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Universit´e du MaineMaster Ing´enierie M´ecanique et Acoustique

Traitement de signal

TP 3 : Densit´e spectrale de puissance

de signaux al´eatoires stationnaires ergodiques

1. Evaluation d"estimateurs spectraux

Objectif

: Il s"agit de comparer plusieurs estimateurs de la densit´espectrale de puissance d"un signal al´eatoire stationnaire et ergodique. Le signal dont on cherche la repr´esentation fr´equentielle est issu du filtrage lin´eaire d"un bruit blanc gaussien. Les coefficients du filtre ´etant connus, la densit´e spectrale th´eorique l"est aussi. Les performances des divers estimateurs sont alors ´eva- lu´ees en d´eterminant exp´erimentalement leurs biais et leurs variances.

R´ef´erence

: Traitement num´erique des signaux (M. Kunt), Presses polytech- niques romandes, 1984.

Mots-cl´es

: Estimateurs de DSP, p´eriodogrammes simple, moyenn´e, modifi´e (Welch), corr´elogramme, biais, variance

Fonctions Matlab

: sigaleat2.m, freqz.m, mean.m, var.m, psd.m, xcor.m

Indications

•La fonctionsig

aleat2.mfournie, permet de g´en´ererles signaux al´eatoires `a ´etudier, obtenus par filtrage passe-bas, au moyen d"un filtre de Cheby- shev, d"un bruit blanc gaussien de variance param´etrable.La fonction retourne ´egalement les coefficients du filtre. •La densit´e spectrale de puissance th´eorique d"un tel signal issu du filtrage d"un bruit blanc par un syst`eme lin´eaire de fonction de transfertH[m] est: S

X[m] =Teσ2|H[m]|2

o`uσ2est la variance du bruit blanc etTela p´eriode d"´echantillonnage. 1 •Le p´eriodogramme simple, estimateur de la densit´e spectrale de puis- sance (DSP) d"une s´equence discr`ete{x[n]}´echantillonn´ee surNpoints avec une p´eriode d"´echantillonnageTes"´ecrit :

SX(f) =|X(f)|2

N Te o`uX(f) est la transformation de Fourier de la s´equence{xn}:

X(f) =TeN-1?

n=0x[n]e-2jπfn Te En pratique, le p´eriodogramme simple s"obtient `a partir d"un algorithme rapide (FFT) de Transform´ee de Fourier Discr`ete (TFD) retournant la s´equence{X[m]}`a partir de la suite temporelle{x[n]}. Il s"´ecrit alors :

SX[m] =Te|X[m]|2

N Les divers p´eriodogrammes peuvent ˆetre obtenus `a l"aidede la fonction psd.m. L"utilisation suivante permet de d´eterminer la DSPˆSX[m] en utilisant le p´eriodogramme simple :

ˆS,f] =psd(x,N,fe,ones(1,N),0);

SX=TeˆS;

Le premier argument contient le signal `a ´etudier, le deuxi`eme indique le nombre de points pour l"algorithme FFT, le troisi`eme, lafr´equence d"´echantillonnage, le quatri`eme stipule la fenˆetre de pond´eration utilis´ee avec son nombre de points, le cinqui`eme, le nombre de pointsde recou- vrement entre les tron¸cons lorsqu"ils sont plusieurs. La fr´equence d"´echantillonnage n"est pas utilis´ee dansle calcul du p´erio- dogramme mais permet de retourner l"axe des fr´equences dans la variable f: l"intervalle [0,fe/2] (N/2+1 ´echantillons). C"est pourquoi l"obtention du p´eriodogramme th´eorique n´ecessite la multiplication par la p´eriode d"´echantillonnageTe. 2 •Le p´eriodogramme moyenn´eˆSBX[m] (ou de Bartlett) est un second esti- mateur de densit´e spectrale de puissance. Il consiste `a d´ecouper le signal d"´etude en plusieurs tron¸cons adjacents et `a moyenner les diff´erents p´e- riodogrammes simples calcul´es sur chaque tron¸con. L"estimateur peut ˆetre calcul´e `a l"aide de la fonction Matlabpsd.mutilis´ee ainsi :

ˆSB,f] =psd(x,M,fe,ones(1,M),0);

SBX=TeˆSB;

Chaque tron¸con comporteMpoints. Le nombre de moyennes effectu´e est iciN/M. L"axe des fr´equences [0,fe/2] comporteM/2 + 1 ´echantillons. •Le p´eriodogramme de WelchˆSWX[m] est une variante de l"estimateur pr´ec´edent. D"une part les fenˆetres de pond´eration ne sont pas rectangu- laires, d"autre part les tron¸cons se chevauchent. Le p´eriodogramme mo- difi´e est normalis´e par la puissance de la fenˆetre de pond´eration utilis´ee.

Il est obtenu par la commande suivante :

ˆSW,f] =psd(x,M,fe,hanning(M),M/2);

SWX=TeˆSW;

Ici, la fenˆetre utilis´eeest celle de Hanning pour un recouvrement(pr´econi- s´e par Welch) de 50 % du tron¸con, soitM/2 ´echantillons. •Le corr´elogrammeˆSCX[m] est ´egalement un estimateur de densit´e spec- trale de puissance. Il consiste `a calculer la transform´eede Fourier de l"estimateur biais´eˆRX[n] de la fonction d"autocorr´elation du signal {x[n]}deNpoints pond´er´e par une fenˆetre de BartlettwB[n].

SCX[m] =TeM-1?

n=1-MˆRX[n]wB[n]e-2jπfn Te Le support temporel initial de l"estimateur d"autocorr´elation [(1-N)Te (N-1)Te] est ramen´e `a [(1-M)Te,(M-1)Te] avecM?N. L"estimateur biais´e de la fonction d"autocorr´elationest obtenue par la fonctionxcorr.m avec l"option "biased" en argument d"entr´ee. 3 •Il est ´egalement possible de faire de l"analyse spectrale `a partir d"une interface graphique appel´ee par l"instructionsptool. Dans ce cas, il faut exporter le signal se trouvant dans l"espace de travail (menu file) puis d´eterminer sa densit´e spectrale de puissance (menu spectra, fonction cre- ate) en choisissant l"estimateur (m´ethode FFT pour le p´eriodogramme simple, m´ethode Welch pour les p´eriodogrammesmoyenn´e,modifi´e) sans oublier de param´etrer l"analyse. •Le biaisbˆSet la varianceσ2ˆSd"un estimateurˆSs"´ecrivent : b

ˆS=E[ˆS-S]

2ˆS=E[(ˆS-E[ˆS])2]

Questions

•G´en´erez un signal al´eatoire`a l"aide de la fonctionsig aleat2.m. D´etermi- nez la densit´e spectrale de puissance th´eoriqueSX[m] `a l"aide de la fonctionfreqz.met visualisez-l`a (utilisez une ´echelle logarithmique en ordonn´ee avec l"instructionsemilogy.met limitez la visualisation sur l"axe vertical `a l"intervalle [10 -4/fe,10/fe] par exemple avecaxis.m). V´erifiez que les caract´eristiques fr´equentielles sont en accord avec vos param`etres: fr´equence de coupure, fr´equence d"´echantillonnage, variance du bruit blanc d"entr´ee. Par la suite, il peut ˆetre pratique de travailler avec une fr´equence d"´echantillonnagefe= 1 Hz (Te= 1 s). •Superposez sur le graphe pr´ec´edent la densit´e spectralede puissance du signal al´eatoireˆSX[m] obtenue par un p´eriodogramme simple `a partir de votre propre programme ou des fonctions Matlab d´edi´ees. Calculez sur l"intervalle [0,fe/2] le biais de l"estimateur ainsi que sa variance `a partir de votre r´ealisationˆSX[m] et de la densit´e spectrale th´eoriqueSX[m]. Faˆıtes varier le nombre de points du signal. Que remarquez-vous sur le biais et la variance de l"estimateur ? 4 •Calculez les p´eriodogrammes moyenn´e et modifi´e et visualisez les den- sit´es spectrales de puissance obtenues sur le mˆeme grapheque la DSP th´eorique. Etudiez l"influence du nombre de tron¸cons, du type de fenˆetre et du recouvrement (absence ou 50 %) sur le biais et la variance des es- timateurs. •D´eterminez le corr´elogramme et visualisez-le en comparant toujours avec la DSP th´eorique. Jouez sur la taille de la fenˆetre de Bartlett (M=N/8, N/16 ...) et calculez le biais et la variance de l"estimateur.

2. Extraction d"information

Objectif

: Il s"agit d"ˆetre capable de remonter `a certaines caract´eristiques du signal `a partir de sa densit´e spectrale de puissance, notamment la vari- ance d"un bruit et l"amplitude d"une composante harmonique. Ensuite, il s"agit de comparer visuellement les densit´es spectrales de puissance obtenues `a partir d"estimateurs diff´erents et d"´etudier l"influence du type de fenˆetre de pond´eration utilis´ee lorsque l"analyse est confront´eeau probl`eme de distribu- tion des fr´equences (leakage).

R´ef´erence

: Traitement num´erique des signaux (M. Kunt), Presses polytech- niques romandes, 1984.

Mots-cl´es

: Amplitude d"une harmonique, variance d"un bruit, distribution des fr´equences (leakage)

Fonctions Matlab

: sigaleat3.m

Indications

•La fonctionsig

aleat3.mpermet de g´en´erer un signal al´eatoire station- naire ergodique constitu´e de deux signaux harmoniques pures et d"un bruit blanc gaussien. Les amplitudes des sinuso¨ıdes, la variance du bruit blanc sont param´etrables par l"utilisateur. En ce qui concerne les fr´equences, il est possible de choisir entre deux configurations : soit les fr´equences correspondent `a des points d"´echantillonnage de la TFD, soit non, dans le but d"observer le ph´enom`ene de distribution des fr´equences 5 (leakage) en fonction de la fenˆetre de pond´eration utilis´ee. L"utilisation suivante, avec uniquement trois arguments en entr´ee, permet d"affecter aux amplitudes des signaux harmoniques et `a la variance du bruit blanc des valeurs par d´efaut. Dans ce cas le signal poss`ede une composante harmonique forte et une faible. [y,t] =sig aleat3(choix,N,fe); •Afin de retrouver l"amplitude d"un signal harmonique `a partir de la valeur d"une raie obtenue sur la densit´e spectrale de puissance, il est im- portant de d´etailler les diff´erentes ´etapes conduisant `a l"obtention d"un p´eriodogramme. Tout d"abord, il faut se r´ef´erer `a la th´eorie donnant l"amplitude d"une raie fr´equentielle lorsque le signal temporel est har- monique. Ensuite il faut tenir compte de deux effets sur l"amplitude du spectre produits par la discr´etisation du signal temporelet sa troncature par une fenˆetre de pond´eration. Enfin, il faut regarder la d´efinition du p´eriodogramme repr´esent´e. •Afin de retrouverla variance d"un bruit blanc `a partirde sa repr´esentation spectrale, il est n´ecessaire de se rappeler que le p´eriodogramme simple est la transform´ee de Fourier de la fonction d"autocorr´elation du signal (r´esultat provenant du th´eor`eme de Wiener-Khintchine). En consid´erant que la fonction d"autocorr´elationR[n] d"un bruit blanc discr´etis´e de va- rianceσ2estTeσ2δ[n] et en comparant sa transform´ee de Fourier avec le p´eriodogramme, la variance se d´eduit ais´ement.

Questions

•G´en´erez un signal al´eatoire avec une fr´equence initialefe= 1 Hz en uti- lisant la fonctionaleat

3.mde mani`ere `a obtenir des fr´equences enk/N.

Choisissez un nombre de pointsNcorrespondant `a une puissance de 2 dans l"intervalle [128,16384]. Visualisez la densit´e spectrale de puissance du signal en utilisant un p´eriodogramme simple et un p´eriodogramme modifi´e dont vous expliciterez les param`etres. Proposez une formule per- mettant de retrouver l"amplitude du signal harmonique temporel `a partir 6 de la valeur de la raie visible sur la DSP. Votre formule est-elle valable quelle que soit la fenˆetre de pond´eration utilis´ee ? Est-elle ´egalement valable si vous g´en´erez des signaux avec une fr´equence d"´echantillonnage non unitaire? Sinon adaptez votre formule. •Il s"agit maintenant de retrouver la variance du bruit blanc`a partir des densit´es spectrales de puissance. Comment proc´edez-vous ? •Vous allez maintenant comparer les estimateurs de DSP suivants : p´erio- dogrammes simple, moyenn´e et modifi´e `a partir de deux signaux al´eatoi- res g´en´er´es par la fonctionsig aleat3.m, l"un pour des signaux har- moniques de fr´equencesk/N, l"autre pour des fr´equences quelconques. Les signaux harmoniques g´en´er´es devront contenir une composante forte et une faible. Vous pouvez utiliser les amplitudes par d´efaut. Etudiez l"influence de diff´erentes fenˆetres de pond´eration. D´eduisez l"estimateur de DSP le plus adapt´e qui permet de mieux repr´esenter les caract´eristi- ques fr´equentielles des signaux. 7quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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