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CTU, Licence de Mathématiques

Statistique Inférentielle

Jean-Yves DAUXOIS

Université de Franche-Comté

Année scolaire 2011-2012

Ce polycopié contient le cours, les sujets d"exercice et leurs corrigés ainsi que les sujets des devoirs proposés.

Les énoncés des exercices sont donnés en fin de chapitre auxquelles ils font référence.

Il est vivement conseillé d"essayer de faire sérieusement les exercices, sans aller trop rapidement voir leurs corrections détaillées en fin de polycopié. On sait en effet que, pour qu"une correction soit efficace, il faut qu"elle vienne après une période de recherche personnelle de la solution. Les devoirs, quant à eux, ne sont pas des exercices supplémentaires (ces derniers accompagnés de leurs corrections sont déjà assez nombreux !). Pour qu"ils apportent réellement autre chose que les exercices, ils doivent être faits dans les conditions d"un devoir surveillé ou d"un examen. En conséquence, il vous est vivement conseillé de faire les devoirs et de m"envoyer votre copie (éventuellement les unes après les autres). En retour vous recevrez votre copie corrigée et également une correction type du devoir. Le

premier des devoirs peut être résolu dès que l"on est parvenu à la fin de la seconde section

du Chapitre 5 . Le second est lui réalisable après avoir travaillé l"ensemble du Chapitre 5

. Les trois autres, même s"ils peuvent être "attaqués" plus tôt, ne seront réalisables

qu"une fois assimilé l"ensemble des notions. Ils peuvent fournir de bons exercices de révision en perspective de l"examen. Enfin, ce polycopié contient certainement de nombreuses coquilles et mérite encore d"être amélioré. Merci d"avance aux lecteurs attentifs de transmettre leur remarques, suggestions ou indications sur la localisation des coquilles. Un petit mail à l"adresse jean-yves.dauxois@univ-fcomte.fr et l"amélioration est prise en compte...

Bon courage !

Table des matières

Partie 1. Introduction et Modèle Statistique5

Chapitre 1. Introduction

7

Chapitre 2. Modèle Statistique

11

1. Définition

11

2. Modèle d"échantillonnage

15

3. Vraisemblance

15

4. Familles Exponentielles

16

5. Modèle position-échelle

1 7

6. Exercices

18

Partie 2. Estimation ponctuelle21

Chapitre 3. Statistique et Estimateur

23

Chapitre 4. Construction d"estimateurs

27

1. Estimateurs empiriques (des moments)

27

2. Méthode de substitution

29

3. Méthode des moments

29

4. Maximum de vraisemblance

30

5. Exercices

33

Chapitre 5. Qualité d"un estimateur

37

1. Estimateur convergent

37

2. Estimateur sans biais

39

3. Risque d"un estimateur

40

4. Information de Fisher

43

5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao)

4 6

6. Exercices

48

Chapitre 6. Amélioration d"estimateurs

51

1. Statistique exhaustive

51

2. Statistique exhaustive minimale

54

3. Théorème de Rao-Blackwell

54

4. Théorème de Lehmann-Scheffé

56

5. Cas des familles exponentielles

57

6. Exercices

57
3 Chapitre 7. Comportement asymptotique d"un estimateur59

1. Normalité asymptotique

59

2. Estimateurs empiriques des moments

60

3. Estimateur du maximum de vraisemblance

60

4. La-méthode ou l"étude asymptotique d"un estimateur obtenu par la

méthode de substitution 61

5. Estimateurs par la méthode des moments

62

6. Exercices

63

Partie 3. Intervalles de confiance65

Chapitre 8. Intervalles de confiance exacts

67
Chapitre 9. Intervalles de confiance asymptotiques 71
Chapitre 10. Exercices sur les intervalles de confiance exacts et asymptotiques 73

Partie 4. Correction des exercices75

Correction des exercices du Chapitre 2

77

Correction des exercices du Chapitre 4

85

Correction des exercices du Chapitre 5

99

Correction des exercices du Chapitre 6

119

Correction des exercices du Chapitre 8

129

Partie 5. Devoirs135

Partie 1

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