche 1 Ce sujet doral est composé de

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Oral de Mathématiques II

Planche 1

Ce sujet d"oral est composé de deux exercices. Vous présenterez ces deuxexercices à l"oral, dans

l"ordre de votre choix.

Préparation : 30 min - Interrogation : 30 minExercice1Une urne contientnjetons numérotés de1àn. Un joueur effectue des tirages sans

remise dans cette urne jusqu"à ce que le numéro tiré ait un numéro supérieur au numéro tiré

juste avant ou que l"urne soit vide (par exemple, une suite de tirages possible est8;4;5, on

s"arrête alors après ce troisième tirage). Si l"urne devient vide sans que le joueur n"ait jamais

tiré un numéro plus grand que le précédent, il ne gagne pas d"argent. Sinon, il gagnekeuros

oùkest le nombre de tirage qu"il a effectués. On noteXnle gain du joueur. 1.

Quelles sont les valeurs prises par Xn?

2.

Calculer P(Xn= 0).

3. Déterminer P(Xn= 2)(on pourra utiliser un argument de symétrie). 4.

Montr erque pour tout n3, on aP(Xn=n) =n1n!.

5. Justifier que pour nk2, on aP(Xn=k) =P(Xk=k). En déduire la loi deXn. 6.

Quelle est la limite de E(Xn)lorsquentend vers l"infini?Exercice21.Montr erque pour tout a2Ron a :8x2R; exea+(xa)ea:Dans quels

cas a-t-on égalité? 2. Soit funefonctiondéfinieetcontinuesur[0;1],àvaleursdansR.Enutilisantl"inégalité obtenue au 1. avecx=f(t)pourt2[0;1]eta2Rune constante bien choisie, montrer que exp Z1 0 f(t)dt Z 1 0 exp(f(t))dt:

Dans quels cas y a-t-il égalité?

Oral de Mathématiques II

Planche 2

Ce sujet d"oral est composé de deux exercices. Vous présenterez ces deuxexercices à l"oral, dans

l"ordre de votre choix.

Préparation : 30 min - Interrogation : 30 minExercice1Un joueur va au casino avec une fortunea2N. A chaque partie, il peut gagner

1euro avec une probabilitépet perdre1euro avec une probabilitéq= 1p. Son but est de

jouer jusqu"à l"obtention de la fortuneca,c2N. mais il doit s"arrêter s"il est ruiné. On note

s c(a)sa probabilité de succès (atteindrecavant la ruine). 1.

Calculer sc(0)etsc(c).

2. Montr er,en raisonnant sur ce qui s"est passé au pr emiercoup, pour 0< a < c, la relation s c(a) =psc(a+ 1) +qsc(a1): 3. On pose r=q=petua=sc(a)sc(a1). Montrer la relation u a+1=rua: 4. En déduir ela valeur de sc(a).Exercice2Pour toutn2N, on pose :un=n!enn n+12 1.

Pour tout n2N, calculervn=lnu

nu n+1 2. Montr erque la série de terme général vnest convergente. 3. Montr erque la suite de terme général unadmet une limite finie strictement positivel. 4. Donner un équivalent simple de n!quandntend vers+1s"exprimant à l"aide del.

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Planche 3

Ce sujet d"oral est composé de deux exercices. Vous présenterez ces deuxexercices à l"oral, dans

l"ordre de votre choix.

Préparation : 30 min - Interrogation : 30 minExercice1Deux personnesAetBjouent au jeu suivant :Alance une pièce équilibrée, s"il

obtient pile il gagne. Sinon,Blance la pièce à son tour. S"il obtient face il gagne. Sinon, c"est

de nouveau àAde jouer.... On noteAk(resp.Bk) l"événement " le joueurA(resp.B) gagne

à sonk-ième lancer ». On suppose que le jeu s"arrête après10lancers (5de chaque joueurs).

Calculer la probabilité des événements suivants : 1. Le joueur Agagne en lançant au plus trois fois la pièce. 2.

Le joueur Bgagne.

3.

Personne ne gagne.

4.

On suppose que quelqu"un gagne, quel est la pr obabilitéque cela soit A?Exercice2Soitg:R7!Rune application continue telle que8x2R;(gg)(x)2g(x)+x= 0:

1. Montr erque gest injective, puis quegest une bijection strictement croissante deR dansR. On noteg1sa réciproque. Pour toutk2N, on notegk=gg:::g(kfois) etgk= (g1)k. On convient que g

0=IdR.

2.

Montr erque : 8x2R,8k2Z,gk(x)x=k(g(x)x).

3. On suppose g(0)>0. Montrer que pour toutx >0il existek2Ntel que g k(0)xgk+1(0): En déduire un équivalent simple degn(x)quandntend vers+1. 4. Déterminer toutes les applications gvérifiant l"égalité du début de l"énoncé.

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Planche 4

Ce sujet d"oral est composé de deux exercices. Vous présenterez ces deuxexercices à l"oral, dans

l"ordre de votre choix.

Préparation : 30 min - Interrogation : 30 minExercice1SoitXla variable aléatoire à valeurs dansNqui décrit le nombre d"enfants d"une

famille tirée au hasard uniformément parmi les famille d"une ville A. On tire uniformément un enfant au hasard dans la ville A. On noteYle nombre d"enfants dans sa famille. 1. Que vaut P(Y= 0)? Justifier que la loi deYet la loi deXsont a priori différentes. 2. On note nle nombre de familles de A,Nle nombre d"enfants. Trouver une relation entren,NetE[X]. 3. On note nkle nombre de familles dekenfants dans A. Montrer queP(Y=k) = kn k=N, en déduire la loi deYen fonction de celle deX. 4.

Justifier qu"il s"agit bien d"une loi, calculer son espérance. Exercice2Pour tout entier naturel non nulk, la dérivéek-ième d"un produit de deux fonc-

tionsnfois dérivablesuetvest donnée par la formule suivante (formule de Leibniz) : (uv)(k)=kX j=0 k j u (j)v(kj): On suppose queest rationnel, autrement dit qu"il existe deux entiers naturels non nulsaet btels que=ab Pour tout entier naturel non nuln, on pose :Pn(x) =1n!xn(bxa)n: 1.

Montr erque limn!+1R

0Pn(x)sin(x)dx= 0

2. Montr erque pour tous entiers natur elsnon nuls netk, les valeurs des dérivéesk-ièmes dePn(x)enx= 0et enx=ab sont entières. On pourra distinguer successivement les cas suivants :k >2n,k < netnk2n. 3. Montr eren ef fectuant2nintégrations par parties successives que pour tout entier na- turelnnon nul,R

0Pn(x)sin(x)dxest un entier strictement positif. Que peut-on en

conclure?

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Planche 5

Ce sujet d"oral est composé de deux exercices. Vous présenterez ces deuxexercices à l"oral, dans

l"ordre de votre choix.

Préparation : 30 min - Interrogation : 30 minExercice1On étudie la taille d"une population de bactéries, dont l"évolution est modélisée

de la façon suivante. Le jour0, la population est constituée d"une seule bactérie. Chaque jour,

chaque bactérie se comporte indépendamment des autres et de ce qui s"est passé avant, de la façon suivante : avec probabilitép0: elle meurt et ne donne pas de descendance, avec probabilitép4: elle meurt mais donne naissance à4bactéries. Les paramètresp0;p4sont deux réels positifs avecp0+p4= 1. On cherche à calculer la probabilité que la population finisse par s"éteindre un jour.

Soitxnla probabilité de l"évènementAn="la population est éteinte à lan-ième génération"

1.

Calculer x1

2.

Montr erque la suite xnest croissante.

3.

Montr erque pour tout n1, on axn+1=p0+p4x4n:

4. Montr erque pour tout n1, on axnx, oùxest la plus petite solution de l"équation x=p0+p4x4: 5.

En déduir elimn!1xn.Exercice2Soitfune fonction définie et continue sur[0;1]à valeurs dans[0;1], dérivable sur

]0;1[et vérifiantff=f. On note :a= minff(x) ;x2[0;1]getb= maxff(x) ;x2[0;1]g: 1.

Justifier l"existence de aetb:

2.

Quelle est la r estrictionde fà[a;b]?

3. Quelles sont toutes les fonctions fnon constantes vérifiant toutes les hypothèses ci- dessus? On pourra considérer les valeurs def0(a)et def0(b). 4. Quelles sont toutes les fonctions fcontinues de[0;1]dans[0;1], vérifiantff=f?quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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