SECOND DEGRE (Partie 2)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 +bx+c revient à résoudre dans R l'équation ax2 +bx+c = 0. 2 Factorisation
Trinômes du second degré
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de – a entre les racines. •. Si = 0 l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Dans ce cas l'équation ax2 +bx + c = 0 n'a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses. Selon le signe de a
Diapositive 1
15 févr. 2013 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions ! a ac b b x solution c bx ax. 2. 4. : ;0.
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
Résoudre une équation du deuxième degré. Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a ? 0) est une parabole. Cette parabole :.
Thème 5: Équations du 2ème degré
ax2 + bx + c = 0 avec a ? 0. Lors de vos études vous avez déjà dû résoudre des équations du. 2ème degré. Il existe principalement 2 méthodes pour
Équations du second degré ax² + bx + c = 0 EQUATIONS DU
Il faut résoudre l'équation c'est-à-dire trouver les valeurs de x
f (x) = ax2 + bx + c
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 - 6x - 2 = 0 est une équation du second degré.
1 Equation du second degré ax2 +bx +c = 0 a = 0
Résolution d'une équation du second degré dont on connaît déjà une solution. 2. Si deux nombres ont pour somme S et produit P alors ils sont solutions de l'
[PDF] SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques
ax2 + bx + c = 0 où a b et c sont des réels avec a ? 0 Résoudre les équations suivantes : a) 2x2 ? x ? 6 = 0 b) 2x2 ? 3x + 9
[PDF] SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 où a b et c sont des réels avec a ? 0
[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math
On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x) = ax2 +bx+c (ab et c réels avec a = 0) Remarque : Par abus de langage l'expression
[PDF] Équations du second degré ax² + bx + c = 0 EQUATIONS DU
Dans l'expression y = ax2 + bx + c on remplace le y par 0 on obtient donc 0 = ax2 + bx + c Il faut résoudre l'équation c'est-à-dire trouver les valeurs
[PDF] 1 Equation du second degré ax2 +bx +c = 0 a = 0
Résolution d'une équation du second degré dont on connaît déjà une solution 2 Si deux nombres ont pour somme S et produit P alors ils sont solutions de l'
[PDF] equationspdf - Lycée Jean Vilar
(a) 2 × 13 ? 13 × 12 + 5 × 1 + 6 = 0 donc 1 est solution de (E1) (b) (x?1)(ax2 +bx+c) = ax3 ?ax2 +bx2 ?bx+cx?c = ax3
[PDF] Polynômes
Pour résoudre ax2 + bx + c = 0 c'est donc le signe de b2 ? 4ac qui nous intéresse Définition 2 : Soit P(x) = ax2 + bx + c on appelle discriminant de P(x) = 0
[PDF] Thème 5: Équations du 2ème degré
ramener à la forme générale suivante: ax2 + bx + c = 0 avec a ? 0 Lors de vos études vous avez déjà dû résoudre des équations du 2ème degré
[PDF] Résolution de léquation ax^2+bx+c = 0
Résolution de l'équation ax^2+bx+c = 0 CODE DE L'ALGORITHME : 1 VARIABLES 2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE
[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes
Soit un trinôme du second degré : P(x) = ax2 + bx + c On factorise par a cela donne : Exemple : Résoudre dans R : 2x2 + 3x ? 14 = 0 On calcule ? :
Comment résoudre une équation de la forme ax2 bx c 0 ?
Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x – x1)(x – x2). Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une solution car on a a(x – x1)(x – x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2.Comment factoriser ax2 bx c 0 ?
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 = ?b? ?? 2a = ?2? ?16 2? = ?2?4 2 = ?3 x2 = ?b+ ?? 2a = ?2+ ?16 2? = ?2+4 2 = 1.Comment trouver x1 ?
Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.
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Chap 1 :Polynˆomes
I. Trinˆome du second degr´e
D´efinition 1 :Un trinˆome du second degr´e est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?= 0.
Remarque :Un trinˆome du second degr´e est d´efini surR. Nous allons d´eterminer une technique pour r´esoudretoutesles ´equations du typeax2+bx+c= 0 appel´ees´equation du second degr´e.
1) Forme canonique du trinˆome
On sait r´esoudre les ´equations suivantes :x2-3 = 0
(x+ 2)2-5 = 0
3?
(x+ 1)2-2 3? = 0En fait on a 3
(x+ 1)2-2 3? = 3x2+6x+1 mais les deux formes ne sont pas toutes les deux aussipratiques pour r´esoudre 3x2+ 6x+ 1 = 0 qui est souvent la forme sous laquelle l"´equation apparaˆıt.
La forme 3
(x+ 1)2-2 3? s"appelle laforme canoniquedu trinˆome 3x2+ 6x+ 1. L"id´ee int´eressante c"est qu"on peut toujours r´esoudre une ´equation du second degr´e lorsque le trinˆome est sous forme canonique et on peut toujours mettre un trinˆome sous forme canonique. Proposition 1 :Pour tout trinˆome on a :ax2+bx+c=a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? -→d´emonstrationPage 1/6
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2) R´esolution de l"´equationax2+bx+c= 0,(a,b,c)?R?×R2
Pour r´esoudreax2+bx+c= 0 c"est donc le signe deb2-4acqui nous int´eresse. D´efinition 2 :SoitP(x) =ax2+bx+c, on appelle discriminant deP(x) = 0, le nombreΔ =b2-4ac.
On a alors :
ax2+bx+c= 0??
x+b 2a? 2 -Δ4a2= 0 cara?= 0.Si Δ<0,?
x+b 2a? 2 -Δ4a2>0 donc l"´equation n"a pas de solutions dansR.Si Δ = 0,?
x+b 2a? 2 = 0 d"o`ux=-b2aest racine double.Si Δ>0, alors Δ =⎷
Δ2puisP(x) = 0??
x+b2a? 2 Δ24a2= 0
qu"on peut factoriser en x+b2a+⎷
2a?? x+b2a-⎷ 2a? = 0,x1=-b-⎷2aetx2=-b+⎷
2a sont donc les solutions surRde l"´equationP(x) = 0. Th´eor`eme 1 :SoitSl"ensemble des solutions deax2+bx+c= 0.Si Δ<0,S=∅.
Si Δ = 0,S=?
-b 2a?Si Δ>0,S=?
-b-⎷2a;-b+⎷
2a? -→d´emonstration Remarque :Siaetcsont de signes contraires, on a Δ>0.3) Factorisation et racines
Proposition 1 :(HP)Si le trinˆomeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(´eventuellement ´egales dans le cas d"une racine double) alors,S=x1+x2=-b aetP=x1×x2=ca. -→d´emonstration Exemple :On peut le v´erifier sur l"exemplex2-3x+ 2 = 0.Page 2/6
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On a ´egalement une sorte de r´eciproque :
Proposition 2 :(HP)Si deux nombres ont pour sommeSet pour produitPalors ils sont solutions de l"´equationX2-SX+P= 0. -→d´emonstration On peut toujours factoriser un trinˆome qui a des racines :Th´eor`eme 2 :Si le trinˆomeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(´eventuellement ´egales) alors,
?x?R,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). -→d´emonstration4) Signe du trinˆome
Dans chacun des trois cas pour Δ on peut d´eterminer le signe du trinˆome en fonction dexgrˆa¸ce `a la
forme canonique.Si Δ<0 :a?
x+b 2a? 2 -Δ4a2? est du signe deaet doncax2+bx+caussi.Si Δ = 0 :a?
x+b 2a? 2? est aussi du signe deasauf pourx=-b2a(il est alors nul). Si Δ>0 :ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) et ainsi pour d´eterminer son signe il suffit de faire un tableau de signes : x-∞x1x2+∞ (x-x1)-0++ (x-x2)--0+ (x-x1)(x-x2)+0-0- ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea -→penser `a multiplier paraPage 3/6
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On peut ainsi r´esumer la situation avec le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3 :De la forme canonique du trinˆome, on d´eduit :Si Δ<0,ax2+bx+cest toujours du signe dea.
Si Δ = 0,ax2+bx+cest toujours du signe deasauf pourx=-b2a(il est alors
nul).Si Δ>0,ax2+bx+cest :
du signe dea`a l"ext´erieur des racines.
du signe de-a`a l"int´erieur des racines.
Ce qui donne sous forme de tableau
x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea -→d´emonstration5) Interpr´etation g´eom´etrique
On consid`ere la fonctionf:?R-→R
x?-→ax2+bx+c. On appelleCfsa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e. On peut retrouver les r´esultats des th´eor`emes pr´ec´edents surCf: Oy xx1x2C f a >0Δ>0Oy xx0C f a >0Δ = 0Oy x a >0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa <0Δ>0 Oy x x0 C fa <0Δ = 0 Oy x a <0Δ<0 C fPage 4/6
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II. Polynˆomes
1) D´efinition
On commence par d´efinir lesfonctions polynˆomesqui sont des outils tr`es utiles en Analyse. D´efinition 3 :Unefonction polynˆomeest une fonctionP:R?→Rtelle queP(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=n?
k=0a kxk. o`ua0,a1, ...,ansont des nombres r´eels et o`unest un entier naturel. Vocabulaire :Les nombres r´eelsa0,a1, ...,ans"appellentcoefficientsdu polynˆomeP.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] axe de lecture candide
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