Exercices de mathématiques - Exo7
Propriétés de R. 1 Les rationnels Q. Exercice 1. 1. Démontrer que si r ? Q et x /? Q alors r+x /? Q et si r = 0 alors r.x /? Q. 2. Montrer que.
Cours de mathématiques - Exo7
Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. r + 2 est irrationnel car sinon comme les rationnels sont stables par somme
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l'ensemble des réels R par exemple 1
Exercices de mathématiques - Exo7
155 220.04 Propriétés de la sommme d'une série entière Donner un exemple de fonctions f et g de R dans R toutes deux non nulles et dont le produit est ...
Cours de mathématiques - Exo7
Il y a seulement trois propriétés à vérifier au lieu de huit ! Page 9. ESPACES VECTORIELS. 3. SOUS-ESPACE VECTORIEL (DÉBUT) 9.
Cours de mathématiques - Exo7
– (R?×) est un groupe commutatif
ALGÈBRE - Exo7
On fait la même chose mais il y a trois variables : P Q
Cours de mathématiques - Exo7
Propriété (ii). Supposons que Cr = Cs pour r < s. Si k est différent de r et de s la matrice An
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et si ?r ? on a r < r =? r ? . — Le suites de Cauchy : ce sont les suites (un)n? vérifiant la propriété. ?? > 0 ?N ?.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 18 **I. Montrer que ?n ? N ?x ? R
Propriétés de R - e Math
Exo7 Propriétés de R 1 Les rationnels Q Exercice 1 1 Démontrer que si r 2Q et x 2= Q alors r+x 2= Q et si r 6=0 alors r:x 2= Q 2 Montrer que p 2 62Q 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication H Correction H Vidéo [000451] Exercice 2 Montrer que ln3 ln2 est irrationnel
Sprl Exo7 - Poissonneries
Propriétés de R Vidéo partie 3 Densité de Q dans R Vidéo partie 4 Borne supérieure Fiche d'exercices ? Propriétés de R Motivation Voici une introduction non seulement à ce chapitre sur les nombres réels mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse
Propriétés de R - Maths
Exo7 Propriétés de R 1 Les rationnels Q Exercice 1 1 Démontrer que si r 2Q et x 2= Q alors r+x 2= Q et si r 6=0 alors r:x 2= Q 2 Montrer que p 2 62Q 3 En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel Indication H Correction H Vidéo [000451] Exercice 2 Montrer que ln3 ln2 est irrationnel
ZZZ Exo7 Z Propriétés de R ZZ - licencedemathematiquescom
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Exo7 - Cours de mathématiques - UPHF
1 Dé?nition et Propriétés Le groupe symétrique s’appele aussi le groupe des permutations Snc’est-à-dire l’ensemble des bijections d’un ensemble de n éléments vers lui-même Fixons un entier n >2 Proposition 1 L’ensemble des bijections de f12 ngdans lui-même muni de la composition des fonctions est un groupe noté
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V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et quels que soient f g fonctions de L1(R) et
Où se trouve la SPRL Exo7 ?
- Créée en 2007 la Sprl Exo7 est spécialisée dans la distribution des produits de la mer frais et surgelés, des moules, coquillages et crustacés. Exo7 dispose de points de vente aux détails un situé au centre de la ville de Spa ,l'autre au centre de la ville de Malmedy.
Qu'est-ce que le projet Exo7 ?
- Le projet Exo7 propose aux étudiants des fiches d’exercices de mathématique avec indications et corrections de niveau L1-L2-L3. Nous proposons dorénavant des vidéos d'exercices et de cours de maths ! Ces documents sont élaborés, corrigés par des enseignants du supérieur. Le site propose en plus aux enseignants des exercices non corrigés.
Est-ce que Exo7 est en ligne?
- Qui est en ligne ? EXO7 propose aux étudiants des cours, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématiques au niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence.
Quel est le nom du groupe EXO ?
- En décembre 2011, le boys band est finalement renommé « EXO », avec également EXO-K pour le sous-groupe de Corée du Sud et EXO-M pour le sous-groupe de Chine. Les douze membres ont progressivement fait leur entrée au sein du groupe de décembre 2011 à février 2012 8.
Exo7 Propriétés deR1 Les rationnelsQ
Exercice 11.Démontrer que si r2Qetx=2Qalorsr+x=2Qet sir6=0 alorsr:x=2Q. 2.Montrer que
p262Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.Montrer que
ln3ln2 est irrationnel. 1. Soit Nn=0;19971997:::1997 (nfois). MettreNnsous la formepq avecp;q2N. 2. Soit M=0;199719971997::::::Donner le rationnel dont l"écriture décimale estM. 3. Même questionavec:P=0;11111:::+0;22222:::+0;33333:::+0;44444:::+0;55555:::+0;66666:::+0;77777:::+0;88888:::+0;99999:::
Soitp(x) =åni=0aixi. On suppose que tous lesaisont des entiers. 1.Montrer que si pa une racine rationnelleab
(avecaetbpremiers entre eux) alorsadivisea0etbdivise a n. 2.On considère le nombre
p2+p3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d"un polynôme de degré 2. En déduire, à l"aide du résultat précédent qu"il n"est pas rationnel.Exercice 5Le maximum de deux nombresx;y(c"est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x;y). De même on notera
min(x;y)le plus petit des deux nombresx;y. Démontrer que : max(x;y) =x+y+jxyj2 et min(x;y) =x+yjxyj2 1Trouver une formule pour max(x;y;z).
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de :A=funjn2Ngen posantun=2nsinest
pair etun=2nsinon.Déterminer (s"ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand
élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0;1]\Q;]0;1[\Q;N; (1)n+1n 2jn2N SoientAetBdeux parties bornées deR. On noteA+B=fa+bj(a;b)2ABg. 1.Montrer que sup A+supBest un majorant deA+B.
2.Montrer que sup (A+B) =supA+supB.
SoitAetBdeux parties bornées deR.Vraioufaux?
1.AB)supA6supB,
2.AB)infA6infB,
3. sup (A[B) =max(supA;supB), 4. sup (A+B)4.En déduire que Qest dense dansR.
Soitf:R!Rtelle que
8(x;y)2R2f(x+y) =f(x)+f(y):
Montrer que
1.8n2Nf(n) =nf(1).
2.8n2Zf(n) =nf(1).
3.8q2Qf(q) =qf(1).
4.8x2Rf(x) =xf(1)sifest croissante.
Indication pourl"exer cice1 N1.Raisonner par l"absurde. 2.Raisonner par l"absurde en écri vant
p2=pq avecpetqpremiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer quepetqsont tous les deux pairs. 3.Considérer r+p2
2 (r0r)(faites un dessin !) pour deux rationnelsr;r0. Puis utiliser les deux questions précédentes.Indication pourl"exer cice2 NRaisonner par l"absurde !Indication pour
l"exer cice3 N1.Mutiplier Nnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.
2. Mutiplier Mpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraireMpour obtenir un nombre entier.Indication pourl"exer cice4 N1.Calculer bnp(ab )et utiliser le lemme de Gauss. 2.Utiliser la première question a vecp(x) = (x25)224.Indication pourl"exer cice5 NDistinguer des cas.
Indication pour
l"exer cice6 NinfA=0,An"a pas de borne supérieure.Indication pourl"exer cice8 NIl faut revenir à la définition de la borne supérieure d"un ensemble borné : c"est le plus petit des majorants. En
particulier la borne supérieure est un majorant.Indication pourl"exer cice9 NDeux propositions sont fausses...
Indication pour
l"exer cice10 N1.Rappelez-v ousque la partie entière de xest le plus grand entier, inférieur ou égal àx. Mais il est ici
2.Encadrer E(kx), pourk=1;:::;n.
3. Rappelez-v ousd"abord de la formule 1 +2++npuis utilisez le fameux théorème des gendarmes. 4.Les unne seraient-ils pas des rationnels ?
4 Indication pourl"exer cice11 N1.f(2) =f(1+1) =, faire une récurrence.2.f((n)+n) =.
3.Si q=ab
, calculerf(ab +ab ++ab )avecbtermes dans cette somme. 4.Utiliser la densité de QdansR: pourx2Rfixé, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une
autre qui décroit versx.5Correction del"exer cice1 N1.Soit r=pq
2Qetx=2Q. Par l"absurde supposons quer+x2Qalors il existe deux entiersp0;q0tels que
r+x=p0q0. Doncx=p0q
0pq =qp0pq0qq02Qce qui est absurde carx=2Q.
De la même façon sirx2Qalorsrx=p0q
0Et doncx=p0q
0qp . Ce qui est absurde.2.Méthode "classique".Supposons, par l"absurde, quep22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2=pq
. De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (petqsont premiers entre eux).En élevant l"égalité au carré nous obtenonsq22=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quep
est un nombre pair (si vous n"êtes pas convaincu écrivez la contraposée "pimpair)p2impair"). Donc
p=2p0avecp02N, d"oùp2=4p02. Nous obtenonsq2=2p02. Nous en déduisons maintenant queq2est pair et comme ci-dessus queqest pair. Nous obtenons ainsi une contradiction carpetqétant tous les deux pairs la fraction pq n"est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Doncp2=2Q. Autre méthode.Supposons par l"absurde quep22Q. Alorsp2=pq pour deux entiersp;q2N. Alors nous avonsqp22N. Considérons l"ensemble suivant : N=n n2Njnp22No Cet ensembleNest une partie deNqui est non vide carq2N. On peut alors prendre le plus petit élément deN:n0=minN. En particuliern0p22N. Définissons maintenantn1de la façon suivante :n1=n0p2n0. Il se trouve quen1appartient aussi àNcar d"une partn12N(carn0etn0p2 sont des entiers) et d"autre partn1p2=n02n0p22N. Montrons maintenant quen1est plus petit que n0. Comme 0 Bilan : nous avons trouvén12Nstrictement plus petit quen0=minN. Ceci fournit une contradiction. Conclusion :p2 n"est pas un nombre rationnel.
3. Soient r;r0deux rationnels avecr 2 (r0r). D"une partx2]r;r0[(car 00;q>0 des entiers. On obtient qln3=pln2. En prenant l"exponentielle nous obtenons : exp(qln3) =exp(pln2)soit 3q=2p. Sip>1 alors 2 divise 3
qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit à l"égalité 3q=1, doncq=0. La seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln3ln2 est irrationnel.Correction del"exer cice3 N1.Soit p=19971997:::1997 etq=100000000:::0000=104n. AlorsNn=pq
2. Remarquons que 10 000M=1997;19971997:::Alors 10000MM=1997 ; donc 9999M= 1997 d"oùM=19979999
3. 0 ;111:::=19
, 0;222:::=29 , etc. D"oùP=19 +29
++99 =1+2++99 =459 =5.Correction del"exer cice4 N6 1.Soit
ab 2Qavec pgcd(a;b) =1. Pourp(ab
) =0, alorsåni=0aiab i=0. Après multiplication parbn nous obtenons l"égalité suivante : a nan+an1an1b++a1abn1+a0bn=0: En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier parb, nous écrivonsanan+bq=0. Ceci entraîne quebdiviseanan, mais commebetansont premier entre eux alors par le lemme de Gauss bdivisean. De même en factorisant paratous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous
obtenonsaq0+a0bn=0 et par un raisonnement similaireadivisea0. 2. Notons g=p2+p3. Alorsg2=5+2p2
p3 Et donc g252=423, Nous choisissonsp(x) = (x25)224, qui s"écrit aussip(x) =x410x2+1. Vu notre choix dep, nous avonsp(g) =0. Si nous supposons quegest rationnel, alorsg=ab et d"après la première questionadivise le terme constant de p, c"est-à-dire 1. Donca=1. De mêmebdivise le coefficient du terme de plus haut degré dep, donc
bdivise 1, soitb=1. Ainsig=1, ce qui est évidemment absurde !Correction del"exer cice5 NExplicitonslaformulepourmax(x;y). Six>y, alorsjxyj=xydonc12
(x+y+jxyj)=12 (x+y+xy)=x. De même six6y, alorsjxyj=x+ydonc12
(x+y+jxyj) =12 (x+yx+y) =y. Pourtroiséléments, nousavonsmax(x;y;z)=maxmax(x;y);z, doncd"aprèslesformulespourdeuxéléments
max(x;y;z) =max(x;y)+z+jmax(x;y)zj2 12 (x+y+jxyj)+z+12 (x+y+jxyj)z2 :Correction del"exer cice6 N(u2k)ktend vers+¥et doncAne possède pas de majorant, ainsiAn"a pas de borne supérieure (cependant
certains écrivent alors supA= +¥). D"autre part toutes les valeurs de(un)sont positives et(u2k+1)ktend vers
0, donc infA=0.Correction del"exer cice7 N1.[0;1]\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0. 2.]0;1[\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément. 3.N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants :]¥;0]. La
borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 4. n (1)n+1n 2jn2No
. Les majorants :[54 ;+¥[. Les minorants :]¥;1]. La borne supérieure :54 . La borne inférieure :1. Le plus grand élément :54 . Pas de plus petit élément.Correction del"exer cice8 N1.Soient AetBdeux parties bornées deR. On sait que supAest un majorant deA, c"est-à-dire, pour
touta2A,a6supA. De même, pour toutb2B,b6supB. On veut montrer que supA+supBest un majorant deA+B. Soit doncx2A+B. Cela signifie quexest de la formea+bpour una2Aet un b2B. Ora6supA, etb6supB, doncx=a+b6supA+supB. Comme ce raisonnement est valide pour toutx2A+Bcela signifie que supA+supBest un majorant deA+B. 7 2.On v eutmontrer que, quel que soit e>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. On prend donc
une>0 quelconque, et on veut montrer que supA+supBene majore pasA+B. On s"interdit donc dans la suite de modifiere. Comme supAest le plus petit des majorants deA, supAe=2 n"est pas un majorant deA. Cela signifie qu"il existe un élémentadeAtel quea>supAe=2.Attention:supAe=2 n"est pas forcément dans A ;supA non plus.De la même manière, il existeb2Btel queb>supBe=2. Orl"élémentxdéfiniparx=a+bestunélémentdeA+B, etilvérifiex>(supAe=2)+(supBe=2)= supA+supBe:Ceci implique que supA+supBen"est pas un majorant deA+B. 3. sup A+supBest un majorant deA+Bd"après la partie 1. Mais, d"après la partie 2., dès qu"on prend
une>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. Donc supA+supBest bien le plus petit des majorants deA+B, c"est donc la borne supérieure deA+B. Autrement dit sup(A+B) =supA+supB.Correction del"exer cice9 N1.Vrai.
2. F aux.C"est vrai a vecl"h ypothèseBAet nonAB.
3. Vrai. 4. F aux.Il y a ég alité.
5. Vrai. 6. Vrai. Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition est l"unique nombre E(x)2Ztel que E(x)6x 2. Pour leréelkx, (k=1;:::;n)l"encadrementprécédents"écritE(kx)6kx s"écrivent aussiE(kx)6kxetE(kx)>kx1, d"où l"encadrementkx1Ce qui donne
xnå k=1knOn se rappelle que
ånk=1k=n(n+1)2
donc nous obtenons l"encadrement : x1n 2n(n+1)2
1n 2n(n+1)2
1n Conclusion :p2 n"est pas un nombre rationnel.
3.Soient r;r0deux rationnels avecr 2 (r0r). D"une partx2]r;r0[(car 00;q>0 des entiers. On obtient qln3=pln2. En prenant l"exponentielle nous obtenons : exp(qln3) =exp(pln2)soit 3q=2p. Sip>1 alors 2 divise 3
qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit à l"égalité 3q=1, doncq=0. La seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln3ln2 est irrationnel.Correction del"exer cice3 N1.Soit p=19971997:::1997 etq=100000000:::0000=104n. AlorsNn=pq
2. Remarquons que 10 000M=1997;19971997:::Alors 10000MM=1997 ; donc 9999M= 1997 d"oùM=19979999
3. 0 ;111:::=19
, 0;222:::=29 , etc. D"oùP=19 +29
++99 =1+2++99 =459 =5.Correction del"exer cice4 N6 1.Soit
ab 2Qavec pgcd(a;b) =1. Pourp(ab
) =0, alorsåni=0aiab i=0. Après multiplication parbn nous obtenons l"égalité suivante : a nan+an1an1b++a1abn1+a0bn=0: En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier parb, nous écrivonsanan+bq=0. Ceci entraîne quebdiviseanan, mais commebetansont premier entre eux alors par le lemme de Gauss bdivisean. De même en factorisant paratous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous
obtenonsaq0+a0bn=0 et par un raisonnement similaireadivisea0. 2. Notons g=p2+p3. Alorsg2=5+2p2
p3 Et donc g252=423, Nous choisissonsp(x) = (x25)224, qui s"écrit aussip(x) =x410x2+1. Vu notre choix dep, nous avonsp(g) =0. Si nous supposons quegest rationnel, alorsg=ab et d"après la première questionadivise le terme constant de p, c"est-à-dire 1. Donca=1. De mêmebdivise le coefficient du terme de plus haut degré dep, donc
bdivise 1, soitb=1. Ainsig=1, ce qui est évidemment absurde !Correction del"exer cice5 NExplicitonslaformulepourmax(x;y). Six>y, alorsjxyj=xydonc12
(x+y+jxyj)=12 (x+y+xy)=x. De même six6y, alorsjxyj=x+ydonc12
(x+y+jxyj) =12 (x+yx+y) =y. Pourtroiséléments, nousavonsmax(x;y;z)=maxmax(x;y);z, doncd"aprèslesformulespourdeuxéléments
max(x;y;z) =max(x;y)+z+jmax(x;y)zj2 12 (x+y+jxyj)+z+12 (x+y+jxyj)z2 :Correction del"exer cice6 N(u2k)ktend vers+¥et doncAne possède pas de majorant, ainsiAn"a pas de borne supérieure (cependant
certains écrivent alors supA= +¥). D"autre part toutes les valeurs de(un)sont positives et(u2k+1)ktend vers
0, donc infA=0.Correction del"exer cice7 N1.[0;1]\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0. 2.]0;1[\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément. 3.N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants :]¥;0]. La
borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 4. n (1)n+1n 2jn2No
. Les majorants :[54 ;+¥[. Les minorants :]¥;1]. La borne supérieure :54 . La borne inférieure :1. Le plus grand élément :54 . Pas de plus petit élément.Correction del"exer cice8 N1.Soient AetBdeux parties bornées deR. On sait que supAest un majorant deA, c"est-à-dire, pour
touta2A,a6supA. De même, pour toutb2B,b6supB. On veut montrer que supA+supBest un majorant deA+B. Soit doncx2A+B. Cela signifie quexest de la formea+bpour una2Aet un b2B. Ora6supA, etb6supB, doncx=a+b6supA+supB. Comme ce raisonnement est valide pour toutx2A+Bcela signifie que supA+supBest un majorant deA+B. 7 2.On v eutmontrer que, quel que soit e>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. On prend donc
une>0 quelconque, et on veut montrer que supA+supBene majore pasA+B. On s"interdit donc dans la suite de modifiere. Comme supAest le plus petit des majorants deA, supAe=2 n"est pas un majorant deA. Cela signifie qu"il existe un élémentadeAtel quea>supAe=2.Attention:supAe=2 n"est pas forcément dans A ;supA non plus.De la même manière, il existeb2Btel queb>supBe=2. Orl"élémentxdéfiniparx=a+bestunélémentdeA+B, etilvérifiex>(supAe=2)+(supBe=2)= supA+supBe:Ceci implique que supA+supBen"est pas un majorant deA+B. 3. sup A+supBest un majorant deA+Bd"après la partie 1. Mais, d"après la partie 2., dès qu"on prend
une>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. Donc supA+supBest bien le plus petit des majorants deA+B, c"est donc la borne supérieure deA+B. Autrement dit sup(A+B) =supA+supB.Correction del"exer cice9 N1.Vrai.
2. F aux.C"est vrai a vecl"h ypothèseBAet nonAB.
3. Vrai. 4. F aux.Il y a ég alité.
5. Vrai. 6. Vrai. Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition est l"unique nombre E(x)2Ztel que E(x)6x 2. Pour leréelkx, (k=1;:::;n)l"encadrementprécédents"écritE(kx)6kx s"écrivent aussiE(kx)6kxetE(kx)>kx1, d"où l"encadrementkx1Ce qui donne
xnå k=1knOn se rappelle que
2 divise 3
qdonc 2 divise 3, ce qui est absurde. Doncp=0. Ceci nous conduit à l"égalité 3q=1, doncq=0. La seule solution possible estp=0,q=0. Ce qui contreditq6=0. Doncln3ln2est irrationnel.Correction del"exer cice3 N1.Soit p=19971997:::1997 etq=100000000:::0000=104n. AlorsNn=pq
2. Remarquons que 10 000M=1997;19971997:::Alors 10000MM=1997 ; donc 9999M=1997 d"oùM=19979999
3.0 ;111:::=19
, 0;222:::=29 , etc. D"oùP=19 +29++99 =1+2++99 =459 =5.Correction del"exer cice4 N6
1.Soit
ab2Qavec pgcd(a;b) =1. Pourp(ab
) =0, alorsåni=0aiab i=0. Après multiplication parbn nous obtenons l"égalité suivante : a nan+an1an1b++a1abn1+a0bn=0: En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier parb, nous écrivonsanan+bq=0. Ceci entraîne quebdiviseanan, mais commebetansont premier entre eux alors par le lemme de Gaussbdivisean. De même en factorisant paratous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous
obtenonsaq0+a0bn=0 et par un raisonnement similaireadivisea0. 2.Notons g=p2+p3. Alorsg2=5+2p2
p3 Et donc g252=423, Nous choisissonsp(x) = (x25)224, qui s"écrit aussip(x) =x410x2+1. Vu notre choix dep, nous avonsp(g) =0. Si nous supposons quegest rationnel, alorsg=ab et d"après la première questionadivise le terme constant dep, c"est-à-dire 1. Donca=1. De mêmebdivise le coefficient du terme de plus haut degré dep, donc
bdivise 1, soitb=1. Ainsig=1, ce qui est évidemment absurde !Correction del"exer cice5 NExplicitonslaformulepourmax(x;y). Six>y, alorsjxyj=xydonc12
(x+y+jxyj)=12 (x+y+xy)=x.De même six6y, alorsjxyj=x+ydonc12
(x+y+jxyj) =12 (x+yx+y) =y.Pourtroiséléments, nousavonsmax(x;y;z)=maxmax(x;y);z, doncd"aprèslesformulespourdeuxéléments
max(x;y;z) =max(x;y)+z+jmax(x;y)zj2 12 (x+y+jxyj)+z+12 (x+y+jxyj)z2:Correction del"exer cice6 N(u2k)ktend vers+¥et doncAne possède pas de majorant, ainsiAn"a pas de borne supérieure (cependant
certains écrivent alors supA= +¥). D"autre part toutes les valeurs de(un)sont positives et(u2k+1)ktend vers
0, donc infA=0.Correction del"exer cice7 N1.[0;1]\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0.2.]0;1[\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure
: 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.3.N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants :]¥;0]. La
borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 4. n (1)n+1n2jn2No
. Les majorants :[54 ;+¥[. Les minorants :]¥;1]. La borne supérieure :54 . La borne inférieure :1. Le plus grand élément :54. Pas de plus petit élément.Correction del"exer cice8 N1.Soient AetBdeux parties bornées deR. On sait que supAest un majorant deA, c"est-à-dire, pour
touta2A,a6supA. De même, pour toutb2B,b6supB. On veut montrer que supA+supBest un majorant deA+B. Soit doncx2A+B. Cela signifie quexest de la formea+bpour una2Aet un b2B. Ora6supA, etb6supB, doncx=a+b6supA+supB. Comme ce raisonnement est valide pour toutx2A+Bcela signifie que supA+supBest un majorant deA+B. 72.On v eutmontrer que, quel que soit e>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. On prend donc
une>0 quelconque, et on veut montrer que supA+supBene majore pasA+B. On s"interdit donc dans la suite de modifiere. Comme supAest le plus petit des majorants deA, supAe=2 n"est pas un majorant deA. Cela signifie qu"il existe un élémentadeAtel quea>supAe=2.Attention:supAe=2 n"est pas forcément dans A ;supA non plus.De la même manière, il existeb2Btel queb>supBe=2. Orl"élémentxdéfiniparx=a+bestunélémentdeA+B, etilvérifiex>(supAe=2)+(supBe=2)= supA+supBe:Ceci implique que supA+supBen"est pas un majorant deA+B. 3.sup A+supBest un majorant deA+Bd"après la partie 1. Mais, d"après la partie 2., dès qu"on prend
une>0, supA+supBen"est pas un majorant deA+B. Donc supA+supBest bien le plus petit desmajorants deA+B, c"est donc la borne supérieure deA+B. Autrement dit sup(A+B) =supA+supB.Correction del"exer cice9 N1.Vrai.
2.F aux.C"est vrai a vecl"h ypothèseBAet nonAB.
3. Vrai. 4.F aux.Il y a ég alité.
5. Vrai. 6. Vrai. Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition est l"unique nombre E(x)2Ztel queE(x)6x 2. Pour leréelkx, (k=1;:::;n)l"encadrementprécédents"écritE(kx)6kx s"écrivent aussiE(kx)6kxetE(kx)>kx1, d"où l"encadrementkx1Ce qui donne
xnå k=1knPour leréelkx, (k=1;:::;n)l"encadrementprécédents"écritE(kx)6kx
ånk=1k=n(n+1)2
donc nous obtenons l"encadrement : x1n2n(n+1)2
1n2n(n+1)2
tend vers12 , donc par le théorème des gendarmes(un)tend versx2 4.Chaque unest un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite(un)tend
vers x2, alors la suite de rationnels(2un)tend versx. Chaque réelx2Rpeut être approché d"aussi près
que l"on veut par des rationnels, doncQest dense dansR.Correction del"exer cice11 N81.Calculons d"abord f(0). Nous savonsf(1) =f(1+0) =f(1)+f(0), doncf(0) =0. Montrons le
résultat demandé par récurrence : pourn=1, nous avons bienf(1) =1f(1). Sif(n) =nf(1)alors f(n+1) =f(n)+f(1) =nf(1)+f(1) = (n+1)f(1). 2.0 =f(0)=f(1+1)=f(1)+f(1). Doncf(1)=f(1). Puiscommeci-dessusf(n)=nf(1)=
nf(1). 3.Soit q=ab
. Alorsf(a) =f(ab +ab ++ab ) =f(ab )++f(ab )(btermes dans ces sommes). Donc f(a) =bf(ab ). Soitaf(1) =bf(ab ). Ce qui s"écrit aussif(ab ) =ab f(1). 4.Fixons x2R. Soit(ai)une suite croissante de rationnels qui tend versx. Soit(bi)une suite décroissante
de rationnels qui tend versx: a16a26a36:::6x66b26b1:
Alors commeai6x6biet quefest croissante nous avonsf(ai)6f(x)6f(bi). D"après la questionprécédent cette inéquation devient :aif(1)6f(x)6bif(1). Comme(ai)et(bi)tendent versx. Par le
"théorème des gendarmes" nous obtenons en passant à la limite :xf(1)6f(x)6xf(1). Soitf(x) = xf(1).9quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] Variables Aléatoires
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