[PDF] Baccalauréat ES 1999 Lintégrale de juin à décembre 1999

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?Baccalauréat ES 1999?

L"intégrale de juin à décembre 1999

Amérique du Nord juin 1999........................................3

Antilles-Guyanejuin 1999

Asie juin 1999

Centres étrangers juin 1999

Métropole juin 1999

La Réunion juin 1999

Liban juin 1999

Polynésie juin 1999

Antilles-Guyaneseptembre 1999

..................................35

Métropole septembre1999

Polynésie septembre 1999

Sportifs de haut-niveau octobre 1999

.............................46

Amérique du Sud novembre 1999

..................................51

Nouvelle-Calédonie décembre 1999

...............................54 2 ?Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1999?

EXERCICE15points

Commun à tous les candidats

Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles. Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante :

•43,5% ont choisi l"abonnement 4 spectacles,

•33% ont choisi l"abonnement 5 spectacles,

•le reste a choisi l"abonnement 6 spectacles.

D"autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la ré-

partition est différente :

•40% ont choisi l"abonnement 4 spectacles,

•40% ont choisi l"abonnement 5 spectacles,

•le reste a choisi l"abonnement 6 spectacles.

On interroge un abonné au hasard.

•On noteAl"évènement "L"abonné interrogé a moins de 25 ans». Ainsi laprobabilitép(A) de

cet évènement est 0,65. •On noteBl"évènement "L"abonné interrogé a choisi 5 spectacles».

•Pour tout évènementV, on note

Vl"évènement contraire deV.

1. a.Quelle est la probabilité que l"abonné interrogé ait 25 ans ou plus?

b.Sachant que l"abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle est la probabilité qu"il ait choisi

5 spectacles?

c.Décrire l"évènement (A∩B), et démontrer que la probabilitép(A∩B) est égale à 0,26.

2. a.Démontrer que la probabilitép?

A∩B?

est égale à 0,07. b.En déduire la probabilité conditionnelle deBsachant queAest réalisé. pour 6spectacles coûte70euros.OnappelleXlavariablealéatoireégaleàlasomme dépensée par l"abonné interrogé. a.Donner la loi de probabilité deXen complétant : xi506070 p(X=xi) b.Calculer l"espérance deX.

EXERCICE25points

Enseignementobligatoire

Ondonne,dansunrepèreorthonormal?

O,-→ı,-→??

f, définie et dérivable sur [0; 6].

Les points A?1

2; 2? ,B?

4 ;14?

et C(2; 1) sont des points de (Γ), et (T) est la tangente à (Γ) en C.

012345678910

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100123

?A (T) C B O

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

1. a.Déterminer par lecture graphique le minimum et le maximum defsur [0; 6].

b.Déterminer par lecture graphique l"image parfde l"intervalle [0; 2]. c.En utilisant le graphique, donner l"ensemble des solutionsde l"inéquationf(x)<1 2.

2. a.On admet que (T) est parallèle à (AB). Déterminer alorsf?(2).

b.Déterminer l"équation réduite de (T), et celle de (AB). c.Justifier à l"aide du graphique que, pour toutxde?1 2; 4? on a : 1

2x+2?f(x)?-12x+94.

3.On pose I =?

9 1

2f(x)dx. Déduire du résultat précédent2. c.que l"intégrale I est comprise entre

49

16et6316.

EXERCICE25points

Enseignementde spécialité

L"espace est rapporté au repère orthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

ABCDOFGH est un pavé défini par

Soit L le milieu de [CG].

OA B C D F G

H-→

k

1.On considère l"ensemble (Π) des points dont les coordonnéesx,yetzvérifient :

4x-3y+8z-12=0.

2.Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à (Π)?

3.Justifier que l"ensemble (Π) est le plan (BLH).

4.Donner les coordonnées d"un vecteur normal-→nau plan (BLH).

5.Soit (Δ) la droite passant par A et de vecteur directeur-→n. Montrer que (Δ) est l"ensemble des

pointsMtels que?????--→

AM·--→NH=0

et --→AM·-→BL=0.En déduire un système d"équations caractérisant la droite

6.Montrer que le point de coordonnées?

-48

89;3689;17189?

appartient à (Δ) et à (Π).

Amérique du Nord4juin 1999

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

PROBLÈME10points

Une entreprise envisage la fabrication d"un nouveau produit. Sa décision dépend des résultats de

plusieurs études : Étude de la demande pour ce nouveauproduit: c"est l"objet de la partie A. Étude d"un coût moyende production: c"est l"objet de la partie B.

PartieA

Une étude a permis d"établir le tableau suivant où, pour différentes observations,xidésigne la quan-

tité de produit (en milliers d"unités) que la clientèle est disposée à acheter, etyile prix de vente (en

francs) d"une unité : xi1,53581112 yi120110100908070

Ainsi, pour que la clientèle soit disposée à acheter 5000 unités, le prix de vente d"une unité doit être

fixé à 100 F.

1.Représenter le nuage de points associé à cette série statistique.

Prendre 1 cm pour 1 millier d"unités en abscisse, et 1 cm pour 10 francs en ordonnée.

Dans les questions suivantes, le détail des calculs statistiques n"est pas demandé; les résultats

seront donnés à10-2près.

2.Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette sériestatistique.

Un ajustement affine est-il approprié? justifier la réponse.

3. a.Donner une équation de la droite d"ajustement deyenx, obtenue par la méthode des

moindres carrés.

b.D"après ce modèle, comment faut-il fixer le prix de vente d"une unité si l"on veut pouvoir

vendre un minimum de 6500 unités?

4.On admet que le prix de vente d"une unité, noté PV, est une fonction de la demandex(en

milliers d"unités) définie, pourx?[2; 15], par :

PV(x)=-4,33x+124,2.

Représenter la fonction PV dans le repère utilisé dans la question 1.

PartieB

Le coût total de production (en francs) dexmilliers d"unités est, pourx?[2 ; 15] :

CT(x)=105[x+4-3ln(x)]

et le coût moyen de production d"une unité est, pourx?[2; 15]

CM(x)=CT(x)

1000x.

1.On note CM?la dérivée de la fonction CM.

Calculer CM

?(x) et démontrer que CM?(x) a le même signe que ln(x)-7

3pour toutx?[2; 15].

2.Résoudre sur l"intervalle [0 ;+∞[ l"inéquation ln(x)-7

3?0.

3. a.Étudier les variations de CM sur l"intervalle [2; 15].

b.Tracer la représentation graphique de CM dans le repère utilisé dans la partieA. c.À l"aide du graphique, déterminer l"ensemble des valeurs dexpour lesquelles l"entreprise peut faire un bénéfice. (On donnera la réponse sous forme d"unintervalle dont les bornes sont des entiers.)

Amérique du Nord5juin 1999

?Baccalauréat ES Antilles-Guyanejuin 1999?

EXERCICE14points

Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unitéssont 1 cm sur chaque axe. Construire

ce repère sur votre copie en plaçant l"origine du repère en bas et à gauche.

PartieA

1.Représenter la droite (D1) d"équation 3x+y=30, la droite (D2) d"équationx+4y=32 et la

droite (D

3) d"équationx+y=10.

2.Déterminer au moyen d"un calcul les coordonnées du point d"intersection I des droites (D1)

et (D 2).

3.Repérer graphiquement à l"aide d"une croix ("×») les points du plan dont les coordonnées

sont des nombres entiers positifs,xety, qui vérifient de plus les conditions :

3x+y?30 ;x+4y?32 ;x+y?10.

PartieB

Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées.

Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L"ar-

tisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour.

L"artisan ne dispose que de 32 mètres de tissu par jour. Il luifaut 1 mètre de tissu pour habiller une

petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée. On désigne parxle nombre de petites poupées et paryle nombre de grandes poupées produites dans une journée. L"artisan s"impose de fabriquer au moins 10 poupées par jour. On admet que les contraintes de l"énoncé correspondent aux conditions suivantes : xetysont deux nombres entiers positifs ; 3x+y?30 ; x?0 ;x+4y?32 ; y?0 ;x+y?10.

Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est représenté parS=x+y.

L"artisan veut que sa production journalièreSsoit maximum. Combien de poupées de chaque sorte doit-il fabriquer?

EXERCICE14points

Candidatsayantchoisi l"enseignementde spécialité

Une suite réelle (Un)n?Nest définie par son premier termeU0strictement positif et par la relation de

récurrence suivante : U n+1-Un=-0,04Un.

PartieA

1.En fonction deU0, calculerU1,U2etU3.

2.Démontrer que cette suite est une suite géométrique de premier termeU0et de raisonqque

l"on déterminera.

3.Quel est son sens de variation?

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

4.ExprimerUnen fonction deU0et den.

PartieB

Le 1 erjanvier 1997, la population d"une commune rurale était de 3000personnes. On admet que cette population a diminué de 4% par an.

1.Quelle a été la population de cette commune au 1erjanvier 1999?

2.Quelle sera la population de cette commune au 1erjanvier 2000?

3.À partir de quelle année la population chutera-t-elle à moins de 2000 personnes?

EXERCICE25points

Commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne la moyenneydes maximums de tension artérielle en fonction de l"âgex d"une population donnée.

Âgex364248546066

Tensiony1213,512,614,315,415

1.Représenter graphiquement le nuage de pointsM(x;y) dans un repère orthogonal. On pren-

dra pour unités graphiques 0,5 cm pour 1 an en abscisse et 3 cm en ordonnée pour l"unité de tension artérielle, l"origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ; 10).

2.Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre calculatrice.

a.Calculer à 10-2près le coefficient de corrélation entrexety. On admet qu"un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié. b.Déterminer l"équation dela droitederégressiondeyenxet lareprésenter (les coefficients seront donnés à 0,001 près). c.Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utili- sant la droite de régression? Comparer avec la tension réelle. d.Compléter le tableau de l"annexe en utilisant les valeurs de"a» et de "b» obtenues pour la droite de régression.

Calculer la somme des "carrés» de la dernière colonne, associée à cet ajustement (calcul

de la somme des résidus associés à cet ajustement).

Annexe :

À rendre avec la copie (après l"avoir complétée)

TABLEAUa=......b=......

xiyiaxi+byi-(axi+b)?yi-(axi+b)?2 3612

4213,5

4812,6

5414,3

6015,4

6615
Somme des "carrés» de la dernière colonne : .......

PROBLÈME11points

Le but du problème est l"étude d"une fonction et le calcul d"une aire liée à cette fonction.

Antilles-Guyane7juin 1999

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

PartieA

La courbe (Γ) ci-jointe (annexe 1) est la représentation graphique dansun repère orthonormal d"une

fonctiongdéfinie et dérivable sur ]0 ;+∞[.

Les points A?

1;3 2? et B? e;e22? appartiennent à la courbe (Γ) et la tangente en A à (Γ) est parallèle à l"axe des abscisses.

1.Déterminerg(1) ;g(e) etg?(1).

2.Déterminer les réelsaetb, sachant que la fonctiongest définie sur ]0 ;+∞[ par une expres-

sion de la forme : g(x)=x2

2+a+blnx.

3.Sachant queg(x)=x2

2+1-lnx, retrouver au moyen d"un calcul, le sens de variation deg. (Le

calcul des limites n"est pas demandé.) En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe degsur ]0 ;+∞[.

PartieB

On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=lnx x+x2.

1.Calculer les limites defen 0 et en+∞.

(On admet le résultat suivant : limite en+∞delnx x=0.)

2.Calculer la dérivéef?def.

Vérifier quef?(x)=g(x)

xpour tout réel positifx.

En déduire les variations def.

3.Montrer que la représentation graphique (C) defdans un repère orthonormal admet deux

asymptotes que l"on précisera. La courbe (C) defest donnée en annexe dans un repère orthonormal?

O,-→ı,-→??

, unité 2 cm sur chaque axe.

4.On admet l"existence d"un réelαunique, appartenant à?1

2; 1? tel quef(α)=0. Que repré- senteαpour la courbe (C)? Placer sur la courbe (C) le point I d"abscisseα.

Montrer que lnα=-α2

2. En déduire quef?(α)=1+α2α2.

PartieC

1.Calculer la dérivée de la fonctionhdéfinie sur ]0 ;+∞[ parh(x)=(lnx)2.

2.En déduire le calcul de J =?

t 1? lnx x? dx.

3.Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine plan limité par (C), l"axe des abs-

cisses, et les droites d"équationsx=1 etx=e.

Déterminer l"aire, en cm

2, de ce domaine.

Antilles-Guyane8juin 1999

Baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Annexe2

À rendre avec la copie (après l"avoir complétée)

Courbe

AB O 11 xy

Courbe(C)

0 101 O xy C

Antilles-Guyane9juin 1999

?Baccalauréat ES Asiejuin 1999?

EXERCICE14points

Le tableau suivant recense par clinique le nombre de postes du personnel non médical en fonction du nombre de lits de la clinique :

CliniqueC1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11

Nombre de litsxi1221777713510988185128120146100

Nombre de postesyi205249114178127122242170164188172

1.Représenter le nuage de points associé à lasérie statistique?xi;yi?dansle plan rapporté à un

repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 20 lits en abscisse et 1 cm pour 50 postes en ordonnée.

2.Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entrexety.

3.Donner une équation de la droite de régression deyenxpar la méthode des moindres carrés

(les détails des calculs ne sont pas demandés). Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies à 10-1près. Tracer cette droite dans le repère précédent.

4.Une clinique possède 35 lits.

a.En utilisant les résultats obtenus en 3, combien devrait-elle embaucher de personnel oc- cupant un poste non médical à temps plein?

b.En réalité, cette clinique dispose de 60 postes.Calculer la différence entre le nombre de postes réels et le nombre de postes théoriques

obtenu précédemment.

Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la situation théorique?

EXERCICE26points

Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité

Énoncé

Un grand club de ski français propose à la vente :

•des licences;

•des cartes neige à prix normal;

•des cartes neige à prix réduit pour les habitants de la commune.

Pour chacun deces titres vendus, il faut distinguer deux catégories: lacatégorie jeunes et lacatégorie

adultes. Le nombre de titres vendus pour la saison 98 se répartit de la manière suivante :

•8,5% de licences;

•77,5% de cartes neige à prix réduit;

•1,5% de licences catégorie jeunes;

•2,5% de cartes neige à prix normal catégorie jeunes.

De plus, parmi les personnes ayant acheté une carte neige à prix réduit, 86,5% sont des adultes.

On note :

L: l"évènement "La personne a acheté une licence»; CN: l"évènement "La personne a acheté une carte neige à prix normal»; CR: l"évènement "La personne a acheté une carte neige à prix réduit»; J: l"évènement "La personne est dans la catégorie jeunes»; A: l"évènement "La personne est dans la catégorie adultes».quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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