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Aide-mémoire LaTeX

Table des matières

1 Insérer une image1

2 Encadrer des petits contenus

1

3 Encadrer un paragraphe1

4 Insérer une figure tikz2

5 Écrire un algorithme en langage naturel

2

6 Afficher un programme Python

2

7 Minipages2

8 Tableaux de variation et tableaux de signes

3

9 Rédaction avec équivalences

4

10 Mise en forme de calculs4

11 Tableaux5

12 Arbre de probabilités5

13 Une mise en page pour des exercices de devoirs

6

14 Exemples de symboles mathématiques

7

1 Insérer une image2 Encadrer des petits contenus

Encadrer dans une formule :

3x2= 18,x2=183

,x2= 6,x=p6oux=p6:Encadrer du texte :

4x2=20,x2=204

,x2=5:Donc il n"y a pas de solution.3 Encadrer un paragraphe Cela peut servir pour encadrer un résultat important. Propriété (Condition de colinéarité)Deux vecteurs~ux y et~vx0 y 0 sont colinéaires : si et seulemen tsi leurs co ordonnéesson tprop ortionnelles; si et seulemen tsi xy0x0y= 0.Page 1 /7

4 Insérer une figure tikz

432112345x

1123y
0C f5 Écrire un algorithme en langage naturel

1N prend la valeur 42S prend la valeur 03Pour K allant de 1 a N4S S+6*K5FinPour6Afficher S6 Afficher un programme Python

A vec u ne v ersion d e

P ython

i nstallee import m atplotlib.pyplota sp lt import r andom plt.grid(True) plt.xlabel( Somme d es d es plt.ylabel(

Effectifs

effectif = 0 nb_tirages = 1000 plt.title(

Nombre

d e l ancers str (nb_tirages)) liste_valeurs = [1, 2, 3, 4, 5, 6] liste_resultats = [0, 0, 0, 0, 0, 0] for i i n r ange (nb_tirages): de = random.randint(1, 6) liste_resultats[de-1] += 1 plt.bar(liste_valeurs , liste_resultats) plt.show()

7 Minipages

Minipages sans alignement particulier

Problème

ABCDest un rectangle tel queAB= 7etBC= 5. On définit Lun point du segment[AB],Mun point du segment[BC], Nun point du segment[CD]etOun point du segment[DA] tels queAL=BM=CN=DO: Où doit-on placer le pointLafin que l"aire du quadri- latèreLMNOsoit minimale?DAB CL O NM

Page 2 /

7

Minipages alignées verticalement en haut

Exercice

Écrire un script de 2 ou 3 lignes, qui

permet d"afficher en sortie les 31 lignes suivantes :1 janvier

2 janvier

3 janvier

28 janvier

29 janvier

30 janvier

31 janvierExercice

Combien de points affiche le

script suivant? Expliquer.fori i nr ange(0,6): print ,end= for j i n r ange (0,5): print ,end= )Exercice

Et celui-ci? Expliquer.fori i nr ange(0,6):

for j i n r ange (0,5): print ,end=

Minipages avec un trait de séparation

Exécuter le script suivant, et noter ce qui est affi- ché dans la console :a = 0 while a < 5 : a = a + 1 print (a) Tant que la conditiona < 5est vraie, on exécute

le bloc d"instruction qui a été indenté.Vérifier ce qui a été affiché, en complétant ce tableau de

l"état de la mémoire :valeur deaà la ligne 2valeur deaà la ligne 48 Tableaux de variation et tableaux de signes

x f(x)acb f(a)f(a)f(b)f(b)kx f(x)acb f(a)f(a)f(b)f(b)k x f

0(x)f(x)11p10

31+p10

3+1+00+x

g

0(x)g(x)10+10+

00 x f

0(x)f(x)11+1+0

111
e11 e100x f

0(x)f(x)104+1+00+

1155

33+1+1Page 3 /7

9 Rédaction avec équivalences

Exemple

On raisonne par équivalence :

(E)()x20et4x= (x2)2 (E)()x2et4x=x24x+ 4 (E)()x2et0 =x23x (E)()x2et0 =x(x3) (E)()x2et(x= 0oux= 3) (E)()x= 3

Exemple

Pour tout réelx, notonsMle point deCfd"abscissex, etM0le point deCfd"abscissex. C fest symétrique()Pour tout réelx,MetM0sont symétriques par rapport à par rapport à ()Pour tout réelx, le point est le milieu du segment[MM0] ()Pour tout réelx, on af(x) +f(x)2 =12

10 Mise en forme de calculs

Exemple

f(x) +f(x) =ex1 +ex+ex1 +ex ex(1 +ex) +ex(1 +ex)(1 +ex)(1 +ex) ex+ 1 +ex+ 1(1 +ex)(1 +ex) ex+ 1 +ex+ 11 +ex+ex+ 1 = 1

Exemple

x12xx+ 52x>0 (x1)(2x)2x(x+ 5)2x(2x)>0 x2+ 3x22x210x2x(2x)>0

3x27x22x(2x)>0

Exemple

x

G=xA+xB+xC+ 2xD5

=7 + 1 + 7 + 2(3)5 =55 =1 y

G=yA+yB+yC+ 2yD5

=1 + (3) + 1 + 285 =155 = 3

DoncGa pour coordonnées(1;3).

Page 4 /

7

Exemple

x

2x= 2x

2x= 12

x

2x2 = 0x

2x12 = 0

0= (1)241(2)

00= (1)241(12)

0= 1 + 8

00= 1 + 48

0= 9 = 32>0.

00= 49 = 72>0.

L"équation admet deux solutionsL"équation admet deux solutions x 1=132 etx2=1+32x 3=172 etx4=1+72 x

1=1etx2= 2x

3=3etx4= 4.

11 Tableaux

Exemplen012345

x ny nExemple x531135 f(x)20;5212 Arbre de probabilités F GA I E A I

EP(F) = 0;60;4P

F(A) = 0;20;260;540;5P

G(I) = 0;110;39Page 5 /7

13 Une mise en page pour des exercices de devoirs

On ne respecte pas ici toutes les bonnes pratiques typographiques.

De plus, on pourrait utiliser des compteurs pour les numéros d"exercices et des environnementsenumerate

pour les différentes questions. On cherche surtout ici la compacité du document final pour réduire le nombre

de photocopies. On cherche aussi de la simplicité dans le copier/coller (parfois en place plusieurs énoncés sur la

même feuille, donc il n"y a pas de compteur à réinitialiser).

Attention : les exercices ci-dessous sont choisis uniquement pour illustrer la présentation (ils correspondent à

un ancien programme de première S).

Exercice 1[3 pts]

1.Quel est l"ensemble des réelsxtels que

cosx=12

2.Dans la figure ci-dessous, donner les coordonnées

polaires des pointsAetB(aucune justification n"est demandée; on donnera les mesures principales pour les angles polaires).4224x 4224y
0 BA

3.On donne un point avec ses coordonnées carté-

siennes :Cp3;1. Calculer ses coordonnées po- laires.

Exercice 2[7 pts]

1.Calculer les valeurs exactes desin176

;cos176 et tan 176

2.Simplifier

cos(x) + cos2 +x + cos(x) + cos2 x

3.Quel est l"ensemble des réelsxtels que

cosx=p3 2 ?4.Soitxle réel de2 ;32 tel quesinx=14 . Calculer cosx.

5.Dans la figure ci-dessous, donner les coordonnées

polaires des pointsA,BetC(aucune justification n"est demandée; on donnera les mesures principales pour les angles polaires).43211234x

43211234y

0 CB A

6.On donne un point avec ses coordonnées polaires :

D4;34 . Calculer ses coordonnées cartésiennes.

7.On donne un point avec ses coordonnées carté-

siennes :E1;p3 . Calculer ses coordonnées po- laires.

Exercice 3[2 pts]

1.Donner l"approximation affine locale de(2 +h)5

pourhproche de 0.

2.En déduire une approximation du nombre2;0015.

Exercice 4[2,5 pts] Pour chaque question, préciser sur quel ensemble la fonctionfest dérivable (sans justifier cet ensemble) et calculer la dérivée def.

1.f(x) = 3cos

3x+2

2.f(x) =x3p29x.

Page 6 /

7

14 Exemples de symboles mathématiques

1.

On p ose

u n+1=( u n2 siunest pair

3un+ 1siunest impair

2.

Soit (fn)n2N, où pour toutn2N,

f n: [0;1]!R x7!xn(1x): 3. On note E=C([0;1];R)muni dek k1, etT:E!Rl"application définie par :

8f2E; T(f) =Z

1 0 xf(x)dx: 4. Z 12

0dx1x=+1X

n=11n2n: 5.

Dans M3(C),

M=0 @1 42 0 63

1 4 01

A 6. lim n!+1Z +1

0nsinxn

x(1 +x2)dx 7. FF?=E 8. (L)x0= 2txy+tcost y

0=x+ 2ty+tsint

9. SL n(C) =fM2Mn(C);det(M) = 1g: 10. qjnj n2Z 11.

8n2N;8" >0;P(jYnpj>")614n"2:

12.

8x2En f0g;!gradf(x) =xjjxjj

13.

8(x;y)2U2; x@f@x

(x;y)y@f@y (x;y) =x2y2:

Page 7 /

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