[PDF] Cours doptimisation 4.2 Application `a l'

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L1 Eco - Analyse 2

Cours d'optimisation

T. DUMONT, C. L

EONARD, X. MARY, H. MOHAMED

Contents

1 Semaine 1 : Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1 Points et vecteurs deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.1.1 Premiere denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Operations sur les points et les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Vecteurs : Norme et Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1 La norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Domaines deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Semaine 2 : Fonctions de 2 variables relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1 Fonctions 2 variables relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Derivees partielles et vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Derivees partielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Semaine 3 : Developpement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4 Semaine 4 : Optimisation de fonctions d'une variable reelle . . . . . . . . . . .

10

4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4.2 Application a l'optimisation sous contrainte d'une fonction de deux vari-

able : Methode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Convexite et caractrisation des extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5 Semaine 5 : Optimisation libre des fonctions de deux variables . . . . . . . . .

14

5.1 Condition du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.2 Conditions du second ordre et convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6 Semaine 6 : Optimisation sous contrainte d'egalite : la methode du Lagrangien

20

6.1 Condition necessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

6.2 Caracterisation faible des extremums locaux sous contrainte - Condition

susante du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3 Extremums globaux sous contrainte d'egalite . . . . . . . . . . . . . . . .

24

6.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7 Semaine 7 : Methode du Lagrangien : La bonne condition susante du second

ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Universite Paris Ouest - Nanterre - La Defense

1 2

1. Semaine 1 : Geometrie

1.1. Points et vecteurs deR2

1.1.1. Premiere denition

R

2=f(x;y)jx2Ry2Rg

ExempleP= (2;3) est un point deR2.

l'ensemble de pointsR2est un espace ane avec comme origineO= (0;0).

ExempleP= (2;3) est un point deR2.

Pour chaque paire de points (P;Q) deR2, (P= (xP;yP)Q= (xQ;yQ)) on peut denir le vecteur!PQ= (xQxP;yQyP) (exemple)

SiQ=P,PPest le vecteur nul~0 = (0;0).

Attention : points et vecteurs sont denis par des coordonnees (x;y) cependant, durant ce cours nous ferons la distinction entre les deux! (exemples graphiques)

1.1.2. Operations sur les points et les vecteurs

- Combinaison lineaire de vecteurs. Soientn2N,~u1= (x1;y1);:::;~un= (xn;yn) des vecteurs deR2et1;:::;ndes scalaires (i2R). Alors1~u1+2~u2+:::+n~un est un vecteur deR2de coordonnees (1x1+:::+nxn;1y1+:::+nyn). Exemples. - Addition d'un point et d'un vecteur. SiP= (xP;yP) et~u= (x~u;y~u),Q=P+~u est un POINT deR2de coordonnees (xP+x~u;yP+y~u). Exemples. - Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire.

1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire

1.2.1. La norme

- Theoreme de Pythagore (+demonstration). - Denition : Norme (longueur) d'un vecteur.

Propriete 1.1.Soient~u;~vvecteurs deR2et2R

1.~u=~0si et seulement sijj~ujj= 0.

2.jj~ujj=jj jj~ujj.

3. In egalitet riangulaire.jj~u+~vjj jjujj+jjvjj(sans preuve) - Denition : vecteurs colineaires. Soient~u;~vvecteurs deR2avec~v6=~0.~uet~vsont colineaires s'il existe2Rtel que~u=~v. (Remarque:~upeut ^etre le vecteur nul.)

Propriete 1.2.Soient~u;~vvecteurs deR2et2R

Mathematiques 2 : Optimisation3

1.

L eve cteurnul est c olineaire atout ve cteur.

2. Si ~u=~vavec0,~uet~vsont colineaires dans le m^eme sens et (cas degalite de l'inegalite triangulaire)jj~u+~vjj=jj~ujj+jj~vjj 3. Si ~u=~vavec0,~uet~vsont colineaires de sens oppose etjj~u+~vjj= j jj~ujj jj~vjj j.

1.2.2. Le produit scalaire

- DansRle produit scalaire de deux reelsuetvest le produit classiqueuv. Il apparait dans l'identite remarquable: (u+v)2=u2+v2+ 2uv - De la m^eme maniere on cherche a denir un produit scalaire dansR2a partir de l'identitejj~u+~vjj2=jj~ujj2+jj~vjj2+2~u~v. Comment denir le produit~u~vpour qu'une telle identite s'applique? Denition 1.1.Soient~u;~vvecteurs deR2(~u= (x~u;y~u)et~v= (x~v;y~v)). On deni le produit scalaire~u~vpar ~u~v=x~ux~v+y~uy~v:

Propriete 1.3.Soient~u;~v; ~wvecteurs deR2et;2R

1.jj~ujj2=~u~u

2. (sym etrie)~u~v=~v~u 3. (bilin eairite)~u(~v+~w) =~u~v+~u~w Proposition 1.2(Orthogonalite et reciproque de Pythagore).Soient~u;~vvecteurs de R 2 ~u?~v,~u~v= 0

De plus

jj~u+~vjj2=jj~ujj2+jj~vjj2,~u~v= 0 - Application : equation de la tangente pour les graphs de fonctions d'une variable.

1.3. Domaines deR2

- Domaines denis par une equation - Cas particulier graphe d'une fonction - Les cercles. (exemples) - Domaines denis par une inequation (exemples) - Domaines denis comme intersection ou reunion d'autres domaines. - Complementaire d'un domaine. 4

2. Semaine 2 : Fonctions de 2 variables relles

2.1. Fonctions 2 variables relles

- Fonction reelle de deux variables reellesf: (x;y)7!f(x;y)2R. - Domaine de denitionDf=(x;y)2R2jf(x;y) "est bien deni". - Exemples : Don- ner et representer les domaines de denition (Df) des fonctions suivantes f(x;y) =xy f(x;y) = ln(x+y) f(x;y) = ln(xy) - Representation 3D (cf. pdf) - Courbes de niveau : La courbe de niveaud'une fonctionfest deni par l'ensemble des points (x;y) appartenant a l'ensemble de denition def(Df) veriantf(x;y) =.

On la noteC.

C =f(x;y)2 Dfjf(x;y) =g: Exemples : Dessiner les courbes de niveauCpour les fonctions et niveaux suivants : f(x;y) =yx

2, niveaux=1 et= 2

f(x;y) =xy, niveau= 0 et= 1 f(x;y) =xln(xy), niveau= 0 et= 1 - Ensembles de niveaux : exemples - Continuite d'une fonction de deux variables : Denition 2.1.Soitfune fonction denie surDfet(x0;y0)2 Df. fest continue en(x0;y0)si lim (x;y)!(x0;y0)jf(x;y)f(x0;y0)j= 0 c'est a dire, si quelque soit >0aussi petit qu'on veut, il existe un rayonr >0 tel que : si un point(x;y)deDfest dans le disque de rayonret de centre(x0;y0) alorsf(x0;y0) < f(x;y)< f(x0;y0) +. fest continue sur un domaineD Dfsifcontinue en tout point deD.

2.2. Derivees partielles et vecteur gradient

Fonctions partielles :

Denition 2.2.Soitfune fonction de deux variables denie sur un domaine D fR2. Soit(x0;y0)un point deDf. On peut denir deux fonctions d'une vari- able, appeles fonctions partielles obtenues en "xant" l'une des deux variables:

Mathematiques 2 : Optimisation5

f x:x7!f(x;y0) f y:y7!f(x0;y) f xetfysont donc des fonctions d'UNE variable denies respectivement surDx= fx2Rj(x;y0)2 DfgetDy=fy2Rj(x0;y)2 Dfg.

Exemples : donner les fonctions partielles :

{f(x;y) =xy3en (x0;y0) = (2;3) {f(x;y) =p1x2y2en (x0;y0) = (1=2;1)

Derivees partielles

Denition 2.3.

{ La derivee partielle de la fonctionfpar rapport axen (x0;y0)est la derivee de la fonction partielle : x7!f(x;y0);enx0:

Elle est notee

@@x f(x0;y0)ou@f@x (x0;y0)(comprendre "Derivee defpar rapport axen(x0;y0)"). @@x f(x0;y0)existe si la fonction partielle x7!f(x;y0) est derivable enx0. {La derivee partielle de la fonctionfpar rapport ayen(x0;y0)est la derivee de la fonction partielle : y7!f(x0;y);eny0:

Elle est notee

@@y f(x0;y0)ou@f@y (x0;y0)(comprendre "Derivee defpar rapport ayen(x0;y0)").@@y f(x0;y0)existe si la fonction partielle y7!f(x0;y) est derivable eny0.

Exemples : Calculer les derivees partielles@@x

f(x0;y0) et@@y f(x0;y0) des fonctions et pour les points suivants : f(x;y) =x(y1) (x0;y0) = (0;0) f(x;y) =xexp(xy) (x0;y0) = (1;0) f(x;y) = lnxy (x0;y0) = (1;1) f(x;y) =p1x2y2(x0;y0) = (0;0) 6

Vecteur gradient

Denition 2.4.soitfune fonction de 2 variables dont les derivees partielles existent en un point(x0;y0)2R2. On appelle gradient defen(x0;y0)le vecteur deR2forme par les derivees partielles : rf(x0;y0) =@@x f(x0;y0);@@y f(x0;y0) Remarque importante: Sifpossede des derives partielles@f@x (x;y) et@f@y (x;y) en tout point d'un domaineDalors les fonctions denies surD: (x;y)7!@f@x (x;y) et (x;y)7!@f@y (x;y) sont elles m^emes des fonctions de deux variables des derivees partielles sont des fonctions de deux variables.

2.3. Derivees partielles du second ordre

Denition 2.5.Sifpossede des derivees partielles@f@x et@f@y et si ces deux fonc- tions possedent des derivees partielles on dit quefpossede des derivees partielles du second ordre. On note alors : 2f@x 2=@@x @f@x ;@2f@y@x =@@y @f@x 2f@y 2=@@y @f@y ;@2f@x@y =@@x @f@y Theorem 2.6(Theoreme de Schwarz).Sifpossede des derivees partielles du second ordre au voisinage de(x0;y0)et si les derivees partielles secondes croisees

2f@x@y

et@2f@y@x sont continues en(x0;y0)alors elles sont egales.

2f@x@y

(x0;y0) =@2f@y@x (x0;y0) Exemple : Calculer les derivees partielles du second ordre des fonctions suivantes.

Illustrez le Theoreme de Schwarz.

{f(x;y) =x(y1) {f(x;y) =p1x2y2

3. Semaine 3 : Developpement de Taylor

Denition 3.1.Soitf:DfR2!Rune fonction de deux variables, soit(x0;y0)2 D fet soitk0un entier positif. On dit quefest negligeable devantjj(xx0;yy0)jjk Mathematiques 2 : Optimisation7Figure 1: DL de log(1 +x2+y2) au voisinage de(x0;y0)si lim (x;y)!(x0;y0)f(x;y)jj(xx0;yy0)jjk= 0: Dans ce cas on peut mettre la fonctionfsous la forme: f(x;y) =jj(xx0;yy0)jjk(x;y);

Aveclim(x;y)!(x0;y0)(x;y) = 0

Theorem 3.2(Developpement limite de Taylor-Young du second ordre).Soitfune fonction de deux variables denie au voisinage de(x0;y0). On suppose quefadmet des derivees partielles secondes et que celles ci sont continues au voisinage de(x0;y0). Alors fadmet un developpement limite a l'ordre deux en(x0;y0): f(x;y) =f(x0;y0) +@f@x (x0;y0)(xx0) +@f@y (x0;y0)(yy0) 12 @2f@x

2(x0;y0)(xx0)2+ 2@2f@x@y

(x0;y0)(xx0)(yy0) +@2f@y

2(x0;y0)(yy0)2

+jj(xx0;yy0)jj2(x;y) aveclim(x;y)!(x0;y0)(x;y) = 0. Exemple: Calculer le Developpement l'ordre 2 en (0,0) de la fonctionf(x;y) = log(1 +x2+y2) (voir gure1 ) Exemple: Ecrire le DL d'ordre 2 en (0;0) puis en (1;1) des fonctions suivantes : 8 f(x;y) =x2+y2 f(x;y) =xy f(x;y) = exp(x+y)

Remarque 3.1.-

1. la plup artdes fonctions qu'on r encontreraadmetter ontun d eveloppementlimit e. 2. On p eutr eecrirela formule de T aylorY oung al'aide du gr adientintr oduitdans la section precedente : f(x0+u;y0+v) =f(x0;y0) +rf(x0;y0)(u;v) 12 @2f@x

2(x0;y0)u2+ 2@2f@x@y

(x0;y0)uv+@2f@y

2(x0;y0)v2

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