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TD Groupe C Geometrie | Cercle d'Euler et transformations du plan

Antoine Derimay

6 Mars 2021

L'idee est de resoudre les exercices sans les indications, mais ca ne sert a rien de rester bloque pendant une

demi-heure sans savoir vers ou partir non plus...

Exercices

Exercice

0

Echauement

SoitABCun triangle, montrer que le symetrique de son orthocentre par rapport a un c^ote du triangle est sur

son cercle circonscrit. Retenez bien ce resultat pour le reste de ce TD :) Pour ceux qui ont besoin d'une piq^ure de rappel sur le cercle d'Euler...

Exercice

1 On considere deux pointsB;C, ainsi qu'un pointOsur la mediatrice deBC. Soit le cercle de centreO

passant parBetC. Montrer qu'il existe un cercle tel que peu importe la position d'un pointAde ;le cercle

d'Euler deABCsoit tangent a ce cercle. Indication : quel est le milieu de OH, avecHl'orthocentre deABC?

Exercice

2

SoitABCun triangle,Ole centre de son cercle circonscrit etDle pied de la hauteur issue deAdeABC. Soit

Sl'intersection du cercle circonscrit aAODet du cercle d'Euler (qui n'est pasD), montrer queSB=SC. Indication : Quelle homothetie envoie le cercle circonscrit deABCsur son cercle d'Euler ? Autre indication : Considerer la symetrie d'axeMBMCouMBest le milieu du segmentAC.

Exercice

3 (EGMO 2012)

SoitABCun triangle,Hson orthocentre etKun point sur l'arcBCne contenant pasAde (ABC). On note Lle symetrique deKpar rapport aAB, etMcelui par rapport aBC. (LBM) et (ABC) se rencontrent une deuxieme fois enE. Montrer que les droitesBC;EM;HKsont concourantes.

Indication : Considerer les symetriques deHpar rapport aABetBC, et essayer de montrer les alignements

qui ont l'air d'^etre vrais.

Exercice

4 SoitABCun triangle,Hson orthocentre etOle centre de son cercle circonscrit. SoitMle milieu deBC, et Nle milieu deAH:La droite perpendiculaire aAMpassant parNcoupeAMenK, etAOenL.

1) Montrer queKest sur le cercle d'Euler deABC.

2)(a priori, pas de rapport avec la 1)) Montrer queB;C;K;Lsont cocycliques.

Indication : ConsidererTle point d'intersection deKLetBC, et montrer queTBTC=TA2=TKTL

Exercice

5 (Relation d'Euler)

SoitABCun triangle, on noteIle centre du cercle inscrit etOcelui du cercle circonscrit. On note egalement

Xl'intersection deBIavec (ABC) etX0le point diametralement oppose aX. Enn,le cercle inscrit deABC est tangent aBCenD. 1

1) Montrer queBDIetX0CXsont semblables.

2) Montrer queXICest isocele enX.

3) En deduire qued2R2=2Rr;oud=OI; Rest le rayon du cercle circonscrit etrest le rayon du cercle

inscrit.C'est la relation d'Euler.

4) En deduire que le cercle d'Euler deABCest plus grand que son cercle inscrit.

En fait, le cercle inscrit est m^eme tangent interieurement au cercle d'Euler : c'est le theoreme de Feuerbach.

Exercice

6 SoitABCun triangle non isocele enA,Dle milieu deBCetEle pied de la hauteur issue deA. La mediatrice deDEet la perpendiculaire a la bissectrice interieure de\BACpassant parDse coupent enP.

Montrer quePest sur le cercle d'Euler deABC:

Indication : Montrer queXPDest isocele, ouXest le centre du cercle d'Euler, en calculant\XPD, et\PXD en considerant l'homothetie de centreHet de rapport2.

Correction

Solution de l'exercice

0 ConsideronsH0l'intersection deAHavec (ABC) qui n'est pasA, il sut de montrer queBCest la mediatrice

deHH0. On a\H0BC=\H0AC= 90\ACB, et\HBC= 90\ACB, et on a ni.

Solution de l'exercice

1 Si on pose

1le symetrique de par rapport aBC;l'exercice 0 nous donne queHreste sur 1quandAvarie.

Par ailleurs, siO1designe le centre de 1, le milieu deOO1estMle milieu deBC. Ensuite, si 2designe l'image de

1par l'homothetie de centreOet de rapport12

, commeEle centre du cercle d'Euler est le milieu deOH,Ereste sur 2lorsqueAvarie. Enn, commeMest le centre de 2;si 3designe l'image de 2par l'homothetie de centreMet de rapport 2,M0le point diametralement oppose aMsur le cercle d'Euler est egalement sur

3;et commeM;E;M0sont alignes,M0est bien un point de tangence.2

Solution de l'exercice2

On veut montrer queSest sur la mediatrice deBC, donc queOSest la mediatrice deBC:Pour cela, il sut de montrer queOSest perpendiculaire aBC, ou encore aMBMC, ouMBest le milieu deAC. On va en fait montrer queMBMCest la mediatrice deOS. Consideronshl'homothetie habituelle, de centre le centre de gravite et de rapport12 . Elle envoieHsurO, et BCsurMBMC:De plus, siH0est le symetrique deHpar rapport aBC; H02(ABC);doncT=h(H0) est sur le cercle d'Euler deABCet est le symetrique deO=h(H) par rapport aMBMC=h(BC). Par ailleurs, M

BMCest la mediatrice deADcar elle passe par son milieu (Thales) et lui est perpendiculaire. Ainsi, le

centre de (ADO) est surMBMC: (ADO) est laisse invariant par la symetrie d'axeMBMC. CommeTest le symetrique deOpar rapport aMBMCet queO2(ADO); T2(ADO) :T=Set on a ni.Solution de l'exercice3 Notons comme le suggere l'indicationHAle symetrique deHpar rapport aBC;etHCle symetrique deH par rapport aAB. Ils sont sur (ABC) par l'exercice 0. Remarquons queMHAest le symetrique deKHpar rapport aBC;donc leur intersection sera surBC, il sut donc de montrer queM;E;HAsont alignes. Posons doncFla deuxieme intersection deMHAavec (ABC);et on va montrer queE=F:

Tout d'abord,

\LHCB=\BHK=\BHAM=\BHAF= 180\BHCF;doncL;HC;Fsont alignes.

Ensuite, on a

\LFM=\HCFHA= 180\HCBHA= 180(\HCBH+\HBHA) = 1802\ABC:Aussi, on a \LBM=\LBK\KBM= 2(\ABK\KBC) = 2\ABC. AinsiBLFMest cyclique,E=Fet on a ni.3

Solution de l'exercice4

1) Le cercle circonscrit aNKMest le cercle de diametreNM;mais on sait que celui-ci est le cercle d'Euler !

2) Notons doncT=KL\BC;et montrons queTAest tangente aABC.

On aMA?NTetAN?MT;doncNest l'orthocentre deMAT;etMN?AT:De plus, l'homothetie de centre le centre de gravite et de rapport12 envoieHAsurOM;donc 2OM=HA;puisOM=NA. CommeOM==NA; on en deduit queAOMNest un parallelogramme, en particulier,AO==NM;et doncAO?AT; ATest tangente a (ABC).

Par puissance d'un point,AT2=TBTC:

De plus, les trianglesLATetAKTsont semblables, doncAT2=AKAL: Enn, on en deduit queTCLetTKBsont semblables (un angle en commun et une egalite de rapports de longueurs), donc [TCL=\TKB;puis[LCB=\LKB;etC;K;L;Bsont cocycliques, comme voulu.Solution de l'exercice5 Pour la 4), le cercle d'Euler est l'image du cercle circonscrit par une homothetie de rapport 12 , donc son rayon est R2

Solution de l'exercice

6 NotonsXle centre du cercle d'Euler etIle centre du cercle inscrit, on a\XPD= 90[IAH= 90([BAI

HAB) = 180\BAC2

\ABC= 9012 (\ACB\ABC) carAH==XP. Aussi, sihdenote l'homothetie de centreHet de rapport12 , on a vu queh(X) =O;h(D) =A0le point diametralement oppose aAsurABC, eth(E) =Fle symetrique deHpar rapport aBC. Alors par angle au centre, on a \EXD=\FOA0= 2\FAA0= 2\HAO= 2(\HAC[OAC) = 2(\ACB\ABC).

CommeXPest la mediatrice deDE;on a\PXD=12

\EXD=\ACB\ABC, etXPDest donc bien isocele, et on a ni.4quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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