Ordre dans R-(In)équations PDF Ordre dans R-(In)équations.

- FICHE DE COURS CHAPITRE SUR LES EQUATIONS

C'est l'équation différentielle du 2nd ordre sans second membre associée à (E) . Equation caractéristique : r² + 2r = 0 ⇒ r(r + 2) = 0 donc r = 0 ou r = - 2.

Chapitre 4 Formules de Taylor

formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre n au voisinage de 0 nous dit que pour tout x ∈ R Soient f : I → R et g : J → R deux fonctions de classe Cn telles ...

Ordre dans R-(In)équations

Ordre dans R-(In)équations. 1 Ordre sur les nombres réels. Définition. Soient a b ∈ R. On dit que a est inférieur ou égal `a b (resp. a est supérieur ou.

Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre `a

Les solutions de l'équation différentielle y = αy α ∈ R

EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation

R i = e(t). • En chimie comme: (2) =kc et =k(a-x)(b-x) (cinétique de premier et deuxième ordre). • En dynamique de population : (3) =kP(K-P) (croissance d ...

1 Rappels sur les différences finies 2 Dérivées du premier ordre

R −→ R est définie par : f (x) := lim h→0 f(x + h) − f(x) h ... obtenir une approximation du second ordre. En utilisant les développement de ...

SECOND DEGRE (Partie 2)

= = = ×. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr b) Calculons le discriminant de l'équation 2x2 − 3x +. 9. 8. = 0 : a = 2 b =

FONCTIONS DE REFERENCE

• On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre. 3) Fonction valeur absolue. Définition : La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur R par ...

- FICHE DE COURS CHAPITRE SUR LES EQUATIONS

une fonction définie sur I et dérivable sur I sachant que l'inconnue est la fonction x(t). Equation différentielle du second ordre SANS second membre (E') : ax

Pierre Lux - ORDRE DANS IR

Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l'ordre contraire de leur inverse. Preuve : 1 a. > 1 b. ?. 1 a.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation

proportionnelle à y. • En physique comme : (1) L + R i = e(t). • En chimie

Ordre dans R-(In)équations

Ordre dans R-(In)équations. 1 Ordre sur les nombres réels. Définition. Soient a b ? R. On dit que a est inférieur ou égal `a b (resp. a est supérieur ou.

SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.

VARIATIONS DUNE FONCTION

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. VARIATIONS D'UNE FONCTION On dit qu'une fonction décroissante renverse l'ordre.

Équations linéaires du second ordre

Or ? (r)=0 parce que r est une racine double ainsi notre équation en z se réduit à : az = 0 dont la solution est z = K1x + K2 pour deux constantes arbitraires.

1 Léquation et son équation homogène

Chapitre IV Equations différentielles linéaires du second ordre à coe cients constants Soit I un intervalle de R (non vide et non réduit à un point).

Chapitre 4 Formules de Taylor

Alors P est de classe Cn+1 et P(n+1) = 0. La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre n au voisinage de 0 nous dit que pour tout x ? R.

Équations différentielles

13 avr. 2021 2 Équation différentielle linéaire de second ordre. 7. 2.1 Définition . ... fonctions F : x ?? ln(x + 1) + k où k ? R.

Cours de math´ematiques

Ordre dansR-(In)´equations

1 Ordre sur les nombres r´eels

D´efinition.Soienta,b?R. On dit queaest inf´erieur ou ´egal `ab(resp.aest sup´erieur ou ´egal `ab) et on notea?b(resp.a?b) sib-aest positif (resp.b-aest n´egatif).

Exemple.

8est inf´erieur `a89car :89-78=8×8-7×99×8=172?0

Propri´et´es.- Ajouter ou soustraire un mˆeme nombre aux deux membres d"une in´egalit´e

conserve l"ordre : Soienta,b,c?R. Sia?balorsa+c?b+c. - Multiplier ou diviser par un r´eel strictement positif lesdeux membres d"une in´egalit´e conserve l"ordre : Soienta,b,c?R;c >0. Sia?balorsac?bceta c?bc.

- Multiplier ou diviser par un r´eel strictement n´egatif les deux membres d"une in´egalit´e

change l"ordre : Soienta,b,c?R;c <0. Sia?balorsac?bceta c?bc. D´emonstration.On se ram`ene `a une ´etude de signe : (b+c)-(a+c) =b-a bc-ac=c(b-a) b c-ac=b-ac Application.R´esolution de l"in´equation :2x+ 3?5x-4

2x+ 3-3?5x-4-3

2x?5x-7

2x-5x?5x-7-5x

-3x?-7 -3x -3?-7-3 x?7 3 Propri´et´e.Soienta,b?0, alorsa?bsi et seulement sia2?b2. D´emonstration.- Supposons quea?balorsb2-a2= (b-a)(b+a) est positif et donc a 2?b2. - Supposons quea2?b2alors commeb2-a2= (b-a)(b+a),b-aest positif et donc a?b. 1/4 Cours de math´ematiquesOrdre dansR-(In)´equations

Application.Comparer3⎷

3et4 +⎷3.

On remarque que :

3)2= 27

(4 +⎷

3)2= 19 + 8⎷3?27

Donc3⎷

3?4 +⎷3.

Propri´et´e.Sia?1alorsa?a2?a3. Si0?a?1alorsa?a2?a3.

D´emonstration.On remarque que :a2-a=a(a-1)

- Sia?1 alorsa?0 eta-1?0 donca2-a?0 eta2?a. - Si 0?a?1 alorsa?0 eta-1?0 donca2-a?0 eta2?a.

On remarque que :a3-a2=a2(a-1)

- Sia?1 alorsa-1?0 donca3-a2?0 eta3?a2. - Si 0?a?1 alorsa-1?0 donca3-a2?0 eta3?a2. D´efinition.Soitx?R, on d´efinit lavaleur absoluedexpar : |x|=?xsix?0 -xsix?0

Remarque.La valeur absolue d"un nombre est parfois appel´eedistance `a z´ero, c"est un r´eel

positif.

Exemple.| -1,5|=|1,5|= 1,5

Interpr´etation graphique.SoitDune droite gradu´ee d"origineO, d"unit´e 1cm etMun point de la droiteDd"abscissex. AlorsOM=|x|. O M 0 1x D´efinition.Soientx,y?R. On d´efinit la distance dex`aypar : d(x,y) =|y-x|=|x-y| Interpr´etation graphique.SoitDune droite gradu´ee d"origineO, d"unit´e 1cm etA,Bdeux points de la droiteDd"abscissesxety. AlorsAB=|y-x|. OAB 0 1xy 2/4 Cours de math´ematiquesOrdre dansR-(In)´equations 2

´Equations-In´equations

2.1 Intervalles deR

On d´efinit les diff´erents intervalles deRde la fa¸con suivante : intervalles born´esintervalles non born´es ferm´ea?x?b x?[a;b]ferm´ea?x x?[a;+∞[ ouverta < x < b x?]a;b[a < xouvertx?]a;+∞[ mixtea < x?b x?]a;b]ferm´ex?b x?]- ∞;b] mixtea?x < b x?[a;b[x < bouvertx?]- ∞;b[ - Un intervalle vide se note∅. - Un intervalle r´eduit `a un pointase note{a}. D´efinition.L"intersectionde deux intervalles est l"ensemble des nombres appartenantau pre- mieretau deuxi`eme intervalle, elle se note[a;b]∩[c;d]. D´efinition.Lar´eunionde deux intervalles est l"ensemble des nombres appartenantau premier ouau deuxi`eme intervalle, elle se note[a;b]?[c;d]. 2.2 ´Equations et In´equations avec valeur absolue

Pour r´esoudre une ´equation ou in´equation avec valeur absolue, on l"interpr`ete en terme de

distance : Exemple 1.L"´equation|x-1|= 3a pour solutions les nombresxdont la distance `a1est3:

0 1-2 4

Les solutions sontx=-2etx= 4, l"ensemble des solutions se noteS={-2;4}. Exemple 2.L"in´equation|x-2|>5a pour solutions les nombresxdont la distance `a2est strictement sup´erieure `a5: 0 1 2 7-3 L"ensemble des solutions estS=]- ∞;-3[?]7; ; +∞[. 3/4 Cours de math´ematiquesOrdre dansR-(In)´equations 2.3

´Equations et In´equations produit

D´efinition.Soitfune fonction de la variablexd´efinie surD, on appelle tableau de signes de fsurDun tableau donnant le signe def(x)en fonction dexainsi que les valeurs dexpour lesquellesf(x) = 0.

Exemple.tableau de signes def(x) = (3x-1)(x-4):

x -∞134 +∞3x-1-0 +|+ x-4- | -0 + (3x-1)(x-4)+ 0-0 + Pour r´esoudre une in´equationA(x)?B(x) on ´etudie le signe deB(x)-A(x). Exemple.On d´esire r´esoudre l"in´equation : x-1 2-x?2

Cette in´equation est ´equivalente `a :

x-1

2-x-2?0

(x-1)-2(2-x) 2-x?0 3x-5 2-x?0 x -∞532 +∞3x-5-0 +|+

2-x+|+ 0-

3x-5

2-x-0 +|| -

On remarque que2est unevaleur interdite, l"ensemble des solutions de l"in´equation de d´epart estS=]- ∞;5

3]?]2 ; +∞[.

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