[PDF] PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

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PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

Ω est un ensemble fini non vide. On noteP(Ω) l"ensemble des parties de Ω. •Vocabulaire1. Ω est l"univers ou univers des possibles.

2. Toute partieAde Ω est appel´ee ´ev´enement.

3. Pour tout ´el´ementωde Ω,{ω}est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire.

4. L"´ev`enementA?Bse lit "AouB", l"´ev`enementA∩Bse lit "AetB".

5.∅est l"´ev´enement impossible, et Ω est l"´ev´enement certain.

6. PourAetBdeP(Ω), siA∩B=∅, ils sont dits ´ev´enements incompatibles.

7. PourA? P(Ω), son compl´ementaireAest l"´ev´enement contraire.

•Probabilit´eUne probabilit´ePest une applicationP:P(Ω)→[0,1] satisfaisant :P(Ω) = 1 (normalisation)

et siAetBsont deux ´ev´enements incompatibles,P(A?B) =P(A) +P(B) (additivit´e). →Le triplet (Ω,P(Ω),P) est ce qu"on appelle un espace probabilis´e. •Propri´et´es1.P(∅) = 0.

2.P(A) +P(A) = 1.

3.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

4. Si Ω ={ω1,...,ωn}est de cardinaln?N?, alors l"additivit´e donne :

- siPest une probabilit´e, elle est d´etermin´ee par la donn´ee des nombrespk:=P({ωk}).

- r´eciproquement, avecnnombres r´eels positifsp1,...,pnde somme 1, on d´efinit une prob- abilit´ePen posantP({ωk}) =pk.

•Equiprobabilit´eIl y a´equiprobabilit´e quand la probabilit´e est uniforme, c"est `a dire quandp1=p2=...=pn=1n

Dans ce cas on aP(A) =Card(A)Card(Ω)

="nombre de cas favorables""nombre de cas possibles".

•Ind´ependanceDeux ´ev´enementsAetBsont dits ind´ependants siP(A∩B) =P(A).P(B).

•Probabilit´e conditionnelleSoientAetBdeux ´ev´enements tel queP(A)?= 0. Alors la probabilit´e deBsachantAest

P(B|A) =P(A∩B)P(A).

→PAd´efinie parPA(B) =P(B|A) est une probabilit´e sur (Ω,P(Ω). →SiAetBsont deux ´ev´enements de probabilit´e non nulle, alors :

AetBind´ependants??P(B|A) =P(B)??P(A|B) =P(A)

•FormulesSoit (A1,...,Am) une partition de Ω telle que pour touti,P(Ai)?= 0 etB? P(Ω). →Formule des probabilit´es totales :P(B) =n? i=1P(B|Ai).P(Ai). →Formule de Bayes1: SiP(B)?= 0, alorsP(Aj|B) =P(B|Aj).P(Aj)? n i=1P(B|Ai).P(Ai).1 Il s"agit juste d"´ecrireP(A∩B) de deux mani`eres diff´erentes. 1

VARIABLE ALEATOIRE SUR UN ENSEMBLE FINI

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e fini, Card(Ω) =net Ω ={ω1,...,ωn}. •Variable al´eatoireUne variable al´eatoire sur Ω est une applicationX: Ω→R. →Pour toutE?R,X-1(E) est un ´ev´enement not´eX?E. →L"ensemble des v.a. forme une alg`ebre commutative surR.

•Fonction de r´epartitionSoitXune v.a., la fonction de r´epartition deXest l"applicationF:R→[0,1] d´efinie2pour

→C"est une fonction continue `a droite et croissante surR.

→Dans le cas pr´esent, c"est une fonction en escalier telle que pour toutx et pour toutx≥supX(Ω),F(x) = 1. •Loi de probabilit´eLa loi deXest l"applicationJ →[0,1] I?→P(X-1(I)) , o`uJest l"ensemble des intervalles deR. →Dans le cas pr´esent, il suffit juste de connaˆıtre lesP(X=xi).

→La loi de probabilit´e est une probabilit´e surX(Ω). (En fait c"est une probabilit´e surR.)

•Esp´erance math´ematique(moyenne) L"esp´erance d"une v.a.Xest le nombre r´eelE(X) =?

ω?ΩX(ω).P({ω}) =n?

i=1X(ωi).P({ωi}). →L"esp´erance math´ematique est une forme lin´eaire sur leR-espace vectoriel des v.a. →On a ´egalement la formule3suivanteE(X) =? x?X(Ω)x.P(X=x) =m? j=1x j.P(X=xj). →SiXest une v.a. constante, i.e.X(Ω) ={a}, alorsE(X) =a. •VarianceLa Variance d"une v.a.X, est le nombre r´eel positifV(X) =E? [X-E(X)]2? →La variance est une forme quadratique positive sur leR-espace vectoriel des v.a., de cˆone isotrope le sous-espace des v.a. constantes, et satisfaisant :?a?R,?b?R, V(aX+b) =a2V(X). →σ(X) :=?V(X) est l"´ecart-type deX. →On calcule souventV(X) par le Th´eor`eme de Koenig :V(X) =E(X2)-[E(X)]2. •MomentsSoitXune variable al´eatoire, etk?N?.

Le moment d"ordrekdeXestE(Xk).

Le moment centr´e d"ordrekdeXestE?

[X-E(X)]k? →L"esp´erance est le moment d"ordre 1 et la variance est le moment centr´e d"ordre 2.2 Il sagit de la d´efinition au programme, mais on rencontre aussi la d´efinitionF(x) =P(X < x).

3Double avantage : il y a moins de termes `a sommer, et il n"y a pas besoin d"expliciter Ω.

2

PROBABILITES DISCRETES

On veut d´efinir la notion de probabilit´e sur un univers discret Ω, ainsi que celle de variable

al´eatoire discr`ete, i.e.X(Ω) est discret. Les cas d"un univers fini et des v.a. ayant un nom-

bre fini de valeurs ayant ´et´e trait´es, cette page sera exclusivement consacr´ee au cas d´enombrable.

•Probabilit´e sur un univers d´enombrableSoit Ω ={ωn;n?N}un univers d´enombrable.

Tout marche de la mˆeme fa¸con que dans le cas fini en prenant (Ω,P(Ω),P) comme espace proba-

bilis´e. La probabilit´ePest d´efinie sur les ´ev´enements ´el´ementaires parP({ωn}) =pn, o`u la

suite (pn)n?Nest une suite quelconque satisfaisantpn≥0 et∞? n=0p n= 1. →La probabilit´e d"un ´ev´enementA? P(Ω) est le nombre4P(A) =? a?AP({a}).

•Remarques1- Pour garder la coh´erence de la th´eorie, il faut ajouter une nouvelle condition `a la d´efinition

d"une probabilit´e. C"est ce qu"on appelle laσ-additivit´e : si (An)n?Nsont des ´ev´enements deux `a deux incompatibles alorsP?? n?NA n? n=0P(An).

2- L"´equiprobabilit´e n"a plus aucun sens.

3- En revanche, tout ce qui concerne l"ind´ependance, la notion de probabilit´e conditionnelle,

ainsi que les formules des probabilit´es totales et de Bayes reste valable.

•Variable al´eatoire r´eelle discr`eteUne variable al´eatoire r´eelle discr`ete est une applicationX: Ω→Rtelle que :

1- Ω est un univers muni d"une probabilit´e.

2- L"ensemble imageX(Ω) est fini ou d´enombrable5.

3- Pour toutx?X(Ω),X-1({x}) est un ´ev´enement not´e (X=x).

•MomentsLe moment d"ordre k est, s"il y a convergence absolue,E(Xk) =? x?X(Ω)x kP(X=x). →Esp´erance(si la s´erie converge absolument) :E(X) =? x?X(Ω)xP(X=x). →Variance(si la s´erie converge) :V(X) =E(X2)-[E(X)]2=? x?X(Ω)? x-E(X)?

2P(X=x).

•Fonction g´en´eratriceOn appelle fonction g´en´eratrice d"une v.a.X`a valeurs dansNla s´erie enti`ere d´efinie au moins

pours?[-1,1] par ΦX(s) :=E(sX) =∞? n=0P(X=n)sn.

→Si cela a un sens, on a les moments en d´erivant:E(X) = Φ?X(1),E(X2) = Φ??X(1) + Φ?X(1).

→SiXetYsont `a valeurs dansNet ind´ependantes : ΦX+Y= ΦX.ΦY.4

La notationP(A) a un sens car il s"agit soit d"une somme finie soit d"une s´erie convergente `a termes positifs.

5Ce qui est le cas si Ω est fini ou d´enombrable.

3

PROBABILITES : LE CAS GENERAL

•Tribu ouσ-alg`ebreOn appelle tribuTsur Ω un sous ensemble deP(Ω) satisfaisant :

1. Ω et∅sont dansT.

2. SiA? T, alors son compl´ementaireA? T.

3. SiA? TetB? T, alorsA?B? T.

4. Si (An)n?Nest une collection d´enombrable d"´el´ements deT, alors?

n?NA n? T. →Les ´el´ements deTsont appel´es´ev´enements. →Le couple (Ω,T) est un espace probabilisable.

→Par compl´ementarit´e, toute intersection finie ou d´enombrable d"´el´ements deTest dansT.

•Exemples :1.P(Ω) et{∅,Ω}sont respectivement la plus grande et la plus petite tribu sur Ω.

2. La tribu Bor´elienne deR: c"est la plus petite tribu deRcontenant l"ensemble,

not´eJ, des intervalles deR. On la noteraB.(H.P.) •Probabilit´eUne probabilit´ePest une applicationP:T →[0,1] satisfaisant

1.P(Ω) = 1 (normalisation).

2. Soit (An)n?Ndes ´ev´enements 2 `a 2 disjoints :P??

n?NA n? n=0P(An) (σ-additivit´e). →Le triplet (Ω,T,P) est un espace probabilis´e. •Propri´et´es: 1.P(∅) = 0.

2.P(A) +P(A) = 1.

3. SiAetBsont incompatibles alorsP(A?B) =P(A) +P(B). (additivit´e)

4.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B). (formule du crible)

5. Soitn´ev´enementsA1,A2, ...An, la g´en´eralisation de la formule du crible -

dite ´egalement de Poincar´e - est

P(A1?A2?...?An) =n-1?

k=1(-1)k+1? {i1,...,ik} ?[1,n]

Card({i1,...,ik}) =kP(Ai1∩...∩Aik)

6.P?? n?NA n? n=0P(An). (In´egalit´e de Boole)

7. Si (An)n?Nest une suite croissante d"´ev´enementsP??

n?NA n? = limn→∞P(An). •Remarques1. Si Ω est discret, on peut prendreT=P(Ω) comme tribu.

2. Si Ω n"est pas discret, on ne peut plus caract´eriser une probabilit´e quelconque par les

´ev´enements ´el´ementaires ; on ne prend plus la tribuP(Ω).

3. Rien ne change en ce qui concerne l"ind´ependance, les probabilit´es conditionnelles ainsi

que les formules des probabilit´es totales et de Bayes.

4. SiA? Ttel queA?= Ω etP(A) = 1 (resp.A?=∅etP(A) = 0), on dit queAest un

´ev´enement presque sˆur ou presque certain (resp.Aest un ´ev´enement presque impossible

ou n´egligeable). 4

VARIABLE ALEATOIRE REELLE A DENSITE

Soit (Ω,T,P) un espace probabilis´e.

•Variable al´eatoire r´eelle(v.a.r.) Une v.a.r. est une applicationX: Ω→Rtelle que pour tout intervalleIdeR,X-1(I)? T. →La loi deXest la probabilit´ePXsur (R,B) caract´eris´ee par :PX(I) =P(X?I) pour tout intervalleIdeR. →SiXetYsont deux v.a.r. sur (Ω,T,P), alorsX+YetX.Ysont des v.a.r.(Admis)

•Fonction de r´epartitionLa fonction de r´epartition d"une v.a.r.Xest l"applicationF:R→Rd´efinie pour toutxr´eel

→La fonction de r´epartition est une application croissante, continue `a droite et ayant une limite

`a gauche en tout point deR(c"est une fonction cadlag).

→La fonction de r´epartition de la v.a.r.Xcaract´erise compl`etement la loi deX. Exemples :

→La fonction de r´epartition de la v.a.r.Xv´erifie limx→-∞F(x) = 0 et limx→+∞F(x) = 1.

→x0est un point de discontinuit´e deFsi et seulement siP(X=x0)?= 0. →SiFest continue, on dit queXest une v.a.r. continue. •Densit´eUne applicationf:R→R+est appel´ee densit´e si :

1-fest positive 2-fest continue par morceaux surR3-?

f(t)dt= 1

•Variable al´eatoire `a densit´eUne v.a.r. est dite `a densit´e, s"il existe une application de densit´ef:R→R+telle que la

x f(t)dt. →la v.a.r.Xposs`ede une loi de densit´efsi et seulement siP(X?I) =? I f(t)dtpour tout intervalleI. →Xest une v.a.r. `a densit´e si et seulement siFestcontinueetC1par morceaux surR. Dans ce cas, la densit´efest alors d´etermin´ee parf(x) =F?(x) pour toutxo`uFest d´erivable.

•Moments des v.a.r. `a densit´eLe moment d"ordrekdeXest, s"il y a convergence absolue,E(Xk) =?

tkf(t)dt. →Esp´erance (si l"int´egrale converge absolument) :E(X) =? tf(t)dt. →Variance (si l"int´egrale converge) :V(X) =E(X2)-[E(X)]2=? t-E(X)?

2f(t)dt.

→Soitg:R→Rcontinue par morceaux. Si l"int´egrale converge absolument,g(X) est une v.a.r. admettant pour esp´erance

E(g(X)) =?

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