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la définition d'une onde mécanique progressive Les ondes transversales et les ondes longitudinales Dans ce chapitre nous allons surtout nous intéresser à
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Définition des ondes a Onde mécanique Une onde progressive périodique est la propagation d'une perturbation se répétant à l'identique au cours du temps
Partie 2 : Les ondes progressives
Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations
affectant un système possédant un grand nombre de degré de liberté. Dans le chapitre précédent, nous
avons étudié le comportement vibratoire d"une chaîne d"oscillateurs mécaniques constituée d"un nombre
finiNde masses. Un tel systèmeferméoscillait librement selonNmodes de vibrations stationnaires.
LorsqueNdevient infini, les vibrations ne restent plus confinées dans une région fermée de l"espace, mais
vont plutôt sepropagerdepuis le point où elles ont pris naissance suite à une perturbation initiale. C"est
ce phénomène que nous allons ici étudier.1 L"équation d"onde
1.1 Mise en évidence de l"équation d"onde
Pour mettre en évidence la structure mathématique du phénomène ondulatoire, nous allons étudier
le système constitué d"une chaîne infinie d"oscillateurs identiques composés de massesmet de ressorts
de raideursKmontés en série (Figure 1). Nous supposerons dans un premier temps que les masses nen-1nn+1K
a mFigure1 peuvent se mouvoir que dans la direction longitudinale. Nous supposerons également pour commencerque les longueurs d"ondes des vibration sont "grandes" par rapport à l"espacement moyen entre les masses.
En notantala longueur naturelle de chaque ressort à l"équilibre, etXnl"écart de la masse numéronpar
rapport à sa position d"équilibre, on peut établir l"équation du mouvement de la masse numéron:
mXn=K(XnXn1) +K(Xn+1Xn)(1)
On constate que l"équation du mouvement pour la massenimplique la position de la massenà travers
la fonctionXnet sa dérivée secondeXn. Cependant, cette équation différentielle contient aussi une
dépendance par rapport aux positions des masse voisines à travers les fonctionsXn1etXn+1. Leséquations différentielles régissant l"évolution des massesn1,n,n+ 1, ... sont donccouplées. On a
déjà rencontré cette situation au cours de l"étude de la chaîne d"oscillateurs àNdegrés de liberté. On
a montré que le découplage de ces équations nécessite de calculer l"inversed"une matrice de dimensions
NN. Ici, puisqueN! 1, il n"est pas possible de procéder de la même manière. Il est donc impossible
de découpler ces équations. Adoptons à présent les notation indiquées sur la Figure 2 :Xn1(t)!X(xa;t);Xn(t)!X(x;t); X n+1(t)!X(x+a;t). La fonctionXest désormais une fonction continue dépendant des deux variablesxett, et nous l"échantillonnonsaux positionsxaetx+aet à l"instantt. On prendra donc garde à rem-
placer les dérivées simples par rapport au tempstpar des dérivées partielles. L"équation du mouvement
devient alors : m @2X(x;t)@t2=K[X(x;t)X(xa;t)] +K[X(x+a;t)X(x;t)](2)Raphaël Grandin - IPGP - grandin@ipgp.fr Version du21 août 2017
Partie 2: ONDES PROGRESSIVESX(x-a,t)X(x,t)X(x+a,t) xx+ax-aFigure2On a supposé queaest "petit", ce qui permet d"effectuer les développements limités suivants :
8>< :X(xa;t)DL'X(x;t)a@X@x +a22 2X@x 2X(x+a;t)'00+00+00(3)
Grâce à ces développements limités, on est maintenant capable de relier les positions des masses voisines
à travers une unique fonctionX:
m @2X@t 2=K a@X@x a22 2X@x 2 +K a@X@x +a22 2X@x 2 =K a2@2X@x 2(4) Cette équation peut être réécrite sous la forme :@ 2X@x 21c2@ 2X@t
2= 0avecc=rKa
2m(5)Cette équation aux dérivées partielles est l"équation d"ondeouéquation de d"Alembert. Cette équation
relie la dérivée seconde par rapport au temps (t) et la dérivée seconde par rapport à la variable d"espace
(x). Le fait que la fonctionX(position d"une masse située enxau cours du tempst) vérifie cette équation
signifie queXpossède unestructured"onde. En d"autres termes, la perturbationXse propagera dansl"espace au cours du temps, et variera en fonction du temps en tout point fixe de l"espace. Il en va de
même pour la force, la vitesse, l"accélération : toutes ces fonctions, qui sont reliées àXou à ses dérivées,
ont une structure d"onde. Le paramètrecest homogène à une vitesse : c"est lacéléritéde l"onde. En
rappellant que!o=pK=mest lapulsation proprede l"oscillateur élémentaire, on trouve quec=a!o.1.2 Solution générale de l"équation d"onde
1.2.1 Onde progressive à une dimension
Afin de résoudre l"équation d"onde, on procède au changement de variable suivant : (x;t)!(;)avec=tx=c =t+x=c()8 >:t=+2 x=c2 (6)Suite à ce changement de variable, il est possible d"exprimer la fonctionXpar rapport aux variables
et. Les dérivées partielles deXpar rapport àxettdoivent maintenant être calculées par rapport aux
nouvelles variableset:8>>>>>>>><
>>>>>>>:@X@t =@X@ :=1 z}|{@@t +@X@ :=1 z}|{@@t =@X@ +@X@ @X@x =@X@ :@@x |{z} =1=c+ @X@ :@@x |{z} =1=c= 1c @X@ @X@ =)8 >>:@@t @@x =1c (7)Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 2Partie 2: ONDES PROGRESSIVES
En appliquant une seconde fois lesopérateurs dérivée partielleidentifiés ci-dessus, on obtient :
8>>>< 2X@t 2=@@t @X@t =@2X@2+ 2@2X@@
+@2X@ 2 2X@x 2=@@x @X@x =1c 2 @2X@22@2X@@
+@2X@ 2 (8)En injectant ces dérivées partielles dans l"équation d"onde (équation 5), on aboutit finalement à la
condition suivante :@2X@@ @X@ = 0(9)Cette condition signifie que, pour que la fonctionXsoit solution de l"équation d"onde, il est nécessaire
que la fonction@X=@ne dépende pas de la variable(bien qu"à l"origine, suite à notre changement
de variable, la fonctionXet ses dérivées partielles par rapport àoupouvaient/devaienta priori
dépendre des deux variables naturelleset). Par conséquent, la fonction@X=@dépenduniquement de. On peut donc l"écrire sous la forme : @X@ ()(10) où est une fonction de. Il est maintenant possible d"intégrer@X=@par rapport à la variable pour trouver l"expression de la fonctionX. Lors de ce calcul, il ne faut pas oublier d"ajouter uneconstante d"intégration appropriée. Cette "constante" d"intégration est ici, en fait, n"importe quel nombre
ou fonction ne dépendant pas de la variable d"intégration(on doit pouvoir, en différentiant l"expression
intégrée, retomber sur l"expression initiale) :X(;) =f() +g()avecg() =Z
()(11) Les variablesetsont maintenantséparées. On peut donc écrire, en rappellant le changement de variable introduit plus haut :X(x;t) =f txc |{z} onde progressive+g t+xc |{z} onde régressive(12)La première fonctionfcorrespond à la propagation d"une onde progressant dans le sens desxcroissants.
On peut le vérifier en cherchant le lieu des valeurs constantes def, c"est à dire les couples(x;t)tels que
tx=cest constant : lorsquetaugmente, il faut quexaugmente également pour conservertx=c=cste.La perturbation va donc se déplacer vers lesxcroissants. Au contraire, la seconde fonctiongest identifiée
à une onde régressive se propageant vers lesxdécroissants. La solution générale de l"équation d"onde à
une dimension est donc la somme d"une onde se propageant dans une direction, et d"une autre onde se propageant dans la direction opposée.1.2.2 Onde progressive à trois dimensions
À trois dimensions, la coordonnéexdéfinissant la position à laquelle on étudie le phenomène on-
dulatoire est remplacée par un vecteur~rdéfinissant la position dans l"espace par rapport à l"origine.
Par exemple, en coordonnées cartésiennes,~r= (x;y;z). Mais l"onde tridimensionnelle peut se propager
dans une direction différente du vecteur position courante. On doit donc introduire un second vecteur~
indiquant la direction et le sens de propagation de l"onde. La solution de l"équation d"onde prend alors
la forme :A(~r;t) =A(x;y;z;t) =F(ct~:~r) +G(ct+~:~r)(13) Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 3Partie 2: ONDES PROGRESSIVES
1.2.3 Onde sphérique
Un cas particulier d"onde se propageant dans les trois dimensions de l"espace est l"onde sphérique.
Soit une fonctionsdu tempstet de l"espace(x;y;z)solution de l"équation d"onde. L"équation d"onde
s"écrit alors : r 2s1c 2@ 2s@t2= 0(14)
oùr2correspond à l"opérateurlaplacien, etrcorrespond à l"opérateurnabla. Puisquesne dépend que
de la variabler, son laplacien s"écrit, en coordonnées sphériques : r2s=@2s@r
2+2r @s@r (15) On va ici procéder au changement de variable suivant : u=rs=)8 >>>>>>:@u@r =s+r@s@r 2u@r2= 2@s@r
+r@2s@r 2 2u@t2=r@2s@t
2=) r2s=1r
2u@r 2 =)@2s@t 2=1r 2u@t 2(16) On peut donc réécrire l"équation d"onde avec la fonctionu: 2u@r 21c2@ 2u@t
2= 0(17)
Le fait que l"opérateur différentielr2soit remplacé par une dérivée partielle@2=@r2traduit le passage
d"un problème tridimensionnel à un problème unidimensionnel. On retrouve ici l"équation d"onde à une
dimension, dontuest solution. La fonctionuest donc de la forme donnée par l"équation 12 : u(r;t) =f trc +g t+rc =)s(r;t) =1r f trc +1r g t+rc (18) La fonctionssubit une atténuation géométrique en1=r.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] définition optique ondulatoire
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