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Four solaire et parabole

Groupe Maths-Physique de l"IREM de Besançon

L"activitŽ prŽsentŽe dans cet article est inspirŽe du fonctionnement du four solaire :

un dispositif en mŽtal rŽflŽchissant capte les rayons du Soleil et les rŽflŽchit de faon

ˆ les faire tous converger vers un point (ou une ligne ou une zone plus large) qui atteint alors des tempŽratures plus ou moins ŽlevŽes. Il existe des fours domestiques transportables qui demandent une orientation manuelle de la part de l"utilisateur, la tempŽrature de cuisson peut varier de 120¡C ˆ http://www.atlascuisinesolaire.com par exemple).

Il existe aussi des fours de taille beaucoup

plus grande et massifs et donc de position fixe : c"est le cas du grand four solaire d"Odeillo (en France, dans les PyrŽnŽes

Orientales) qui est l"un des plus grands au

monde et permet d"atteindre des tempŽratures supŽrieures ˆ 3000¡C. Les panneaux du grand four sont fixes et forment un paraboloïde de rŽvolution. Une sŽrie de miroirs plans, orientables, de taille plus petite rŽflŽchit les rayons lumineux vers

le grand four qui les rŽflŽchit ˆ son tour en les concentrant en un Ç point È positionnŽ

au sommet d"une tour centrale. (photos tirŽes de l"article WikipŽdia Four solaire d"Odeillo) Notre activitŽ, qui a ŽtŽ prŽsentŽe lors d"un stage inscrit au Plan AcadŽmique de Formation de l"acadŽmie de Besanon en mars 2013, s"intŽresse au cas o l"on souhaite concentrer les rayons lumineux en un point fixe (qui sera appelŽ foyer). Des documents sont tŽlŽchargeables dans les ressources en ligne du site de L"IREM de Franche-ComtŽ (groupe de travail Maths-Physique (1)

572ossr"ptqutéoétr»

n o (1) http://www-irem.univ-fcomte.fr/pages/fr/menu2562/ressources-en-ligne/groupe-math- phys-13511.html FourC.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 04:57 Page572 La problŽmatique est la suivante : quelle forme doit avoir un objet rŽflŽchissant qui rŽflŽchirait des rayons notŽ F? Dans toute l"activitŽ, on se place dans un plan en coupe verticale de l"objet ce qui revient ˆ chercher une courbe et non une surface. On fait aussi le choix de chercher une courbe continue, voire mme qui admet une tangente en tout point.

1) Approche expérimentale (dès la Seconde)

reprŽsentent les rayons lumineux. On place le point F et on se donne un point de dŽpart M 0 utilise Žgalement un petit miroir rectangulaire et un pointeur laser. On place le miroir ˆ la verticale de faon que sa base passe par M 0 , on aligne le laser 0 , il ne reste plus qu"ˆ orienter le miroir de sorte que le rayon rŽflŽchi en M 0 passe par F. On trace alors un trait le long du bord 1 1 et ainsi de suite afin d"obtenir une courbe polygonale qui approche la courbe recherchŽe. Voici le rŽsultat obtenu en prenant un (ou deux) point M 0

ˆ l"extrŽmitŽ de la feuille

(on aurait pu Žgalement faire le choix de placer M 0 Au cours de l"expŽrience, on peut vŽrifier la loi de rŽflexion de Descartes (qui sera utilisŽe dans les autres approches) :

On a donc l"ŽgalitŽ d"angles suivante : ir.

fictif reprŽsentŽ par un segment perpendiculaire ˆ la bissectrice de l"angle formŽ par

Four solaire et parabole

APMEP n o 521
FourC.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 04:57 Page573

574ossr"ptqutéoétr»

n o les deux rayons (incident et rŽflŽchi) et faire la mme construction de proche en proche.

RŽsultat sur GeoGebra (avec

courbe obtenue ressemble fortement ˆ une parabole mme si l"accumulation des approximations et le choix de placer M 0

ˆ l"extrŽmitŽ de la

feuille lui ont fait perdre son

2) Approche géométrique

Cet exercice a tout d"abord ŽtŽ proposŽ ˆ des lycŽens lors d"un atelier de la JournŽe

DŽcouverte de la Recherche en MathŽmatiques 2012 qui a eu lieu ˆ l"UFR Sciences tŽlŽchargeable sur le site.

La courbe recherchŽe n"Žtant pas une droite (sinon les rayons rŽflŽchis seraient

Ë nouveau l"angle d"incidence et l"angle de rŽflexion sont

Žgaux.

L"approche expŽrimentale nous incite ˆ penser que la courbe recherchŽe est une parabole. GŽomŽtriquement, une parabole se caractŽrise (2) . L"exercice s"organise en liŽe ˆ la courbe recherchŽe.

Partie Analyse :

Supposons qu"il existe un tel objet curviligne.

ConsidŽrons alors M

1 un point de cet objet : le rayon incident se rŽflŽchit en M 1 et arrive en F (foyer). Rappel de la loi de la rŽflexion de Descartes : Le rayon rŽflŽchi est le symŽtrique du rayon incident par rapport ˆ la normale ˆ la surface rŽflŽchissante.

1. Construire la tangente T

1 en M 1

ˆ l"objet.

O;i?;j?

AM5;M278BB0=C4

FourC.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 04:57 Page574

2. Tracer la droite

1 perpendiculaire ˆ T 1 passant par le foyer F.

3. Noter H

1 le point d"intersection de la droite 1 et du rayon passant par M 1

4. Montrer que M

1 H 1 M 1 F.

5. Que reprŽsente gŽomŽtriquement le point H

1 par rapport au point F ? Quelle est sa signification en optique ? appelle M 2 le point d"intersection de ce rayon avec T 1 . Construire la tangente T 2 en M 2 , puis le point H 2 correspondant. Renouveler le procŽdŽ plusieurs fois afin de construire les points H 3 , H 4 ... Quelle remarque peut-on faire concernant ces points ?

ƒlŽments de correction :

La tangente T

1 est la perpendiculaire en M 1

ˆ la

bissectrice de l"angle formŽ par les deux rayons. La droite 1 et en considŽrant des angles correspondants et alternes-internes Žgaux, on montre que le triangle FM 1 H 1 1

Le point H

1 est le symŽtrique de F par rapport ˆ la tangente T 1 . De plus, H 1 reprŽsente l"image optique de F dans un miroir plan confondu avec la tangente T 1 . C"est ˆ dire, qu"un onservateur placŽ sur la rayon incident passant par H 1 voit F dans le miroir comme s"il Žtait en H 1

La figure ci-contre donne la position

des points H 1

ˆ H

17 obtenus ˆ l"aide du logiciel GeoGebra (document courbeHH".ggb sur le site).

La construction prŽcŽdente a ŽtŽ rŽalisŽe avec GeoGebra. On peut observer que si le

pas pest suffisamment petit, alors les points H 1 semblent s"aligner sur une droite perpendiculaire ˆ la direction des rayons que l"on appellera par la suite droite directrice. a) Droite directrice On note D une droite perpendiculaire aux rayons incidents. L"idŽe, maintenant, va tre de construire un objet P lorsque H dŽcrit la droite directrice D et de montrer que la courbe P rŽpond ˆ la problŽmatique de dŽpart.

Four solaire et parabole

n o FourC.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 04:57 Page575

1. Tracer le rayon passant par H.

2. En notant I le milieu de [HF], construire la mŽdiatrice de

[HF].

3. En notant M l"intersection de ces deux droites, tracer la

perpendiculaire dˆ (IM) passant par M.

4. Justifier que MH MF et montrer que l"angle entre la droite det le rayon incident

est Žgal ˆ l"angle entre det (MF). On s"appuie cette fois-ci sur la directrice D pour construire une courbe P, on retrouve les mmes propriŽtŽs d"angles que dans la partie analyse. On a donc prouvŽ que la droite dnormale ˆ (IM) est la bissectrice de l"angle formŽ par les deux rayons. Il faut encore prouver que la droite (IM) est bien la tangente ˆ la courbe P au point M afin que la loi de

Descartes soit vŽrifiŽe.

b) Tangente(en Première) Il ne reste plus qu"ˆ montrer que (IM) est bien la tangente en M ˆ cet objet P : prŽcŽdemment.

2. Tracer les cercles de centre M et Mpassant par F.

l"intersection de (FG) et D la directrice. On remarque tout d"abord que (FG) est perpendiculaire ˆ (MM). On constate, de plus, que lorsque Htend vers H, Mtend vers M et K, G tendent vers H (3) . Donc la tangente en M ˆ l"objet est orthogonale ˆ (HF) et passe par M : c"est donc bien la mŽdiatrice de [FH]. DiffŽrents cas de figures (on suppose les deux cercles sŽcants en 2 points donc non tangents en F) :

576ossr"ptqutéoétr»

n o

BD8C;02>=2;DB8>=3424?0A06A0?74

FourC.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 04:57 Page576

Four solaire et parabole

On note rMF et R MF les rayons des deux cercles.

MF MG = ret MF = MG = R donc M et Msont Žquidistants des points F et G : [MM] est la mŽdiatrice de [FG] donc (MM) est perpendiculaire ˆ la droite (FK). On note O leur point d"intersection, c"est le milieu de [FG]. On se retrouve dans la configuration d"une droite D qui est la tangente commune ˆ deux cercles sŽcants en deux points. (Remarque : dans le cas o les cercles sont tangents, alors F G = O et F, M, Msont alignŽs. On note K le point d"intersection entre D et la tangente commune aux deux cercles en F donc on a Žgalement (FK) et (MM) perpendiculaires.) le milieu de [HH] : dans OFM, OF 2 FM 2 OM 2 rquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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