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2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique
?R´egime transitoire et r´egime forc´e continuE4? ???Ex-E4.1Circuit d"ordre 1 (1)ExprimeriR(t) etiL(t), puis tracer les
courbes repr´esentatives.On poseraτ=L
R. t R L0I i K iLRII 0 I 0R´ep :iL(t) =I?
1-exp?
-tτ?? etiR(t) =Iexp? -tτ? ???Ex-E4.2CircuitRLCparall`ele1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parien fonction de :
0=1 ⎷LCetQ0=RCω0.2)On poseλ=1
2Q0. D´etermineri(t) sachant quei(t= 0) =i0?= 0
etu(t= 0) = 0. On distinguera trois cas :a)λ= 1,b)λ >1 etc)λ <1. R´ep : 1)d2idt2+ω0Qdidt+ω20i= 0 avecω0=1⎷LCetQ=RCω0=RLω0;2.a)λ >1 :i(t) =i0
2.b)λ= 0 :i(t) =i0(1 +λω0t)e-λω0t;
2.c)λ <1 :i(t) =i0(cosωt+sinωt
τω)exp?
-tτ? ???Ex-E4.3Circuit d"ordre 1 (2) Dans le circuit repr´esent´e ci-contre on ferme l"interrup- teurK`a la datet= 0, le condensateur ´etant initialement d´echarg´e.1)´Etablir l"expression deq(t) o`uqest la charge du
condensateur, en d´eduirei1,i2etien fonction du temps.2)Calculer `a la datet1l"´energie stock´ee dans le conden-
sateur. E A B i2 C i1i qr R (I) (II)K3)´Ecrire sous la forme d"une somme d"int´egrales un bilan d"´energie entre les dates 0 ett1.
R´ep : 1)En posantτ=CRr
R+r:q(t) =ECRR+r?
1-exp?
-tτ?? ;i1(t) =Erexp? -tτ? i2(t) =E
R+r?1-exp?
-tτ?? ;i(t) =ER+r?1 +Rrexp?
-tτ?? ???Ex-E4.4Circuit d"ordre 1 (3) D´eterminer l"intensit´e du couranti(t) dans le condensateur, ainsi que la tensionu(t) `a ses bornes sachant que l"on ferme l"interrupteur `a la datet= 0 et que le condensateur n"est pas charg´e initialement.Repr´esenter graphiquementi(t) etu(t).
R´ep :i(t) =10E
4R+rexp?
-tτ? avecτ=C? R+r4? u(t) =5E 2?1-exp?
-tτ?? .RK rE r4E r3E r2E qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/9Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009
???Ex-E4.5R´egime transitoire ap´eriodique (*) `At= 0-, les condensateurs sont d´echarg´es. On ferme alors l"interrupteurK.1)´Etablir l"´equation diff´erentielle eni1.
2)D´eterminer les conditions initialesi1(0+) etdi1
dt(0+).3)Exprimeri1(t).
i1 C E A B i2i R KRC R´ep : 1)i1v´erifie l"´equation canonique d"ordre 2 avecω0=1RCetQ=13;2)i1(0+) =ERet di1 dt(0+) =-2ECR2;3)i1(t) =ER? ch? 5 2RCt?1⎷5.sh?
52RCt??
exp? -3t2RC? ???Ex-E4.6Bobine et condensateur r´eels en s´erie (1)1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee pari.
2)`A quelles conditions le r´egime transitoire est-il :
a) critique; b) ap´eriodique; c) pseudo-p´eriodique?LR RC e K1 2R´ep : 1)d2id+2ω
R2C+LR1?
0.2)ÜCf CoursE4:regarder le signe de Δ, discriminant de l"´equation caract´eritique, et donc la
valeur deQ(Q <12,Q=12,Q <12).
???Ex-E4.7Bobine et condensateur r´eels en s´erie (2) : r´egime transitoire pseudo-p´eriodique (*) Le montage ci-contre mod´elise une bobine r´eelle (L, R) en s´erie avec un condensateur r´eel (C, R) initialement d´echarg´e. On ferme l"interrupteurK`a la datet= 0On impose la relation suivante :τ=L
R=RC.Initialement :i(0-) = 0 etu(0-) = 0.
C R LR ui EK1)´Etablir l"´equation diff´erentielle r´egissantu(t), tension aux bornes du condensateur lorsque le
circuit est branch´e, `at= 0, sur un g´en´erateur de tensionE.2)D´etermineru(t) pourt≥0.
3)D´etermineri(t), intensit´e circulant dans la bobine.
4)Peut-on pr´evoir le r´egime permanent sans calcul? Si oui, d´eterminerU, tension aux bornes
du condensateur, etI, courant dans la bobine, en r´egime permanent.R´ep : 3)i(t) =E
2R? 1 +? -costτ+ sintτ? exp? -tτ?? ;4)Faire un sch´ema ´equivalent du montage lorsque le r´egime permanent continu est atteint :I=E2RetU=E2.
???Ex-E4.8Trois r´esistances et une bobine Le circuit ´etudi´e comporte trois r´esistancesR1,R2etR3, une bobine parfaite d"inductanceL, un g´en´erateur def.´e.m.Eet un interrupteurK.
1)Initialement, la bobine n"est parcourue par aucun cou-
rant.`A l"instantt= 0, on ferme l"interupteurK. L iE KR3R2R1
→´Etablir la loi d"´evolution dei(t) et d´eterminer le courantIen r´egime permanent dans la
bobine. On poseraτ=L(R2+R3)R1R2+R2R3+R3R1.
2)Le courant d"intensit´eIest ´etabli, on ouvre `at= 0 (r´einitialisation du temps!).
10http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique
→D´eterminer la nouvelle loi donnanti(t) et l"´energie dissip´ee par effetJouledans les r´esistances.
On poseraτ?=L
R1+R2.
R´ep : 1)i(t) =I0?
1-exp?
-t avecI0=ER2R1R2+R2R3+R3R1;2)i(t) =Iexp?
-t etEJ=12LI2. ???Ex-E4.9Transfert de charge entre deux condensateurs :Un condensateur de capacit´eCest charg´e sous uneddpE, puis, `at= 0, est reli´e, par fermeture
de l"interrupteurK, `a un circuit (R,C?) s´erie ( le condensateur de capacit´eC?est initialement
non charg´e).1)D´eterminer les variations du couranti(t) de d´echarge du condensateurC.
2)Calculer la variation d"´energie ΔEdu syst`eme constitu´e
par la r´esistanceRet les deux condensateursCetC?.3)D´emontrer que|ΔE|est aussi l"´energie dissip´ee par effet
JouleEJdans la r´esistanceR.
4)L"expression de|ΔE|´etant ind´ependante deR, que se
passe-t-il lorsqueRtend vers 0? Ci(t) u'(t) u(t)K RC'R´ep : 1)i(t) =ERexp?
-tτ? avec1τ=1R?1C+1C??
;2)ΔE=-12CC ?C+C?E2. ?R´egime sinuso¨ıdal E5? ???Ex-E4/5.1Circuit RLC S´erie1)Consid´erons le circuit dipolaire RLC s´erie du cours aliment´e par une tension sinuso¨ıdale
(e(t) =E0cos(ωt)).→´Etablir que l"´equation diff´erentielle qui r´egit la tension aux bornes de la
capacit´eCest : LC d2uC dt2+RCduCdt+uC=E0cos(ωt)→Donner l"expression intrins`eque de cette ´equation diff´erentielle en fonction deQ, facteur de
qualit´e et de la pulsation propreω0.→Donner l"expression intrins`eque de cette ´equation diff´erentielle en fonction deα, coefficient
d"amortissement et de la pulsation propreω0. 2)´Etablir queuC(t) =E0?
sin(ω0t)-2⎷ 3 3exp? -12ω0t? sin? 32ω0t??
lorsque le circuit v´erifie les quatre conditions suivantes :(1)le condensateur est initialement d´echarg´e;(2)l"intensit´e est nulle avant la fermeture de
l"interrupteur;(3)la pulsation du g´en´erateur estω=ω0et(4)le coefficient d"amortissement
vautα=1 2. ???Ex-E5.2Addition de deux signaux de mˆeme fr´equence Supposons deux signaux sinuso¨ıdauxS1(t) =S0cos(ωt) etS2(t) =S0sin(ωt). →En utilisant les repr´esentations complexes, calculer la sommeS(t) =S1(t) +S2(t). →Pr´eciser l"amplitude et la phase `a l"origine de ce signal. →Tracer les fonctionsS1(t),S2(t) etS(t); v´erifier le r´esultat pr´ec´edent. →Si ces deux signaux sont deux tensions telles queS1(t) soit la tension aux bornes d"uner´esistanceRetS2(t) la tension aux bornes d"un second dipˆole, en d´eduire la nature de ce second
dipˆole. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/11Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009
???Ex-E5.3R´eseau `a trois mailles On consid`ere le r´eseau `a trois mailles ind´ependantes, repr´esent´e ci-contre, aliment´e par la source de tension al- ternative def.´e.m.:e(t) =E⎷2cosωt.
La fr´equence du g´en´erateur est r´egl´ee de mani`ere `a avoir :Lω=1
Cω=R.
C 2R e LR2LM N D´eterminer toutes les caract´eristiques de l"intensit´edu courant dans la r´esistanceR.A. N. :E= 20V;R= 10 Ω.
R´ep :i(t) = 0,686cos(ωt-1,82)A, o`u 1,82rad= 104◦. ???Ex-E5.4Mod´elisation de Th´evenin On consid`ere le circuit suivant aliment´e entreAetBpar une source de tension alternative sinuso¨ıdale def.´e.m.: e(t) =E⎷2cosωt.
D´eterminer les caract´eristiques du g´en´erateur de tension (mod`ele deTh´evenin) ´equivalent entreFetDsachant queωest telle que :LCω2= 1 etRCω= 1C R e LF DRA BR´ep :
ETh=2-j5E?eTh(t) =E?2
5cos(ωt-0,464)A, o`u-0,464rad= arctan?
-12? =arg(2-j).Cettef.´e.m.est en s´erie avecZ
´eq=R´eq+1jC´eqω?soit une r´esistanceR´eq=3R5en s´erie avec une capacit´eC´eq=5C 4. ???Ex-E5.5Calculs d"imp´edancesD´eterminer
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