[PDF] Chapitre 2 Oscillateurs La figure 2.1 montre

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Olivier GRANIER

(O.Granier) Oscillateurs mécaniques(mécanique du point matériel)

A - Etude en régime libre

Olivier GRANIER

1 - Un 1

er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En l"absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à : Tr xur l xO x M(m) 0 20 =+=+xxxmkx kmT

πωπ22

00== La solution de cette équation différentielle est de la forme : )cos(sincos 000 tCtBtAx

Simulation Java

Olivier GRANIER

Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} : * En présence de frottement fluide en Le PFD s"écrit alors, en projection sur l"axe (Ox) : vhmr

0=++--=xmkxhxsoitxhmkxxm

On pose :

Qhmk000

22;
σσσσest le facteur d"amortissement de l"oscillateur et Q le facteur de qualité.

Alors :

022

20020020

=++=++=++xxQxxxxxxx

Différents régimes, selon les valeurs prises par σσσσ(ou Q = 1/2σσσσ) : régime

pseudo-périodique, régime apériodique ou régime apériodique.

Simulation Cabri

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2 - Méthode de résolution de l"équation différentielle :

022
2 002 002 0 =++=++=++xxQxxxxxxx On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique : 02 2

002=++

rr

Dont le discriminant est :

)1(4 22

0-=Δ

),(:10),(:10),(:1002121ωσσ

Olivier GRANIER

02 000 0 tan;1)cos()()sin()cos()( 00 xCtCetxttextx tt

Régime pseudo-périodique :

)()1(20 pulsationPseudoavec )1( (CI : x(0)=x

0et vitesse initiale nulle)

Simulation Regressi

Simulation Maple

Olivier GRANIER

Régime apériodique :

)1( (CI : x(0)=x

0et vitesse initiale nulle)

Simulation Regressi

1;1 2 0022

001---=-+-=

rr tttt eeextxtshtchextxωωσωσω 0000 02 0

112)()()()(1

00

Simulation Maple

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Régime apériodique critique :

)1( (CI : x(0)=x

0et vitesse initiale nulle) Simulation Regressi

t etxtx 0 )1()( 00

Simulation Maple

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3 - Autres exemples d"oscillateurs :

Le ressort vertical

0l k

éqlx

éq+

=ll O x x

A videA l"équilibreEn mouvement

éqTr

Tr gmr gmr xur xéqxéqéquxkTukTr ll r r ll r )(;)(00

Olivier GRANIER

En l"absence de frottements :

En présence de frottements fluides :

kmgumgukTgm

éqxxéqéq

+==+--=+00 ;0)(;0 llrrrllrrr xxxéquxmumguxkamTgmr&& r r ll r r r 0

A l"équilibre :

En mouvement :

En tenant compte de la relation obtenue à l"équilibre : )(0 02 0 mkAvecxxxmkx==+=+

Par un raisonnement similaire, on obtient :

xxxxéquxmuxhmumguxkamvhmTgmr&& r& r r ll r r r r 0 )2(02 002 00 hetmkAvecxxxxmkxhx===++=++

Olivier GRANIER

Ressort sur un plan incliné :

Tr xurgmr Nr fr vr A x x k mgoùdumguk

éqxxéq

sin:'0sin)(

00+==+--

ll r r r ll

Oéql

En présence d"une force de

frottement fluide de la forme , l"équation différentielle vérifiée par la variable x peut encore s"écrire sous la forme canonique : vhmr -02 2 002 00 =++=++=++xxQxxxxxmkxhx

Olivier GRANIER

Oscillateurs couplés :

Simulation Java

(oscillateurs couplés)Simulation MapleSimulation RegressiEnoncé du problème : (fichier au format pdf)

pdf

Olivier GRANIER

Le pendule simple :

Simulation Java

(pendule amorti)Simulation Java (pendule chaotique)

Simulation MapleSimulation Regressi

M (m) Tr lθ

θuv&l

r= O zzur rurθurgmr vhmr En présence d"une force de frottement fluide :

0sin2sin

200
l&&&gh )(sinθθθ&l&&lhmmgm--=

Soit :

Si l"angle θθθθreste " petit », alors on retrouve l"équation habituelle : 02 2 00 l&&&gh

PFD sur :

θur

vhmfr r

Olivier GRANIER

Cet espace est le produit de l"espace ordinaire par l"espace des vitesses. En d"autres termes, un point matériel M est repéré dans cet espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par celles de son vecteur vitesse, notées (v x,v y,v z). On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l"espace ordinaire, d"un mouvement à une dimension, le long de l"axe (Ox). Dans l"espace des phases, le point représentatif de l"état de M se déplace alors dans une région à deux dimensions.

Ce point, de

coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une courbe appelée " courbe des phases ". Cette "trajectoire" de M dans l"espace des phases a pour origine le point M 0(x 0,v

0) correspondant à

l"état initial de M.

4 - Notion d"espace des phases :

Olivier GRANIER

La position du point matériel est complètement déterminée par la donnée des conditions initiales et par la connaissance des équations du mouvement. Comme l"évolution de la particule est univoque, deux trajectoires dans l"espace des phases ne peuvent pas se croiser . Si cela était possible, en prenant ce point d"intersection comme conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques. Exemples de courbes des phases :*** initialement en mouvement, M n"est soumis à aucune force. *** initialement immobile, M est soumis à une force constante F. *** initialement en mouvement, M est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse : F = -hmv (a : constante positive).

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*** initialement immobile hors d"équilibre, M est soumis à une force de rappel proportionnelle à son élongation : F=-kxi (k : constante positive). La courbe des phases peut se retrouver en écrivant l"intégrale

1ère

du mouvement. Quelle est l"équation de la courbe des phases dans le plan (x,v/ωωωω 0) ? *** Déterminer, par la même loi de conservation, la courbe de phase pour un pendule simple (masse m et longueur L). Quelle est l"équation de la courbe des phases dans le plan (θθθθ, ) ?0

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5 - Portrait de phase d"un oscillateur :Lecture de portrait de phase (ex 5)

: on considère le portrait de phase d"un oscillateur harmonique amorti composé d"une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide ( étant la vitesse de la masse m et on note x l"écart à la position d"équilibre). L"étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire. a) Déterminer la nature du régime de l"oscillateur. b) Déterminer, par lecture graphique : * La valeur initiale de la position x 0. * La valeur finale de la position x f. * La pseudo période T a. * Le décrément logarithmiqueδδδδ. c) En déduire la pulsation propre ωωωω

0, le facteur de

qualité Q de l"oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ.λ.λ.λ. (cm) vvr r,

Olivier GRANIER

(cm)

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a)

Régime pseudo-périodique :

présence de frottements, la courbe de phase n"est pas fermée. Elle se termine en un point d"équilibre stable (ici le point O), appelé attracteur. b) x

0= 3 cm ; x

f= 0 cm (attracteur) ; T a= 315 ms ; c) Q = 5 ; )()()(;628,010.6,110.3lnln 0 22
10 txetxeTtxxx aT a =1,021;.05,20 10 Qsrad sNmQmmNmk.2;.20110120--

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Portrait de phase d"un pendule simple :

Fichier Maple

(Pendule simple)Simulation Java (pendule chaotique)

Olivier GRANIER

Trampoline (ex n°2) :On considère la modélisation d"un trampoline à l"aide de deux ressorts de longueur à vide l

0

et de raideur k. Un homme, assimilé à un point matériel M de masse m monte sur le trampoline

qui s"enfonce ; son mouvement est vertical le long de l"axe (Ox).

Données :

mdkgmmmNk5;80;1;.3003 01 l Dans les deux premières questions, on suppose que l"homme reste en contact avec le trampoline : il est solidaire du trampoline. a) Déterminer la distance d"enfoncement x éq l"équilibre lorsque l"homme monte sur le trampoline. En déduire l"allongement des ressorts. b) L"oscillateur obtenu est-t-il harmonique ? OA B d A Bx M(m) xur yur

Olivier GRANIER

a) Bilan des forces à l"équilibre : xumgr

Le poids :

La tension du ressort de droite :

MBMBMBkT

d )(0lr-= 2 2

2;)2/()

((+=+-=dxMBuduxMB yxrr yxdu dxd u dxxdxkTrrlr 2 22
202
2 22
2 2 , d"où :

De même :

yxgu dxd u dxxdxkTrrlr 2 22
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