[PDF] Chapitre 2 Propagation dune onde

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre2

Propagationd'uneonde

It'sarealsh ame thefalsenewst ravelfast

Falsenewstravelf ast-SonataAr ctica

Bibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre2

Onregr oupesousl'appellation"s ignal"toutei nformationdépendantedutempset/oudel'es pace.Touteobservationd' unproblème

physiqueconsisteenl'extraction ouconversionenunsignal phys iqueexploitable,aujourd'huiàl' airdu numériqueonutilisetrèssouv ent

lessign auxélectriquespourétud ierunsystème:accéléromètre, capteurdepositio n,intensitélumineuse convert ieensignal électr ique

parune CCD...

Nousverron squ'unedoubledépendance temps/espaceentra înelecaractèreprop agatifdusignal.Danscechapitr enousallonsétudier

quelquespropriétés decessignauxsansrentrer danslesa spectsles pluscalculatoirescomme l'établissement del'équationrég issantla

propagationd'uns ignalappeléeéq uationdeD'Alembert .

N*JeanleRondD' Alembe rt1717-17 83:philosophe,physicien,mathém aticienetencyclopédistefrançais

ISignauxetondes

1.1Signal

Grandeurphysiquedontlad éterminationpermetd'acc éderàuneinfo rmatio n. bSignal Signalquise répèteàl' identiqueau boutd'uncertain temps. bSignalpériodique AcoustiquePressionet vitesseAudible20Hzà20kHz,ul trason,infrason

ÉlectriqueCourantettension

ÉlectromagnétiqueChampélect riqueetmagnétiqueVisible1⇥10 14

Hzà1⇥10

15 Hz... Pourchaque domainedelaphysiqu epermettantlapropagati ond'o ndes,d i ff

érentesgrandeurspeu ventsepropager.Danslecasde

l'acoustique,c'estuneondedepr essionquisepr opage(unesu ccessiondesurpressio netdedép ression)maiselleestéga lementassoc iée

champsélectriqu esetmagnétiquesquisepropagent.Dan slecad redel'électricitéalternativelesg randeurs seprop ageantsontl'intensité

etlat ensionélectrique.

Onappe llespectred'unsignal ladonnéedesintensité sassociéesàc haquefréquencecomp osantu nsignal.

bSpectre Unsign alacoustiqueestco mposédesurpressionsetdépressionsd'u nmilieu.

Infrasons:fréquenceinférie ure à20Hz.

Domaineaudible:fréque nceentre20Hzet20kHz.

Ultrasons:fréquencesupérieu reà 20kHz.

Unsign alélectromagnétiqu edécritlesvariationsdechampélectriqueetmagn étique.

Ligneha ute-tension⇠10Hz

Fouràinduc tio n⇠100kHz

RadioAM⇠1MHz

RadioFM,IRMet RMN⇠100MHz

Téléphonemobile ⇠1GHz

Radar,satellite,fou ràmicro-ondes⇠10GHz

Appareildechauffage⇠10

14 Hz

Lampeàbron zage⇠10

16 Hz 14 PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

1.2Onde

Modificationd'uneouplusieurs propriétésphysi quesd' unmilieumatériel. bPerturbationmécanique

Remarque:Enélect romagnétismelespropriétésphysiquesperturbéesson tlesv aleursdescham psélectromagnét iques,ilnes'agitpas

deperturbati onmécanique.

Onditqu'une ondeméc aniquese propagequandles perturbationsmécaniquessepropagentsansqu'il yait déplacement dematière.

bPropagationd'une onde

KPropagationd'une ondelelongd'unecorde

Remarque:Lacordeconst ituele milieudepropagation,ellenesedéplacepar danssonensem blemaison observe desdéformations

localesquiellessepro pagent. Unpo intd onnévareproduireaprèsuntempssu ffi sammentlonglemo uvementd'unp oin tprécédent.Il

estdeplus nécess airequelemi lieupuissesedéformerpourquel'o nobserveu enpro pagationd'uneondem écanique,ildoitpo sséder

unecertai neélasticité.

Remarque:Uneonde mécaniquen'estpasnéc essairementobservableàno treéchelle, lamatièrevibrea univeaumicroscopiqueetestle

siègedelap ropagat iond eperturbationsmécaniques.Cesperturbationsp euventtra nsmettreunepartdel'énergieàl'airquiasontou r

vatran smettrecetteperturbationjusqu'àno treoreille.

Lavitesse dusondansl'airestd'en viron340m/salors quedansl'eau estdel'ordre de1500m/s. Elleest encoreplusélevéedansles

solides.

KPropagationd'une ondeacoustique

Remarque:Lemilieude propagatio nd'uneonde peutêtrematériel(ondesmécaniques,ondesacoustiques...) ouimmat ériel(c hamps

électromagnétiques...).

Uneond eestditetransversa lequa ndledéplacement despointsdumilieuest bOndetransv ersale

KOndetrans versaledansunslinky

Exemple:unevague

Uneonde estditelongitudin alequ andledéplac ementdespointsdumilieuest parallèleàlapropagationdel' onde. bOndelongit udinale

KOndelongi tudinaledansunslinky

Exemple: leson

Figure1-Ondestransversalese tlongitudinalesdans

unslink y. Uneondees tditeprogres sivelors quelaperturb ationnesedéformepaslorsdesapropa gation. bOndeprogre ssive x t2>t1t1 Figure2-Exempledepropagationd' uneon deprogressive

Nousmontrero nsplustardqu'uneondequelconque (resp.unsigna lquelconque)peutsed écomposercommeune superposition

d'ondessinus oïdales(resp.designauxsinusoïdaux).Ladécom position d'unsignalq uelconqueenlasomm edessignauxsinusoïdaux

leco mposantestappelédécompositionspect ra le:l'ensembledessignau xsinusoïdauxcomposantunsignalqu elconqueestappeléle

spectre. bDécompositionspectrale 15 PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

IIDiffractiond'uneonde

2.1Observations

KDiffractiond'uneon demécaniqueetlumin euse

a Figure3-Deuxrégimesde diffraction,àgaucheaetàdroi tea⇠. Onconsidère uneondeincident eplant e,deuxrégimes apparaissent Sila taillecaractéri stiquedel'ouverture(oudel 'obs- tacle)estgrandede vantlalongueurd' ondealors l'onderesteraplane audelàdel'obstacle, maisles borddel'ob stacl esemblentnetransmettrel'ondeq ue danscertain esdirectionavecunfrontd'ond ecourbé. Sila taillecaractéri stiquedel'ouverture(oude l'obs- tacle)estdumê meordredegrandeurq uela longueur d'ondealorsl 'ondetransmis esembleomnidirecti on- nelle.

Phénomèneapparaissant enprésenced'unobstac ledansle milieudepropagat iond'uneonde. Soituneondeplanedelongueurd'onde

rencontrantunobstacledel argeurcaractéristi quea.Le faiscea uémergentaprèsl'obst acleestconcentrédansune ouvertureangula ire

ded emi-largeur✓telleque sin✓⇠ a bDiffractionparunob stacle

TD03-App3

2.2Conséquencessurunfaisceaulas er

Unfaisc eaulaserestdi

ff

ractéàlasortie dul aserpa runeouverturededi amètre detn'estdonc pasrigoureusement parallèle.

Quelestledia mètredufai sceau à5.0mduboi tier?Onprendra=632.8nmetd=0.50mm. Oncher cheparfoisàfocaliserle faisceaulaser,i.e.r en dretrèspetiteladimensio n transversaledufaisceaudel'ordredelal ongueu rd'onde.Lefaisceauest alors di ff ractéaprèslepoi ntdefocalisatio n.

Établirlarelationen trea,f

0 ,etd. 16 PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

IIIOndesprogr essives

3.1Directiondepropa gatio n

Uneondep eutsepropag erdansuneo up lusieursdirectionssuivantlescond itionsdel'expérience.

Propagationtridimen sionnelle:uneondesonoreémisedansl'airsepropagedanstoutes lesdirect ionsdel'espac e.

Propagationbidimensionnelle:unepierre lâchée dansl'eauv aproduire uneondec irculairesepropageantdans unplan( espace

bidimensionnel).

Propagationunidimensionnelle:uneonde sepropage lelongd'une cordedans uneuniquedimension. Onselimite àcecas dans

lasuit e. Lasurf aceperpendiculaireàlapropagationd'une ondeestappeléelepland'onde. bPland'on de Dansle casd'uneondeacousti que3D, lepland'onde est sphérique. Danslecasd' uneond edesurface 2D,lepland'ond eestuncylind re.

Danslecasd'u neonde 1Dlelong d'unecordelepla nd'ondeestu nesurfa ceplan e.Danscecas onparled'ondeplane.

3.2Céléritéou vitessedep ropagation

t1 x t2>t1 x t3>t2 x

M1(x1)

t

M2(x2),x2>x1

t

M3(x3),x3>x2

t Figure4-Deuxreprésenta tionspossiblesdelapropagationd'uneonde Deuxrep résentationsdelapropagationd'uneondeson tpossibl es:

Lareprésent ationdegaucheconsisteenprendredesphotographie del'ondeà différentsinstantsafin depouvoirobserversapropagation

dansl'espace .Laperturbationsepropagesa nssedé former.

Lareprésent ationdedroiteconsisteenobserverlespropriét ésphysiques enplusieurspoint ssituéàdesendroit sdifférentsdumilieude

propagation.Laperturbation attei ntd'abordlepoi ntM1(decoordonné esx1)situéplusprochedelasourcedelaperturbationpuis

lepo intM2etenfin M3.

SoitM1etM2deuxpoi ntsdel'espaceatteintparun eondeprogres siverespectivement auxinstantst1ett2.Lacéléritéd'uneonde

progressives'écrit c= M1M2 t2t1 x2x1 t2t1

Lacélérité esthomogèneàunevitesse maisonréserv eralemot vitesse àundéplacem entdematièreet céléritéà lavitesse de

propagationd'uneonde. bCéléritéd'uneondeprog ressive

Lacélérité d'uneondenedépend pasdel'amplitudedel' onde tan tqu'ellereste"raisonnable".Dans cecas lacélérité estunecaracté-

ristiquedumilieuqui estdit linéaire.

Oncons idéreradesmilieuxdanslesquelslac éléritéd' uneondeestindépendan tedelaformed ecelle-ci,onditquelemil ieuest

non-dispersif.

Lacélérité d'uneondedépenddel anature decelle-ci,dans unmêmemilieuuneonde longitudinaleou transversalen'apasmême

célérité.

D'aprèsnoshyp othèses, lacéléritéd'uneondeestdoncuniquementdép endantdescaractéri stiquedumili eudepropagationet éven-

tuellementdelanaturedel'onde. 17 PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

3.3Modélisation

Dansle casd'uneondeq uise propage,laperturbationdumi li eudépendet delaposi tionet dutemps.

Uneonde1D sepropageant s'écr itcomm eunefonctiondépendantedelaposi tionxetdut empst:s(M,t)=s(x,t).

bDépendanced'uneonde

Uneondene sepropagepas insta ntaném ent,elleaunecélérité finieetilfa utdoncuncertaintempspourqu'uneperturbationa tteigne

unpoi ntdonnédel'espace.Considérons s(M,0)=s(x,0)laform edelaperturb ationi nitia lement,cettefonctionseretrouveidenti que

L'ondesepropagean tà lacéléritéc,aprèsuntempstonretrouv elaperturbationtrans latéed'unedi stancect.

L'expressionmat hématiqued'uneondeprogressive1Dsepropageantlelong del'axe Oxdansl esensdesxcroissantetàla célérité

cpeuts'écri re s(M,t)=s(x,t)=f(xct)ouen cores(x,t)=f t x c bExpressiongénéraled' uneondeprogressive

L'expressionmat hématiqued'uneondeprogressive1Dsepropagean tlelong del'axeOxdansle sensdesxdécroissantetà lacélérité

cpeuts'écri re s(M,t)=s(x,t)=f(x+ct)ouen cores(x,t)=f t+ x c bExpressiongénéraled 'uneondeprogressive(bis)

IVOndeplane progressi veharmonique(OPPH)

4.1Modèled'OPPH

Danscettepa rtienousallonsé tudierlecaspartic ulierdesonde sprogressivesharm oniques(oumonochroma tiques ),i.e.de forme

sinusoïdale.Cesondesrevêtentuncarac tèrep articuliercaronpeu tmontrerquen'import equelleond eprogressivepeutsedécomposer

commeunesomme d'ondesprogres sivesharmoniques(ousin usoïdales).

L'expressionm athématiqued'uneondeprogressive1Dsepropageantle longdel'axe Oxdansle sensdesxcroissantetàla célérité

cpeuts'écr ire s(M,t)=s(x,t)=f(x+ct)=Smcos t x c =Smcos(!tkx+); lapu lsation(oupulsationtemporelle) !=2⇡f=

2⇡

T avecflafréqu encedel'ondeetTsapério de; lapu lsationspatiale(ounombre d'onde)k= c

2⇡f

c

2⇡

aveclalo ngueurd'ondedel'onde; l'amplitudemaximaledel'ondeSm; laph aseàl'origine. bOndeplanep rogressiveharm onique s Sm t T=

2⇡

Figure5-Évolutiontemporelled'unpoin tdonnédumilieu squotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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