Démonstration de « racine carrée de 2 est irrationnel »
2 est irrationnel ». Un exemple de démonstration par l'absurde. Introduction. On peut construire un triangle rectangle dont les trois côtés ont pour mesure
? 2 est irrationnel
2 est un nombre irrationnel. 1. ?. 2. Nous allons donner une démonstration différente de la preuve “habituelle”. Avant de faire ce raisonnement remarquons
la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
Autour de la racine cubique de 2
La racine cubique de 2 est irrationnelle et n'est pas solution d'une équation au second degré à coefficients rationnels non tous nuls. 1. Montrer que le nombre
Prépasup
18 avr. 2020 b) La somme le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un ...
1 Deux rationnels pour un irrationnel ?
? a est rationnel et par le même raisonnement
SEANCE : Irrationalité de racine de 2 FICHE ENSEIGNANT Niveau
est irrationnel. On va donc raisonner par l'absurde. Pour cela on suppose qu'il existe deux nombres entiers strictement positifs.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1 I. Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. 1. (**). ?. 2 et plus généralement n. ? m où n est un entier supérieur
Une preuve de lirrationalité de ?(3)
29 juin 2017 2 est irrationnel. 2.2 Généralisation du résultat. Une version plus générale de ce théorème est de montrer que la racine carrée.
Démonstration de «racine carrée de n est irrationnel si n nest pas
Pour tout entier positif n qui n'est pas un carré si c = www.deleze.name/marcel/culture/Racine_de_2_est_irrationnel/racine-de-2-est- irrationnel.pdf.
Quelques démonstrations mathématiques simples
On conclut que ???? est alors irrationnel 5ème méthode : Par des inégalités (Raisonnons par l’absurde) Hypothèse : ?2 est rationnel donc ?2= Ô Õ = fraction irréductible avec a et b entiers et premiers entre eux Alors b ?2 est un entier avec b le plus petit possible (puisque b 2)
2 est irrationnel - univ-lillefr
Universit e de Lille 1 2009-2010 p 2 est irrationnel Th eor eme p 2 est un nombre irrationnel 1 p 2 Nous allons donner une d emonstration di erente de la preuve habituelle" Avant de faire ce raisonnement remarquons les deux choses suivantes : { Pour un nombre rationnel a b on peut toujours trouver un entier q tel que q 12a b soit un entier
Racine carrée de 2 est irrationnel - pagesperso-orangefr
Racine carrée de 2 est irrationnel Par Mathtous Ce résultat est connu depuis l'Antiquité Il s'agit dans cet article de proposer plusieurs démons-trations di érentes de ce résultat Il av de soi qu'il en existe bien d'autres sans compter les di érentes arianvtes des méthodes exposées ici 1) Première méthode
Racine de 2 est irrationnel
Démonstration de « racine carrée de 2 est irrationnel » Author: Marcel Délèze Subject: Démonstration par l'absurde de « La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel » Keywords: racine carrée radical 2 irrationnel démonstation absurde Created Date: 12/9/2019 11:09:29 AM
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs Un nombre rationnel peut donc s’écrire sous la forme b a avec b ?0 Il existe une infinité de façons d’écrire un même nombre rationnel Par exemple : = = = = = 3000 2000 - 12 - 8 9 6
Comment savoir si une racine est irrationnelle ?
- Pi est irrationnel: Une des nombreuses démonstrations de l'irrationnalité de ?. Racine de 2 est irrationnel: D'une façon générale, la racine d'un entier est soit entière, soit irrationnelle. Un démonstration simple mais fréquemment demandée. La formule de Stirling: Un équivalent de n! en +?.
Est-ce que racine de 2 est un nombre irrationnel ?
- Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel. Créé par Sal Khan. Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Est-ce que 2 est un irrationnel?
- Il n'existe pas de rationnels positifs dont le carré est 2, donc 2 est un irrationnel. La démonstration que nous venons de faire est un nouveau type de démonstration dite démonstration par l’absurde .
Est-ce que la racine carrée est un nombre irrationnel?
- La racine carrée est à l'origine de la découverte de l’irrationalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n'assure que celle de 2 fut le premier nombre irrationnel connu.
Démonstration : ξ
(NActivité :
1) Résoudre, en justifiant la solution, dans Գ x 4 = 2.
2) Résoudre, en justifiant la solution, dans Գ x + 4 = 0.
x2 2 = 0 admet des solutions dans Փ. Rappels (automatismes à vérifier et réactiver) : a et b on a : a2 b2 = (a b)(a + b) (identité remarquable) a) En utilisant les indications ci-dessus, écrire x2 2 sous la forme (a b)(a + b) (factorisation). x2 2 = 0 admet-elle alors des solutions dans Փ ? Justifier. a, p) א ଵ = aൈͳͲ avec a non multiple de 10. Par suite, 2ൈͳͲ = a 2.Ȉ Raisonnement par disjonction des cas :
* Si p = 0, alors a2 = 2, ce qui est impossible puisque a א * Si p ് 0, alors a2 est un multiple de 10. Or a Le tableau suivant donne le chiffre des unités de a2.Ȉ Raisonnement par disjonction des cas :
Chiffre des unités de a 1 2 3 4 5
6 7 8 9
Chiffre des unités de a2 1 4 9 6 5 6 9 4 9
Comme le chiffre des unités de a2 a2 ; il y a alors une contradiction.Donc ξʹ
très intéressante pour la formation mathématique des élèves : - raisonnement par disjonction des cas à deux reprisesDémonstration : ξ
1) Construction géométrique
a. Construire, avec un maximum de précision, un carré ABCD de côté 12 cm (pas de carreaux).
b. Tracer la diagonale [BD] puis mesurer avec une règle et précision la longueur de cette diagonale en cm.
c. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier la réponse sans utiliser le théorème de Pythagore.
2) Calculs
Question : Est-il possible de construire un carré où les mesures des côtés et de la diagonale sont des entiers naturels (ou un triangle rectangle et isocèle où les entiers naturels " a » et " b » représentent les mesures respectives de et des côtés de comme ci-contre) ? a. En vous aidant du théorème de pythagore, calculer le rapport b. Les mesures de la question 1.c vérifient-elles cette égalité ? c. Quelle est la nature du nombre a b bSolution :
2) S'il est possible de construire un tel carré (ou triangle), d'après le théorème de Pythagore, on aura : ܾ
car ܽͲ et ܾ étant un nombre rationnel (rapport de deux entiers), alors, ξ est unnombre rationnel, sinon on dit que ξ est un nombre irrationnel et donc que la construction est impossible.
Conclusion ξ.
1ère méthode
Acquis préalables rationnel ; propriété admise : si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a²,b²) = 1 (justifiable mais pas démontrable en seconde).On suppose ξʹ rationnel et que son écriture sous forme de fraction irréductible est ξʹൌ
donc contradiction ฺ hypothèse fausse donc ξʹ est irrationnel.Conclusion :
Il est impossible de construire un carré où les mesures de la diagonale et des côtés sont des entiers.
2ème méthode
ξ . On pourra utiliser le résultat suivant, démontré précédemment : ب اEn déduire q2 = p2.
n א3. Déduire des deux questions précédentes que q2 = 2n2.
4. En déduire que p et q sont pairs. En quoi cela est-
question 1 ? Conclure.Puisque l'hypothèse " ξ est rationnel » conduit à une contradiction (absurdité), c'est donc le contraire qui
est vrai, à savoir " ξ est irrationnel ».3ème méthode : Absurde et disjonction des cas
En déduire q2 = p2 donc que మ
2. Compléter le tableau suivant :
Chiffre de unités de p ou q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 93. En déduire les chiffres des unités possibles pour p et q pour lesquels మ
Lp est 0 et celui
de q est 0 ou 54. Quelle conséquence tirer de p et q ? Il en résulte que p et q sont multiples de 5 ; ce qui est en contradiction
hèse.5. Conclure. " ξ est rationnel » est fausse
4ème méthode
Note : (a b) (a + b).
2) On suppose que ξʹ est rationnel et que sa forme irréductible est alors ξʹൌ
En remplaçant ξʹ par
3) En admettant que 1< ξʹ < 2 et sachant que ξʹൌ
4) Que constate-t-on et quelle conclusion en tirer ?
Réponse attendue : le dénominateur p q de ξʹ encore plus petit que q ξʹ rationnel ». On conclut que ξ est alors irrationnel.5ème méthode : Par des inégalités
Hypothèse : ξʹ est rationnel donc ξʹൌ = fraction irréductible avec a et b entiers et premiers entre eux. Alors bξʹ est un entier avec b le plus petit possible (puisque bξʹ).ξʹ 1 < 1 soit, en multipliant par b, bξʹ b < b ; On constate que c = bξʹ b est un entier < b.
En multipliant par ξʹ, on obtient cξʹ = 2b bξʹ < bξʹ or b et bξʹ sont entiers donc cξʹ est entier avec
c < b ; on en conclut que ξʹ6ème méthode
Démonstration géométrique
Si le triangle isocèle rectangle ABC avait ses côtés entiers, le triangle plus petit A'B'C, aussi isocèle
rectangle, aurait aussi ses côtés entier (voir ci-dessous) : Alors, ξʹ serait rationnel par descente illimitée ; ce
qui est impossible.La démonstration qui suit est une variante, revisitée, spécifiquement simple de la démonstration géométrique
des anciens grecs. Elle apporte presque une évidence géométrique de l'irrationalité de ξʹ : étant donné un
triangle isocèle rectangle dont les mesures p et q des côtés sont des entiers, on peut alors construire un
triangle isocèle rectangle de dimensions strictement inférieures ayant la même propriété, ce qui montre par
descente illimitée qu'un tel triangle ne peut exister.En effet supposons ξʹൌ
BA = BC = q, son hypoténuse est ainsi AC = BA × ξʹ= p (figure ci-dessus).Le cercle de centre A et de rayon AB intersecte l'hypoténuse [AC] en B'. Le cercle de centre A et de rayon AC
intersecte le côté [AB) en D. Le point A' est à l'intersection des droites (BC) et (B'D).Les triangles ABC et AB'D, ayant un angle commun et deux côtés deux à deux de même longueur,
sont isométriques. L'angle est par conséquent droit. Comme est un demi-angle droit, A'B'C est isocèle rectangle en B'. Pour des raisons analogues A'BD est isocèle rectangle en B. Les longueurs des côtés de ces deux triangles, sont entières, en effet : o B'C = AC - AB = p - q, o BD = AC - AB = p - q, o BA' = BD = p - q (car A'BD est isocèle rectangle en B). o A'C = BC - BA' = q - (p - q) = 2q - p.Le triangle A'B'C est rectangle isocèle en B' de côté p - q et d'hypoténuse 2q - p, l'ensemble des deux entiers.
En continuant ainsi, on obtient une descente illimitée de triangles à côtés entiers ABC, A'B'C, etc. ce qui est
absurde. On en déduit que ξʹ ne peut pas s'écrire quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] CHAPITRE 6 : LES PARALLÉLOGRAMMES I- PROPRIÉTÉS DES
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