Méthodes numériques
Les schémas d'Euler explicite et implicite sont d'ordre 1 en temps et 2 en espace. Département de Mathématiques Appliquées. Transport et diffusion
Schémas numérique dordre élevé en temps et en espace pour l
Bahman 9 1393 AP Schémas numérique d'ordre élevé en temps et en espace pour l'équation des ondes du premier ordre. Application à la Reverse Time Migration.
Schémas numériques dordre élevé en temps et en espace pour l
Farvardin 31 1391 AP SCHÉMAS NUMÉRIQUES D'ORDRE ÉLEVÉ EN. ESPACE ET EN TEMPS POUR L'ÉQUATION DES. ONDES soutenue le 13 Décembre 2011. Après avis de :.
Méthodes numériques: probl`emes dépendant du temps
2.5.1 Construction de methodes d'ordre 2 (explicites) . . . . 17 4.3 Consistance des schémas numériques convergence forte et faible 29.
4.2 Simulations numériques des EDO : schémas explicites
4.2 Simulations numériques des EDO : schémas explicites. Nous ne considérons dans cette partie que le problème de Cauchy d'ordre 1 (4.15) ci-dessous.
Méthodes et Analyse Numériques
Dey 28 1389 AP I MODELISATION
RESOLUTION NUMERIQUE DISCRETISATION DES EDP ET EDO
I MODELISATION DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE Le schéma aux di érences nies d'ordre 1 présenté au-dessus s'écrit
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
On s'intéresse aux équations différentielles du premier ordre de la forme y (t) = F(t y(t)) La solution exacte et le schéma numérique vérifient :.
1 Schéma R-K dordre 3
1 Consistance de schéma. On consid`ere une EDS. dXt = a(t Xt)dt + b(Xt)dWt. (1) et un schéma numérique (Yn)n qui propose un approximation Yn de X?n ( ?n
Chapitre 3 : Méthode des différences finies (1D)
Ce genre de test de validation permet d'évaluer comment l'erreur décroit avec un nombre de points augmentant et de retrouver l'ordre du schéma numérique.
Transport et diffusion
G. ALLAIRE
Cours no. 5 - le 11/I/2016
M´ethodes num´eriques
☞Diff´erences finies en 1-d: rappels ☞Equation de diffusion stationnaire ☞Equation de transport ☞Equation de transport stationnaire D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 2 (1) Rappels: diff´erences finies xt (t , x ) njΔxjnΔt
Maillage:
discr´etisation de l"espace et du temps (tn,xj) = (nΔt,jΔx) pourn≥0,j?ZΔt=
pas de temps,Δx=
pas d"espace (suppos´es "petits"). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 3Exemple de l"´equation de diffusion en 1-d
?∂u∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1) avecν >0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 4Principe des diff´erences finies
On calcule des
approximations unj≈u(tn,xj) On remplace les d´eriv´ees par desdiff´erences finies ∂u∂x(tn,xj)≈unj+1-unj-12Δxou bien≈unj+1-unj
Δxou bien≈unj-unj-1
Δx Principe de discr´etisation:on remplace un probl`eme de dimension infinie (calculer la fonctionu(t,x)) par un probl`eme de dimension finie (calculer les valeurs discr`etesunj), qui seul peut ˆetre r´esolu par un ordinateur. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 5 Diff´erences divis´ees et formules de TaylorIl n"y a pas
unicit´e des formules d"approximation par diff´erences finies.On utilise des
formules de Taylor . Par exemple -u(t,x-Δx) + 2u(t,x)-u(t,x+ Δx) =-(Δx)2∂2u ∂x2(t,x) (Δx)412∂
4u ∂x4(t,x) +O? (Δx)6? On en d´eduit la formule (centr´ee en espace) ∂2u ∂x2(tn,xj)≈-unj-1+ 2unj-unj+1 (Δx)2 `a un terme d"ordre (Δx)2pr`es. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 6Approximation de la d´eriv´ee en temps
➩Sch´ema d"Euler explicite(progressif en temps, ou "forward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈un+1 j-unj Δt ➩Sch´ema d"Euler implicite(r´etrograde en temps, ou "backward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈unj-un-1 j Δt D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 7 Sch´emas pour l"´equation de diffusion en 1-d ➩sch´ema d"Euler explicite: le plus simple un+1 j-unjΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 (explicite?formule imm´ediate pour trouverun+1en fonction deun) ➩sch´ema d"Euler implicite: le plus stable unj-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 (implicite?syst`eme lin´eaire pour trouverunen fonction deun-1) Initialisation:u0j=u0(xj) o`uu0(x) est la condition initiale. Conditions aux limites:un0=unN+1= 0 pour toutn≥1. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 8Consistance et pr´ecision
D´efinition.Un sch´ema de formuleF(unj) = 0 est dit consistant avec l"´equation qu"il discr´etise si l"erreur de troncature v´erifie limΔt,Δx→0F?
u(tn,xj)? = 0si et seulement siu(t,x) est solution de l"´equation. On dit que le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentsi l"erreur de troncature estO? (Δx)p+ (Δt)q? Exercice.Les sch´emas d"Euler explicite et implicite sont d"ordre 1 en temps et 2 en espace. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion9Stabilit´e
On consid`ere une des deux normes discr`etes
?un?2=(( N? j=1Δx|unj|2))1/2D´efinition.Un sch´ema est dit
stable pour une de ces normes s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δtet Δxtelle que quelle que soit la donn´ee initialeu0. Si cette in´egalit´e a lieu sous une condition entre Δtet Δx, on dit que le sch´ema est conditionnellement stable D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 10Condition de stabilit´eL∞
Lemme.Le sch´ema explicite est stable en normeL∞si et seulement si la condition CFL suivante est satisfaiteD´emonstration
(principe du maximum discret): le sch´ema explicite est ´equivalent `a u n+1 j=νΔt (Δx)2unj-1+?1-2νΔt
(Δx)2? u n j+νΔt (Δx)2unj+1 u n+1 jest une combinaison convexe si la condition CFL est satisfaite. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 11 Si la condition CFL n"est pas satisfaite, il y a instabilit´e. Exemple: u 0 j= (-1)j?unj= (-1)j?1-4νΔt
(Δx)2? n qui tend (en valeur absolue) vers∞car 2νΔt >(Δx)2?1-4νΔt (Δx)2<-1. Exercice.Le sch´ema d"Euler implicite est inconditionnellement stable en normeL∞. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 12Stabilit´eL2: deux m´ethodes
1. Condition n´ecessaire de Von Neumann dans le cas p´eriodique.
2. In´egalit´es d"´energie dans le cas g´en´eral.
Dans le cas de
conditions aux limites p´eriodiques on peut utiliser une m´ethoded"analyse de Fourier.Plutˆot que de d´ecrire en d´etails cette m´ethode, on rappelle une condition
n´ecessaire tr`es simple, dite deVon Neumann.
On consid`ere une solution discr`ete particuli`ere sous laforme d"un mode deFourier, pourk?Z,
u n j=A(k)nexp(2iπkxj) avecxj=jΔx. En injectant cette solution dans la d´efinition du sch´ema ontrouve une formule pour le coefficient d"amplificationA(k)?C D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 13 Condition n´ecessaire de stabilit´e de Von Neumann.Le sch´ema est stable seulement si le coefficient d"amplification v´erifie Remarque.Dans de nombreux cas on peut montrer que la condition n´ecessairede Von Neumann est aussi suffisante (mais pas toujours !). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 14 Lemme.La condition n´ecessaire de stabilit´e (en normeL2) de Von Neumann est satisfaite inconditionnellement par le sch´ema d"Euler implicite, et sous laD´emonstration.Sch´ema implicite
u n j-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 dont on d´eduit, pour la solution particuli`ereunj=A(k)nexp(2iπkxj), A(k)?1 +νΔt
(Δx)2(-exp(-2iπkΔx) + 2-exp(2iπkΔx))? = 1On v´erifie que
A(k) =1
1 +4νΔt
Pour le sch´ema explicite on trouve queA(k) = 1-4νΔt (Δx)2(sin(πkΔx))2. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 15M´ethode d"in´egalit´es d"´energie
Commen¸cons par une in´egalit´e d"´energie pour l"´equation de diffusion.Lemme.Soitu(t,x) une solution r´eguli`ere de
?∂u ∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1)Alors elle v´erifie l"in´egalit´e, dite
d"´energie , pour toutt >0, 1 0 1 0 |u0(x)|2dx. Remarque.Rien `a voir, parfois, avec l"´energie physique ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 16 D´emonstration.On multiplie l"´equation paruet on int`egre par parties 1 0 u∂u ∂tdx+ν? 1 0? ∂u ∂x? 2 dx-ν? u∂u ∂x(t,1)-u∂u ∂x(t,0)? = 0. Les termes de bord s"annulent `a cause des conditions aux limites et, en int´egrant en temps, on obtient 1 2? 1 0 |u(t,x)|2dx-1 2? 1 0 |u(0,x)|2dx+ν? t 0? 1 0? ∂u ∂x(s,x)? 2 dxds= 0 d"o`u l"on d´eduit le r´esultat en minorant par z´ero la derni`ere int´egrale. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 17 sch´ema implicite . Alors elle v´erifie l"in´egalit´e Donc, le sch´ema implicite est inconditionnellement stable en normeL2. D´emonstration.On multiplie par (ΔtΔx)unjla formule du sch´ema implicite u n j-un-1 jΔt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1
(Δx)2= 0 et on somme enj (´equivalent de l"int´egration en espace) pour obtenirΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔtΔxN
j=1u n j? (unj-unj+1)-(unj-1-unj)? = 0.On r´earrange la derni`ere somme
(´equivalent d"une int´egration par parties)ΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j)+νΔtΔxN
j=1u n j(unj-unj+1)-νΔtΔxN-1?
j=0u n j+1(unj-unj+1) = 0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 18 En utilisant la condition aux limites de Dirichlet, il vientΔxN?
j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔtΔxN
j=0(unj-unj+1)2= 0.On minore par 0 la derni`ere somme
ΔxN?
j=1u n jun-1 jRemarque.
On a copi´e, dans le cas discret, la d´emonstration du cas continu ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion19Convergence
Th´eor`eme de Lax.Un sch´ema lin´eaire, consistant et stable est convergent. De plus, si le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentalors la vitesse de convergence estO? (Δx)p+ (Δt)q?D´emonstration.Voir le polycopi´e.
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 20 (2) Equation de diffusion stationnaire Pour bien comprendre, on refait la mˆeme chose ! ?-ν∂2u ∂x2+σ(x)u=f(x) dans (0,1) u(x= 0) =u(x= 1) = 0 avecν >0, la sourcef(x)?L2(0,1) et l"absorptionσ(x)≥0. Lemme (estimation d"´energie).La solutionuv´erifie 1 0?ν|u?|2+σ|u|2?
dx=? 1 0 f udx, donc il existe une constanteC >0 telle que, pour toute sourcef, D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 21Sch´ema en stationnaire
-uj-1+ 2uj-uj+1 avec les conditions aux limites:u0=uN+1= 0. Il faut r´esoudre un syst`eme lin´eaire pour trouver la solution discr`ete.Lemme.La matrice du syst`eme est inversible.
D´efinition.Un sch´ema est dit
stable pour la norme?u?s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δxtelle que D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 22Stabilit´eL2et convergence en stationnaire
On utilise l"approche d"in´egalit´e d"´energie.NormeL2discr`ete: ?(uj)?2=???? N? j=1Δx|uj|2.Lemme 1.La solution discr`ete v´erifie
N? j=1(uj-uj-1)2Δx+N?
j=1Δxσj(uj)2=N? j=1Δxujfj. Lemme 2.In´egalit´e de Poincar´e discr`ete: pour tout vecteur (vj) avec v0=vN+1= 0
N? 2N j=1Δx?vj-vj-1Δx?
22ν?(fj)?2.
D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 23Preuves des Lemmes 1 et 2
On multiplie le sch´ema par Δxujet on "int`egre par parties" en discret (r´earrangement de la somme) N j=1Δxνuj-uj-1+ 2uj-uj+1 (Δx)2=νN? j=1u j(uj-uj-1)-(uj+1-uj) Δxquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] Ordre Dans lR
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