[PDF] Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers juin 2003

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?Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers? juin 2003

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

1. a.vn=(n+1)2

2n+1 n2

2n=?n+1

n?

2×12.

Or n+1 n=1+1net limn→+∞1n=0, donc limn→+∞n+1n=1 et limn→+∞? n+1n? 2 =1.

Finalement lim

n→+∞vn=1 2. b.PourtoutnaturelN>0,n+1>n?n+1 n>1??n+1n? 2 >1??vn>12. c.vn<3

4???n+1n?

2×12<34???n+1n?

2<32?n+1n 3

2??n+1<

3

2n??n?

3 2-1? >1??n>1? 3

2-1≈4,44. Il faut prendreN=4.

d.On vient de démontrer que pourn>4, alorsvn<3

4??un+1un<34??

u n+1<3 4un.

2. a.•Initialisation

Pourn=5, on a vu que u6<3

4u5. La relation est vraie au rang 5.

•Hérédité

Supposons que pourn?N,n>5 on aitun??3

4? n-5 u 5.

On aun+1<3

4unsoitun+1?34×?34?

n-5 u

5ou encoreun+1??34?

n+1-5 u 5 soit enfinun+1??3 4? n-4 u 5.

L"hérédité est démontrée.

La propriété est vraie au rang 5 et si elle est vraie à un rang quelconque supérieur ou égal à 5, elle est vraie au rang suivant. Conclusion : par le principe de la récurrence,pour tout entier natureln?

5,un??3

4? n-5 u 5. b.On au5?u5,u6?3

4u5,...,un??34?

n-5u5. En sommant toutes ces inégalités on obtient : S n?u5+3

4u5+···+?34?

n-5u5ou après factorisation : S n?u5? 1+3

4+···+?34?

n-5? La parenthèse est la somme des (n-5) premiers termes de la suite géo- métrique de premier terme 1 et de raison 3 4. S n=u51-?3 4? n-4

1-34=4u5?

1-?3 4? n-4? c.Puisque 1-?3 4? n-3<1, on aSn?4u5.

3.Defaçonévidente :Sn+1-Sn=un+1>0:lasuite(Sn)n?5estdonccroissante.

Comme elle est majorée par 4u5elle converge vers une limite??4u5.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Réservéaux candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

1.Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :

a.comprise entre 50 et 100 km;Cetteprobabilitéestégaleà? 100
501
82e-x

82dx=?

-e-x82?10050=-e-10082+e-5082≈ 0,248

b.supérieure à 300 km.On calcule la probabilité de parcourir moins de 300 km ou 300 km qui est?300

01 82e-x

82dx=?

-e-x82?3000=1-e-30082. La probabilité de parcourir plus de 300 km est donc égale à e -300

82≈0,026

2.On calculep(D?350)(D?375)=p(D?25)=e-25

82≈0,737.

3.Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.

a.On poseu(x)=xetv?(x)=1

82e-x82, d"où

u ?(x)=1 etv(x)=-e-x 82.
Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur [0 ;+∞[. On peut donc intégrer par parties :

I(A)=?

-xe-x 82?A
0+? A 0 e-x82dx=? -xe-x82+82e-x82?A

0=e-A82(-82-A)+82.

b.On a limA→+∞82 eA82=0 et limA→+∞AeA82=0, donc finalement : lim

A→+∞I(A)=82.

La distance moyenne parcourue sans un incident est de 82 jours.

4. a.On a un schéma de Bernoulli avec comme paramètres N0et de probabi-

lité e d 82
La variableXdprend comme valeur le nombre de "succès» au cours des N

0épreuves.

b.L"espérance deXdest égale à N0ed 82

EXERCICE26 points

Réservéaux candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.Éléments de symétrie de la surfaceT.

a.Siz=x2y, alorsz=(-x)2y. Les points (x;y;z) et (-x;y;z) sont symétriques autour du planyOz d"équationx=0. b.Siz=x2y, alors-z=(-x)2(-y),cequi montre que le point (-x;-y;-z) appartient lui aussiàlasurface.Lepoint Oest doncun centredesymétrie deT.

2.Intersections de la surfaceTavec des plans parallèles aux axes.

a.Soity=al"équation d"un plan parallèle au plan (xOz). Les coordonnées des points communs à ce plan et àTvérifient :?z=x2y y=a??z=ax2 y=a

•Sia<-1 ou sia>1, l"intersection est vide;

•Si 1?a?1 ceci représente l"équation d"une parabole d"axe Oz(sauf si a=0). L"intersection est l"arc de parabole limité aux points d"abscisse-1 et 1.

Centres étrangers2juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Soitx=bl"équation d"un plan parallèle au plan (yOz). Les coordonnées des points communs à ce plan et àTvérifient :?z=x2y x=b??z=b2y x=b Ceci représente l"équation d"une droite contenant O dans leplan paral- lèle au plan (yOz). L"intersection est donc un segment limité aux points d"ordonnées-1 et 1 (sauf sib=0).

3. a.Lescoordonnéesdespoints communs àlasurfaceTetaupland"équation

z=0 vérifient :?z=x2y z=0??0=x2y z=0??0=x z=0ou?0=y z=0

Ceci représente les axes Oxet Oy.

b.Les points communs àTet au plan d"équationz=kont des coordonnées qui véri- fient : ?z=x2y z=ksoitx2y=k??y=k x2. Comme 0?k?1, cette courbe est limitée à un arc d"extrémités (-1 ;k;k) et (1 ;k;k). c.Exemple de tracé aveck=0,25 : -11 1-1 k k?k

4.On note (D)le domaine formé des points ducube unité situés sous la surface

T. (D)=M(x,y,z)?(E) avec 0?x?1 ; 0?y?1 ; 0?z?x2y. a.L"ensemble des points et défini par : k?x?1 etky2?y?1

Son aire estS(k)v=?

1 k?

1-kx2dx=?

x+kx? 1 ?k=1+k-?k-k?k=

1+k-2?

k=? 1-?k? 2. b.On rappelle queV=? 1 0

S(k)dk=?

1 0?

1+k-2?

k? dk. Or k=k12dont une primitive est23k32, donc : V=? x+k2

2-43k32?10=1+12-43=32-43=9-86=16(u. a.).

PROBLÈME9 points

f(x)=1+xln(x+2).

Centres étrangers3juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

I. Étude de la fonctionf

1. a.festdérivablecarsommedefonctionscomposéesdérivablesur]-2;+∞[

et sur cet intervalle : f ?(x)=ln(x+2)+x x+2; f ??(x)=1 x+2+x+2-x(x+2)2=1x+2+2(x+2)2. b.f??(x) est une somme de termes positifs, donc est positive; il s"ensuit que f ?(x) est croissante sur ]-2 ;+∞[. c.limx→-2ln(x+2)=-∞et comme limx→-2x x+2=-∞, on a donc lim x→-2f?(x)=-∞. lim x→+∞ln(x+2)=+∞et limx→+∞x x+2=1, donc limx→+∞f?(x)=+∞. Conclusionf?(x)estcroissantede-∞à+∞,doncs"annule uneseule fois sur l"intervalle ]-2 ;+∞[ .

2.Étude du signe def?(x).

a.On af?(-0,6)=1-0,6ln1,4≈ -0,09 etf?(-0,5)=1-0,5ln1,5≈0,07 la fonctionf?est continue car dérivable et strictement croissante sur ]-0,6 ;-0,5[ : elle s"annule donc une seule fois sur cet intervalle enα avec-0,6<α<-0,5. b.On en déduit que :•sur ]-2 ;α[,f?(x)<0;

•f?(α)=0;

•sur ]α;+∞[,f?(x)>0.

3.Étude des variations def

précédent montre que :

•sur ]-2 ;α[,fest décroissante

•f(α)=1 est le minimum de la fonction

•sur ]α;+∞[,fest croissante.

b.•On a limx→-2ln(x+2)=-∞, donc limx→-2f(x)=+∞(par produit par-2;

•Ona limx→+∞ln(x+2)=+∞,donc limx→+∞xln(x+2)=+∞etenfin limx→+∞f(x)=

c.On a donc le tableau de variations suivant : x-2α+∞ f ?(x) f- 0+ f(α)+∞ II. Positionde la courbe (Cf) par rapportà ses tangentes

1.Étude des variations ded.

a.d(x)=f(x)-?f?(x0)(x-x0)+f(x0)?;dest une somme de fonctions dé- rivables sur ]-2 ;+∞[ et sur cet intervalle : d ?(x)=f?(x)-1f?(x0)=f?(x)-f?(x0).

Centres étrangers4juin 2003

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.On a vu quef?est croissante sur ]-2 ;+∞[, donc :

•six

•six>x0,f?(x)>f?(x0)??d?(x)>0.

dest donc décroissante sur ]-2 ;x0[ et croissante sur ]x0;+∞[ avec bien entendud(x0)=0 qui est le minimum de la fonction. Par conséquent d(x)?0 sur ]-2 ;+∞[.

2.Le résultat précédent signifie géométriquement que la courbe?Cf?est au

dessus de la tangenteTx0, quel que soitx0: la courbe est donc au dessus de ses tangentes.

III. Tracésdansle repère

O,-→ı,-→??

1.Déterminer une équation de la droiteT0, tangente On sait qu"une équation

de la tangente à?Cf?au point d"abscissex0est y=f?(x0)(x-x0)+f(x0);doncpourx0=0etf(x0)=1(onsaitque limx→0xlnx=

0) etf?(x0)=ln2 :

M(x;y)?T0??y=ln2(x-0)+1??y=xln2+1.

soit

0= -x0f?(x0)+f(x0)?? -x0?

ln (x0+2)+x0 x0+2? +1+x0ln(x0+2)??quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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