[PDF] [PDF] Cours de Mathématiques 23 mar 2011 · 4 2

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Cours de Mathématiques

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Document en cours de relecture

Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron

23 mars 2011

Table des matières1 Nombres complexes19

1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3 Propriétés des opérations surC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Représentation d'Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Module d'un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Racinesn-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 33

1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 38

1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.2 Polynômes, équations, racines de l'unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Géométrie élémentaire du plan62

2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.2 Produit d'un vecteur et d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

2

Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69

Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70

2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 70

2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72

2.4.2 Interprétation en terme d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.5 Applicationdudéterminant: résolutiond'unsystèmelinéairede Cramer dedeuxéquationsà deux

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 74

2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.2 Lignes de niveau deMu.AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.3 Lignes de niveau deMdet

u,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.4 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.5 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.8 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.9 Équation normale d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.10 Équation polaire d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 81

2.6.2 Équation cartésienne d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.3 Représentation paramétrique d'un cercle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.6.4 Équation polaire d'un cercle passant par l'origine d'un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.5 Caractérisation d'un cercle par l'équationMA.MB0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.6 Intersection d'un cercle et d'une droite . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 99

2.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Géométrie élémentaire de l'espace113

3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plansdans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.3 Orientation de l'espace, base orthonormale directe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2 Mode de repérage dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 116

Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 116

Norme d'un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 117

3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 119

3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3

3.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122

Quelques exemples d'applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 124

3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.6 Plans dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Interprétation géométrique de l'équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6.3 Distance d'un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Deux méthodes de calcul de la distance d'un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.7 Droites dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.3 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134

3.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134

3.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 135

3.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l'espace . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 147

4 Fonctions usuelles151

4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.1.4 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 166

Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 168

4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.3.3 Fonctions hyperboliquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Fonction argument sinus hyperboliqueargsh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Fonction Argument tangente hyperboliqueargth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4

5 Equations différentielles linéaires198

5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 199

5.3.2 Résolution de l'équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.3.3 Résolution de l'équation différentielle normaliséeavec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 203

Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 203

Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 205

5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 206

5.3.6 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209

5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209

5.4.2 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansC. . . . . . . . . . . . . . 210

5.4.3 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansR. . . . . . . . . . . . . . 212

5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordreà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 221

5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.5.4 Résolution d'équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 225

5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 227

6 Étude des courbes planes230

6.1 Fonctions à valeurs dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 230

6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 233

6.2.2 Étude locale d'un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Étude d'un point stationnaire avec des outils de terminale,première période . . . . . . . . . . . . 234

Étude d'un point stationnaire avec les développements limités, seconde période . . . . . . . . . . 234

Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.3 Étude complète et tracé d'une courbe paramétrée . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.3 Etude d'une courbe polairef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.2 Etude d'une courbef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 246

6.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 263

7 Coniques271

7.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.2 Équation cartésienne d'une conique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.3 Équation polaire d'une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.2 Étude de la parabole :e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.3 Étude de l'ellipse :0e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.4 Étude de l'hyperbole :1e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

7.5 Définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.6 Courbes algébriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 286

5

7.7.1 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 286

7.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 286

7.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 288

7.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 291

7.7.5 Coniques et coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

7.7.6 Courbes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 295

8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements304

8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8.1.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 305

8.1.3 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.1.4 Notationset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 308

8.2.2 Propriétés des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.4 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.4.1 Nombre dep-listes d'un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 312

8.4.2 Nombre d'applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.4.3 Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 313

8.4.4 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 313

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 318

8.5.1 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 318

8.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 323

8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 325

8.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.5.6 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 332

9 CorpsRdes nombres réels339

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9.2 Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

9.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.5 Droite numérique achevée

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9.6 Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 344

9.7 Propriété d'Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

9.8 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

9.9 Densité deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 347

9.10.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 347

9.10.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 348

9.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

9.10.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 353

10 Suites de nombres réels354

10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 354

10.1.2 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.2 Convergence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

10.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

10.3.1 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

10.3.2 Limites et relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

10.3.3 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 361

10.4 Suite extraite d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

10.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

10.5.1 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6

10.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10.5.3 Approximation décimale des réels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

10.6 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

10.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.7.2 Suite dominée par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.7.3 Suite négligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

10.7.4 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

10.8 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

10.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 374

10.9.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 374

10.9.2 Convergence,divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

10.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

10.9.4 Suites monotones et bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10.9.5 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 389

10.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 390

10.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

10.9.8 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

10.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

10.9.10Étude de suites définies implicitement . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

11 Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles414

11.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.1.1 L'ensembleF(I,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.1.2 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 415

11.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 416

11.1.4 Parité périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

11.1.5 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.2 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

11.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 418

11.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 418

11.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

11.2.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 423

11.2.5 Limite à gauche, à droite, continuité à gauche, à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

11.2.6 Limites et relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

11.2.7 Théorème de composition des limites . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

11.2.8 Image d'une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

11.2.9 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

11.3 Étude locale d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

11.3.1 Domination, prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 429

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 429

Opérations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 430

11.3.2 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 430

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 431

11.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

11.4.1 Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 433

Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 434

11.4.2 Les théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 436

Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 438

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