Théorie de la mesure et de lintégration PDF

Formation Professionnelle ENFANCE FAMILLE ET

Les professionnels de l'enfance et de la famille interviennent L'Université Savoie Mont Blanc et son Institut Universitaire de Formation Professionnelle ...

GUIDE des FORMATIONS 2022

Fondé en 1974 par la juriste Emma Gounot l'Institut Société & Famille est le seul (2) l'Université Savoie Mont Blanc

Cérémonie de remise des Prix de la Fondation Pierre Dumas

hospitalier Métropole Savoie accueillent des bébés des deux Savoie

Les flux migratoires en Savoie et Haute-Savoie: 1860-2015 Rapport

17 juil. 2018 III.17 Présence des familles et problèmes de cohabitation ... d'émigration et d'immigration sur les deux Savoie.

Évaluation des risques professionnels

L'Institut national de recherche et de sécurité (INRS) par un représentant de chacun des deux collèges. ... 42 Loire 69 Rhône

Lapproche par compétences : un levier de changement des

3.1.1 Situation professionnelle situation d'apprentissage et famille de situations . II. Institut national de santé publique du Québec ...

Accompagnement du deuil et postvention

Accueil écoute et accompagnement par des bénévoles des familles (parents

Théorie de la mesure et de lintégration

On appelle tribu ou ?-algèbre sur X une famille M de parties de est une famille dénombrable d'ensembles mesurables deux à deux disjoints alors.

specification technique de lachat public - laits et produits laitiers

exceptions notables : la tomme de Savoie qui varie de 20 à 40% de MG le fromage collectivité

Les cotutelles internationales de thèse

coopération scientifique bilatérale où l'expertise de deux directeurs de désigner : un Centre de Recherche une Équipe d'Accueil

Pays de Savoie LE BAROMÈTRE DE LA NATURE

Pourquoi les 2 Savoie ? Quand on parle de nature comme d’ailleurs de bien d’autres sujets (histoire culture pratiques) les deux Savoie sont bien de la même famille Les rassembler dans cet état des lieux était une évidence d’autant plus que les acteurs de la préservation de la nature

Rapport annuel 2017 - Unifr

domaine de la famille (ci-après : Institut de la Famille) est une unité de recherche et de formation interdisciplinaire de l’Université de Fribourg Il est chargé de promouvoir la recherche actuelle dans le domaine de la famille et de la mettre à la disposition des professionnels et des familles Les domaines

JP Gaillard : Institutions et violence 10 mai 2001

Résumé et notes de participants à l'atelier tenu le 29 05 2001 à l'Institut de la Famille Genève (www institutdelafamillegeneve org) Jean-Paul Gaillard a une formation de psychanalyste et de thérapeute de famille il est enseignant chercheur à l'université de Savoie etc Le sujet du séminaire porte sur les violences quotidiennes

Petite histoire de la psychiatrie - chs-savoiefr

L’amorce de la psychiatrie de l’enfant au tournant du siècle se poursuit autour de l'école de la Salpêtrière entre les deux guerres mondiales sous l'impulsion notamment de Georges HEUYER qui s'émancipe à la fois des modèles psychiatriques centrés sur l'Asile et de la pédagogie Elle s’est développée au

PARENTS EXASPÉRÉS – ENFANTS TERRIBLES Daniel Roy

De ces deux rencontres et de nombreuses autres se déduit une perspective précise : les crises les colères l’enfant qui n’écoute pas que les parents ne peuvent pas gérer tout en s’exténuant à le faire nous pouvons considérer tout cela comme le principe organisateur de la famille

Searches related to institut de la famille les deux savoie filetype:pdf

Histoire de la famille Duparc transmise par Bernard Paul Duparc reprenant un texte rédigé par Pierre Duparc Pierre DUPARC UNE FAMILLE La Savoie est le berceau de notre famille En effet les seize générations connues se succèdent dans la région qui s’étend du Salève au Semnoz de Genève à Annecy

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L"INTÉGRATION.

THIERRYGALLAY

Transcrit par Tancrède LEPOINT

2009

UNIVERSITÉJOSEPHFOURIER, GRENOBLE

TABLE DES MATIÈRES

Avant-proposv

Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . v

Introductionvii

1 Théorie générale de la mesure1

1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1

1.2 Définition et exemples de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3

1.3 Exemple : l"ensemble de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

1.4 Complétion des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

2 Théorie générale de l"intégration9

2.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

2.1.2 Stabilité de la classe des fonctions mesurables . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Les fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2.2.2 Définition de l"intégrale d"une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Intégration des fonctions mesurables positives. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 17

2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

2.4 Fonctions intégrables à valeurs dansRouC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Cas deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Cas deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 23

2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25

2.5.1 Comparaison avec l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 25

2.5.2 Intégrales dépendant d"un paramètre . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29

2.5.3 Application : la fonctionΓd"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Mesure de Lebesgue surRd39

3.1 Mesures extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41

3.3 Classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 45

3.4 Propriétés de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

iii

4 Intégration sur les espaces produits55

4.1 Produit d"espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 57

4.3 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 59

4.3.1 Enoncés des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 59

4.3.2 Discussions sur les théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 61

4.4 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 63

4.4.1 Intégration par parties dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.2 Calcul de l"intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 64

4.4.3 Mesure de la boule unité dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.4 Epigraphe d"une fonction mesurable . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 66

4.5 Complétion des mesures produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 67

5 Changements de variables dansRd69

5.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 73

5.2.1 Coordonnées polaires dans le planR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.2 Coordonnées sphériques dans l"espaceR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.3 Généralisation àRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 EspacesLpetLp79

6.1 Généralités sur les espacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Inclusions des espacesLpouLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Théorèmes de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 87

6.4 Le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 89

6.4.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 89

6.4.2 Régularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 91

7 Transformation de Fourier95

7.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Etablissement d"un cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2.1 L"espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 99

7.2.2 La transformée de Fourier dansL2(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Formules de la transformation de Fourier surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 102

7.4.1 A la rescousse des équations différentielles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.2 L"équation de la chaleur à une dimension . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 103

A Mesure de Hausdorff105

A.1 Compléments sur les mesures extérieures . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105

A.2 Définition de la mesure de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 107

A.3 Propriétés et dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 109

A.4 Exemples de mesures et de dimension de Hausdorff . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 111 iv

AVANT-PROPOS

Ce polycopié est le support du cours deThéorie de la mesure et de l"intégrationenseigné à l"université

Joseph Fourier de Grenoble en troisième année de licence de mathématiques fondamentales par Thierry

Gallay

1. Il a été transcrit tout au long de l"année et ne saurait en aucun cas remplacer le cours.

Ce document est très proche du cours enseigné, et excepté quelques infimes modifications (et l"annexe),

il retranscrit le cours tel qu"il a été donné à tous les étudiants. En conséquence de quoi, il n"est pas un ap-

profondissement du cours, au contraire des livres disponibles dans la bibliographie. L"annexe présente

la mesure de Hausdorff, née une quinzaine d"année après celle de Lebesgue, qui permet notamment la

mesure d"objets de dimension inférieures, et n"a pas été traitée en cours. Elle nécessite de connaître les

chapitres 1et3. Pour toute remarque,suggestion ou correction concernant ce document, merci de me contacter pour que je puisse modifier et corriger ce polycopié.

Tancrède Lepoint.

http ://www.kilomaths.com/ tanc/

Tancrede.Lepoint@e.ujf-grenoble.fr

BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE

N. Bourbaki,Éléments de mathématiques, livre VI : Intégration, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1952-1969.

M. Briane et G. Pagès,Théorie de l"intégration, Vuibert, Paris, 2000. J. L. Doob,Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics143, Springer, New-York, 1994. R. M. Dudley, /em Real analysis and probability, Cambridge Studies in Advanced Mathematics74,

Cambridge University Press, 2002.

P. R. Halmos,Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics18, Springer, 1974. E. H. Lieb et M. Loss,Analysis, Graduate Studies in Mathematics14, AMS, Providence, 1997. W. Rudin,Analyse réelle et complexe, Masson, Paris, 1980. W. Rudin, Real and complex analysis (3ème éd.), McGraw-Hill, New York, 1987.

J. Yeh,Real analysis. Theory of measure and integration(2ème éd.), World Scientific, Hackensack, 2006.

1. Thierry Gallay -http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ gallay/ - Thierry.Gallay@ujf-grenoble.fr

INTRODUCTION

Unethéorie de l"intégrationest un procédé qui associe à toute fonctionf(dans une certaine classe) un

nombreI(f), appeléintégrale defet qui vérifie certaines propriétés (linéarité, positivité, ...).

Exemple (fondamental).On retrouve pour la première fois l"exemple suivant (actuellement connu comme

l"intégrale de Riemann) dans le cours de Cauchy en 1820. SoitC0([a,b],R)l"espace des fonctions continues sur un intervalle[a,b]à valeurs dansR. Pour tout f? C0([a,b],R), la limite suivante existe :

I(f) = limN→+∞b-a

NN-1? i=0f(a+ib-aN)(1)

La correspondancef?→I(f)est :

-linéraire: -I(f1+f2) =I(f1) +I(f2),?f1,f2? C0([a,b],R) -I(λf) =λI(f),?f? C0([a,b],R),?λ?R -positive: Sif?0, alorsI(f)?0. Dans ce cas,I(f)a une interprétation graphique (figure

1) : c"est

l"aire sous le graphe def. ab I(f)FIGURE1 - Interprétation graphique de l"intégrale d"une fonctionpositive Remarque.Il n"est pas nécessaire d"utiliser une subdivision régulière pour calculerI(f).

Pour toutε >0, il existeδ >0tel que pour toute subdivisiona=x0< x1<···< xN=bde l"intervalle

[a,b]tel quemaxi=1,...,N(xi-xi-1)?δet pour tous pointsξi?[xi-1,xi],i= 1,...,Non a : ?I(f)-N? i=1f(ξi)(xi-xi-1)????? ?ε(2) vii

Mais pourquoi appelle-t-oncela l"intégrale de Riemann?Riemann s"est demandé pour quelles classes

de fonctions les procédés (

1) et (2) permettent de définir l"intégrale. Est-il nécessaire de selimiter aux

fonctions continues? Il a remarqué en 1854 que l"on pouvait utiliser ces procédés pour une certaine

classe de fonctions non continues. Les fonctionsf: [a,b]→Rpour lesquelles on peut définirI(f)par

1) et (2) sont appelées des fonctionsintégrablesau sens de Riemann.L"intégraleI(f)est souvent notée

I(f) =?

b a f(x)dx.

Limitations de l"intégrale de Riemann.

- Toute fonctionf: [a,b]→Rintégrable au sens de Riemann estbornée.

En pratique, ce n"est pas très gênant, on peut généraliser unpeu le procédé pour intégrer certaines

fonctions non bornées.

Exemple.?

1 01 ⎷xdxpeut être définie commelimε→0? 1

ε1⎷xdx= 2

- Soitf: [0,1]→Rdéfinie parf(x) =?1six?Q

0sinon. C"est la fonction indicatrice des rationnels, etf

n"estpas intégrableau sens de Riemann. En effet, dans le procédé (

2) on peut choisir tous lesξiration-

nels (respectivement irrationnels) et on en déduit queI(f)vaudrait1(resp.0)...

Henri Lebesgue (mathématicien français du début duXXèmesiècle) a montré qu"une fonction bornée

f: [a,b]→Rest intégrable au sens de Riemann si et seulement si l"ensemble de ses points de discon-

tinuité est négligeable. Un ensembleA?Rest dit négligeable si?ε >0,Apeut être recouvert par une union dénombrable d"intervalles dont la somme des longueurs est?ε.

-Intégrales et primitives.SoitF? C0([a,b],R). SiFest dérivable sur]a,b[et sif=F?, a-t-on nécessai-

rement le théorème fondamental du calcul intégral? b a f(x)dx=F(b)-F(a)? La réponse est non, il n"y a aucune raison quefsoit intégrable au sens de Riemann.

-Limites simples.Soitfn: [a,b]→Rune suite de fonctions intégrables au sens de Riemann. On suppose

que?x?[a,b],limn→+∞fn(x) =f(x).

A-t-on que

b a f(x)dx= limn→+∞? b a f n(x)dx? Si il y a convergence uniforme, on sait que cela est vrai,

sinon un contre exemple est facile à trouver. En fait, la question est mal posée : même si l"on suppose

que|fn(x)|?M,?n?N,?x?[a,b], la limitefn"est en général pas intégrable au sens de Riemann.

Remarque.Par contre, on peut montrer que, sous ces hypothèses, la limite des intégrales est toujours

définie.

Remarque.Tout cet exemple fondamental se généralise au cas des fonctionsf:Rd→R. Il faut remplacer

les intervalles[a,b]par despavésde la formeΠ = [a1,b1]× ··· ×[ad,bd]

Unethéorie de la mesureest un procédé qui associe à tout ensembleA(dans une certaine classe) un

nombre positifμ(A), appelémesure deA, et qui vérifie certaines propriétés (monotonie, additivité, ...).

En dimension 1, la mesure correspond à la longueur, à l"aire en dimension 2 et au volume au dimension

3, d"où la généralisation.

Intégration et mesure sont étroitement liées. SiA?Rd, on définitla fonction indicatricedeApar

A(x) =?1six?A

0sinon,1A:Rd→R.

Si1Aest intégrable (pour un certain procédé d"intégration), onpeut définir la mesure deAparμ(A) =?

1 A(x)dx. On obtient ainsi une applicationμqui vérifie les propriétés suivantes : viii

Introduction

-monotonie: SiA?B, alorsμ(A)?μ(B)(car1A?1B). -additivité: SiA∩B=∅alorsμ(A?B) =μ(A) +μ(B)(car1A?B=1A+1B). Remarque.Quels sont les sous-ensembles deRdqui sont intégrables au sens de Riemann?On dit queA?Rdestquarrablesi1Aest intégrable au sens de Riemann. On peut montrer queA?Rdest quarrable si et seulement siAest bornée et si∂Aest négligeable. Attention!Un espace compact deRdn"est pas nécessairement quarrable.

Mais alors, peut-on définir une mesure sur tout sous-ensemble deRd? On cherche à construire une

applicationμ:P(Rd)→Rqui vérifie : -μest additive -μest invariante par translation et rotation -μ([0,1]d) = 1.

Attention!Une telle mesure n"existe pas sid?3. Une démonstration de ceci utilise l"axiome du choix.

C"estle paradoxe de Banach-Tarski(1923) :Il est possible de découper la boule unité deR3en un nombre fini

de morceaux et de les réarranger (après translations et rotations) de façon à obtenir deux copies de la boule unité.

Moralité:On nepeutpasmesurertous les sous-ensembles deRd.Il fautserestreindreàunesous-famille Mqui possède au moins les propriétés suivantes : -∅? M - SiA,B? M, alorsA?B? MetA∩B? M - SiA,B? MalorsA\B? M Mest unanneau booléen. Par exemple, les ensembles quarrables forment un anneau. Si on a une théorie de la mesure, on peut en déduire une théoriede l"intégration. Idée de la construction de l"intégrale à partir de la mesure (Henri Lebesgue, 1901).

Soitf:Rd→[0,1]. Contrairement à la théorie de l"intégration de Riemann quisubdivise l"espace de

départ de la fonction, ici on utilise une subdivision régulière de l"espace d"arrivée de la fonction[0,1].

On peut approcherfpar une fonctionétagéede la forme f N=N? i=1i

N1{x/i-1N
Remarque.On peut aussi écrirefN=N?
i=11
N1{x/f(x)>i-1N}.

Pour chaqueN, on définit
f
Ndμ=N?
i=1i
Nμ({x/i-1N< f(x)?iN})
N? i=11
Nμ({x/f(x)>i-1N})
En passant à la limite quandNtend vers+∞, on trouve formellement fdμ=? 1 0
μ({x/f(x)?t})dt

Intégrale de Riemann
ix x?
CHAPITRE1

THÉORIE GÉNÉRALE DE LA MESURE

1.1 ESPACES MESURABLES
Définition 1.1.SoitXun ensemble. On appelletribuouσ-algèbresurXune familleMde parties de
Xpossédant les propriétés suivantes :
i)X? M ii) SiA? M, alorsA?? M(oùA?=X\Aest le complémentaire deAdansX) iii) SiAn? M,?n?N, alors? n?NAn? M Les éléments deMsont appelés lesparties mesurablesdeX. On dit que(X,M)est unespace mesu- rable.
Remarque.Si au lieu de iii) on demande seulement
iii") SiA,B? M, alorsA?B? M c"est-à-dire la stabilité deMpar intersection finie, alors on obtient unanneau booléen.
Conséquences:-∅? McarX? M
- SiAn? M,?n?Nalors? n?NAn? M(car?? n?NAn? n?NA?n) -Mest stable par intersection ou union finie. - SiAetBsont mesurables, alors la différence non symétrique
1A\B=A∩B?? M
Evidemment, tout ensembleXpossède des tribus, par exemple : -M={∅,X}la plus petite -M=P(X)la plus grande Pour construire des tribus "intéressantes" surX, on utilise souvent le résultat suivant : Lemme 1.2.Soit{Mi}i?Iune famille quelconque de tribus surX. AlorsM=? i?IMiest encore une tribu surX. Démonstration.La vérification est immédiate.?
1. Dans ce cours, on utilise la différence non symétrique. Onpeut aussi définir la différence symétrique

A?B= (A\B)?(B\A) = (A∩B)?∩(A?B)
mais elle ne sera pas utilisée ici. 1
1.1. ESPACES MESURABLES
Définition 1.3.SoitFune famille de parties deX. On note
σ(F) =?

Mtribu surX,M?FM
Alors,σ(F)est une tribu surXappeléetribu engendrée parF. C"est la plus petite tribu surXqui contientF. Définition 1.4 (Rappel).UnetopologiesurXest une familleTde parties deXtelles que : -∅? T,X? T - SiO1,...,On? T, alors?ni=1Oi? T - Si{Oi}i?Iest une famille quelconque d"éléments deTalors? i?IOi? T Les éléments deTs"appellentles ouvertsdeX. On dit que(X,T)est unespace topologique. Définition 1.5 (Tribu de Borel).Soit(X,T)un espace topologique. On appelletribu de Borel surX la tribu engendrée par les ouverts deX:M=σ(T). Considérons plus en détail le cas de la tribu de Borel surRnotéeB(R) -B(R)contient tous les ouverts et tous les fermés deR -B(R)contient les unions dénombrables de fermés (ensemblesFσ) -B(R)contient les intersections dénombrables d"ouverts (ensemblesGδ) - ... et bien plus encore. On peut montrer que la tribuB(R)a la puissance du continu. En conséquence,B(R)?=P(R). Proposition 1.6.La tribuB(R)est engendrée par les intervalles]a,+∞[poura?R
Démonstration.SoitMla tribu engendrée par les intervalles]a,+∞[oùa?R. Par construction,M ?
B(R).
D"autre part,?a?Ron a[a,+∞[ =?
n?N? a-1 n,+∞? ? M. Par complémentaire,]-∞,a[ = [a,+∞[?? M. Par intersection, sia < b,]a,b[ = ]-∞,b[?]a,+∞[? M.
On sait que tout ouvert deRest une réunion au plus dénombrable d"intervalles de la forme]-∞,a[,
]a,b[,]a,+∞[, doncMcontient tous les ouverts deRetM ? B(R).?
Remarque.B(R)est engendré par les intervalles]a,+∞[,a?Q. En effet, pour touta?R, il existe une
suite de rationnels(an)n?Ndécroissant versaet]a,+∞[ =∞? n=1]an,+∞[ Exercice (Pavés dyadiques dansRd).DansRd, on note?k?N,Pkl"ensemble des pavés de la forme ?0,2-k?d+n2-k,?n?Zd. On noteP=∞? k=0P k. a. Montrer que tout ouvert deRdest une réunion dénombrable de pavés dyadiques. b. En déduire que la tribu de BorelB(Rd)est engendrée parP. 2 CHAPITRE 1. THÉORIE GÉNÉRALE DE LA MESURE
1.2 DÉFINITION ET EXEMPLES DE MESURES

Définition 1.7.Soit(X,M)un espace mesurable.
On appellemesure positive surXune applicationμ:M →[0,+∞]vérifiant :
1.μ(∅) = 0

2.Additivitédénombrable: si{An}n?Nest une famille dénombrabled"ensembles mesurablesdeux

à deux disjoints alors
n?NA n? n?Nμ(An)
On dit que(X,M,μ)estun espace mesuré.
Commentaires.- On dira souvent "mesure" au lieu de "mesure positive" - La conditionμ(∅) = 0est nécessaire pour éviter des situations triviales. En effet,?A? M, on aA=A?∅?∅? ···, doncμ(A) =μ(A) +? n?Nμ(∅). Proposition 1.8 (propriétés élémentaires d"une mesure positive).
1.Monotonie: SiA,B? MetA?B, alorsμ(A)?μ(B)

2.Sous-additivité: SiAn? M,?n?Nalors
quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

[PDF] Théorie de la mesure et de lintégration