[PDF] section 8.3 - Les séries de Fourier

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section 8.3

Les séries de Fourier

Dans cette section, nous étudierons les notions suivantes

1Fonctions périodiques et orthogonalité.

2Les coefficients d"Euler-Fourier.

1.Fonctions périodiques et orthogonalité

Définition1 : Notion de périodicité

La fonctionfestpériodique de périodep>0, si pour toutxtel quef(x+p) est définie, alors f(x+p) =f(x). Lapériode fondamentaleest leplus petitp>0 pour lequel f(x+p) =f(x). Quelques propriétés des fonctions périodiques

1Sifest de périodep1etgde périodep2, alors, pour tousc1,c2?Rla

fonctionc1f(x) +c2g(x) est de périodep=ppcm(p1,p2): le plus petit commun multiple (positif) dep1etp2.

2Sifest périodique de périodepalorsf(x±np) =f(x), pour toutnombre

entiern.

3Les fonctionscos(mx)etsin(mx)sont de périodep=2πm.

4Commecos(x±π) =-cos(x)etsin(x±π) =-sin(x), alors les fonctions

sont de périodep=πm.

5Les fonctionscos(mx)cos(nx),cos(mx)sin(nx),sin(nx)cos(mx),sin(mx)cos(nx)et

sin(mx)sin(nx)sont de périodep= ppcm?2πm,2πn?, lorsquen?=m. OrthogonalitéLes séries de Fourier Prolongements pair et impair Définition2 : Produit scalaire de fonctions à valeurs réelles Leproduit scalairedes fonctions à valeurs réellesfetg, défini sur l"intervalle [a,b] est (f,g) =? b a f(x)g(x)dx. Définition3 : Fonctions orthogonales dans un intervalle [a,b] Les fonctionsfetgsontorthogonalesdans [a,b] si leur produit scalaire est nul: (f,g) =? b a f(x)g(x)dx= 0. Définition4 : Ensemble de fonctions orthogonales Un ensemble de fonctions à valeurs réelles{φ0(x),φ1(x),...,φn(x),...}est mutuellement orthogonalsi les fonctions de l"ensemble sont orthogonales deux à deux: (φm,φn) =? b a m(x)φn(x)dx= 0,m?=n. Z. CoulibalyGCH2535 - H202020 - Gr. 1 :Site moodle du cours16 janvier 2020 3 / 19 OrthogonalitéLes séries de Fourier Prolongements pair et impair

Formules de linéarisation trigonométriques

sin(a)sin(b) =cos(a-b)-cos(a+b)2,cos(a)cos(b) =cos(a-b) + cos(a+b)2 sin(a)cos(b) =sin(a-b) + sin(a+b) 2. Orthogonalité des fonctions{cos?mπxL?,sin?mπxL?} Les fonctions périodiques de période2Lm,cos?mπxL?,sin?mπxL?,m= 1,2,...ayant lapériode commune

2Lsontorthogonalessur [-L,L]. En effet?L

-Lcos?nπx L? cos?mπxL? dx=?L,sin=m,

0,sin?=m?

L -Lsin?nπx L? sin?mπxL? dx=?L,sin=m,

0,sin?=met

?L -Lsin?mπx L? cos?nπxL? dx= 0,pour toutmetn. Z. CoulibalyGCH2535 - H202020 - Gr. 1 :Site moodle du cours16 janvier 2020 4 / 19 OrthogonalitéLes séries de FourierProlongements pair et impair

2.Les coefficients d"Euler-Fourier

Définition5 : Les coefficients d"Euler-Fourier

Lescoefficients d"Euler-Fourierde la fonctionpériodiquede périodep= 2L,f sont a0=2p? c+p c f(x)dx=1L? L -Lf(x)dx,pourc?R a n=2 p? c+p c f(x)cos?2nπxp? dx=1L? L -Lf(x)cos?nπxL? dx,n= 1,2,..., bn=2p? c+p c f(x)sin?2nπxp? dx=1L? L -Lf(x)sin?nπxL? dx,n= 1,2,... .

Définition6 : La série de Fourier

Lasérie de Fourierd"une fonctionfest

SF(x) =a02+∞?

n=1? a ncos?nπxL? +bnsin?nπxL?? où lesanetbnsont les coefficients d"Euler-Fourier def Z. CoulibalyGCH2535 - H202020 - Gr. 1 :Site moodle du cours16 janvier 2020 5 / 19 section 8.4

Le théorème de convergence de Fourier

Dans cette section, nous énonçons le

1Théorème de convergence des séries de Fourier.

OrthogonalitéLes séries de FourierProlongements pair et impair

1.Théorème de convergence des séries de Fourier

Théorème1 :(# 8.4.1): convergence des séries de Fourier) Supposons quef(x) etf?(x) sontcontinues par morceauxdans l"intervalle [-L,L[. Sif(x) est définie à l"extérieur de l"intervalle [-L,L[ et sif(x)est périodique de période2L, alorsf(x) admet un développement en série de Fourier de la forme

SF(x) =a02+∞?

n=1? a ncos?nπxL? +bnsin?nπxL?? oùanetbnsont les coefficients d"Euler-Fourier def.

De plus lasérie de Fourier def, convergevers

1SF(x) =f(x)sifestcontinueenx;

2SF(x) =f(x+) +f(x-)2sifestdiscontinueenx, où

f(x+) = lim h→0,h>0f(x+h) etf(x-) = lim h→0,h<0f(x-h). a0

2+∞?

n=1a ncos?nπx0L? +bnsin?nπx0L? f(x0) sifest continue enx0; f(x+

0) +f(x-

0)2sifest discontinue enx0.

Z. CoulibalyGCH2535 - H202020 - Gr. 1 :Site moodle du cours16 janvier 2020 7 / 19 OrthogonalitéLes séries de FourierProlongements pair et impair

Exemple1 :

Déterminer la plus petite période de la fonction f(x) =π+ 2sin?2x 5? sin?x3? + sin?x2? cos?x2? .Justifier votre réponse

Exemple2 :

Soit la fonction périodique de périodeP= 4 définie par le graphe ci-dessous, qu"on voit ici sur l"intervalle-6Les fonctions paires et impaires Dans cette section, nous aborderons les thèmes suivants

1Fonctions paires et fonctions impaires.

2Séries de Fourier de fonctions paires et de fonctions impaires.

3Prolongement pair et prolongement impair.

OrthogonalitéLes séries de FourierProlongements pair et impair

1.Les fonctions paires et les fonctions impaires

Définition1 : fonction paire

-3-2-101230 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y(x) Courbes de fonctions paires f(x) = cosh(x) et g(x) = x2 f(x) = cosh(x) g(x) = x2

Une fonctionfestpairesif(-x) =f(x).

1.Le graphe defestsymétrique par rapport à

l"axe 0y.

2.Dans ce cas?

a -af(x)dx= 2? a 0 f(x)dx,?a.

3.Les coefficients d"Euler-Fourier defsont

bn= 0,n= 1,2,...et an=2L? L 0 cos?nπxL? f(x)dx,n≥0.

La série de Fourier d"une fonction paire

La série de Fourier d"une fonctionpairefest

SF(x) =a02+∞?

n=1a ncos?nπxL? Z. CoulibalyGCH2535 - H202020 - Gr. 1 :Site moodle du cours16 janvier 2020 10 / 19 OrthogonalitéLes séries de FourierProlongements pair et impair

Définition2 : fonction impaire

-3-2-10123 -10 -8 -6 -4 -2 0 2quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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