[PDF] Cours danalyse ECS deuxième année

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Cours d"analyse, ECS deuxième année

Alain TROESCH

2 septembre 2012

Table des matières1 Suites numériques : révisions5

1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

1.1.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Quelques propriétés utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6

1.1.3 Arithmétique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

1.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8

1.2.1 Passage à la limite dans une inégalité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8

1.2.2 Théorème d"encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8

1.2.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9

1.2.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9

1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Suites définies par une récurrence affine . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

1.3.2 Suites définies par une récurrence linéaire d"ordre( 1) . . . . . . . . . 11

1.3.3 Suites définies par une récurrence du type :N+1=(). . . . . 11

1.3.4 Suites définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

1.4 Approximations et estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

1.4.1 Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

1.4.2 Négligeabilité (petit-, vitesse de convergence) . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 14

2 Séries numériques : révisions17

2.1 Notion de série et de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17

2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.2 Propriétés liées à la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 18

2.1.3 Types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19

2.2.1 Comparaisons entre séries à termes positifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

2.2.2 Comparaison entre une série et une intégrale . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

2.2.3 Comparaison avec une série de Riemann . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 20

2.2.4 Comparaison avec une série géométrique . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 21

2.3 Étude de la semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 22

3 Intégrales impropres23

3.1 Rappel sur les intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 23

3.1.1 Définition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 23

3.1.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

2Table des matières

3.1.3 Calcul des intégrales - Primitives . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25

3.2 Notion d"intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26

3.2.1 Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Cas d"une fonction continue sur un intervalle ouvert .. . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Cas d"une fonction continue sur une union d"intervalles ouverts . . . . . . . 29

3.3 Propriétés des intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3.3.2 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

3.3.3 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

3.4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Un lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Critère de comparaison par inégalité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31

3.4.3 Critère de comparaison par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.4 Critère de comparaison par équivalents . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32

3.5 Cas des fonctions non positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33

3.5.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33

3.5.2 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33

3.6 Comparaison série/intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 33

3.7 Techniques de calcul des intégrales impropres . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 33

3.7.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33

3.7.2 Changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 34

3.8 Intégrales classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

3.8.1 Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 35

3.8.2 FonctionΓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Révisions : fonctions d"une variable réelle37

4.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 37

4.1.1 Définitions et rappel des propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 37

4.1.2 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 38

4.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 38

4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4.2.2 Dérivées d"ordre supérieur - Fonctions de classe. . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40

4.2.4 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40

4.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 41

4.3.1 Notion de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41

4.3.2 Étude de la dérivabilité des fonctions convexes . . . . .. . . . . . . . . . . 42

4.3.3 Caractérisation de la convexité par les dérivées . . . .. . . . . . . . . . . . 42

4.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 43

4.4.1 Développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

4.4.2 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

4.4.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 44

4.4.4 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 44

4.4.5 Cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

Table des matières3

5 Fonctions de plusieurs variables : continuité, calcul différentiel 45

5.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45

5.1.1 Distances et boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45

5.1.2 Voisinages, ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 46

5.1.3 Sous-ensembles bornés deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.4 Droites, segments, plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 47

5.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

5.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48

5.2.2 Courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

5.3 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 49

5.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.3.2 Critère séquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

5.3.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 51

5.3.4 Continuité et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 52

5.4 Calcul différentiel (à l"ordre 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 52

5.4.1 Fonctions et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 52

5.4.2 Fonctions de classe1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53

5.4.4 Formule de Taylor-Young à l"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 54

5.4.5 Dérivation d"une composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 54

5.4.6 Interprétation du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 55

5.4.7 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 56

5.5 Dérivées d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 56

5.5.1 Dérivées partielles d"ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5.2 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

5.5.3 Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

5.5.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 58

6 Optimisation59

6.1 Recherche d"extrema locaux sur un ouvert . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 60

6.1.1 Condition nécessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 60

6.1.2 Condition suffisante du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 60

6.1.3 Diagonalisabilité des endomorphismes symétriques .. . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Recherche d"extrema globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 62

6.2.1 Existence d"un maximum et/ou d"un minimum . . . . . . . . . .. . . . . . 62

6.2.2 Recherche des extrema globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 64

6.2.3 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 64

6.2.4 Recherche de la position du graphe par rapport à l"hyperplan tangent . . . 66

6.3 Recherche d"extrema sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 66

6.3.1 Notion d"extremum sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 66

6.3.2 Points critiques sous contrainte linéaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 67

6.3.3 Description de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3.4 Recherche des extrema sous contrainte linéaire . . . . .. . . . . . . . . . . 68

4Table des matières

Analyse - Chapitre 1Suites numériques : révisionsQuelques rappels :Une suite numérique (réelle ou complexe) est une famille()Nd"éléments deRouCindexée

surN(parfois surN, ou surN 00?1). Il s"agit donc d"une fonction deNdansR ouC.

On rappelle que:= (1)

21++2est la norme usuelle deR, et on

note() =. La distance deàest alors() =?. Si= 1, on obtient () =?. De même dansC, assimilé àR2, oùdésigne alors le module d"un nombre complexe On rappelle que dansR,()désigne la boule ouverte de centreet de rayon, c"est-à-dire () =R ? . DansR, la boule ouverte de centreet de rayonest donc l"intervalle]?+[.

De même,

()désigne la boule fermée de centreet de rayon, c"est-à-dire() = R ?. DansR, la boule fermée de centreet de rayonest donc l"intervalle On rappelle qu"unvoisinagededansRest un sous-ensembledetel qu"il existe une boule ouverte centrée enentièrement contenue dans(en s"éloignant un peu de, on ne sort pas de) Par exemple,est un voisinage dedansRs"il existetel que]?+[. Intuitivement cela signifie quen"est pas " au bord » de. Par extention, on dit queest un voisinage de+sicontient un intervalle du type]+[. De même,est un voisinage de?sicontient un intervalle du type]? [. UnouvertdeRest un sous-ensembledeRqui est voisinage de tous ses points,i.e. 0 ()

Intuitivement :n"a pas de " bord ».

Un sous-ensemblede E estfermési son complémentaireest ouvert. Proposition 1.0.11. Toute union quelconque d"ouverts est un ouvert;

2. Toute intersection d"un nombrefinid"ouverts est un ouvert;

3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé;

4. Toute union d"un nombrefinide fermés est un fermé.

Exemples 1.0.2Voici deux contre-exemples à bien garder en tête :

6 Analyse - Chapitre 1. Suites numériques : révisions

1. Contre-exemple pour une intersection infinie d"ouverts :+

=1 ?11 = [01[.

2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés :

=1 1 1 =]01].

1.1 Convergence

1.1.1 Limites

Définition 1.1.1Les propositions suivantes sont équivalentes, et définissent (chacune) la conver-

gence d"une suite()Nd"éléments deR(ouC) vers un élémentdeR(ouC). (i) 0N () (ii) 0N? (iii) pour tout voisinagede, il existetel que pour tout,. Traduction : pour toute marge d"erreurqu"on peut se donner, à partir d"un certain rang,est à peu prèségal à, à cette marge d"erreur près.

Attention! " à peu près » ne signifie pas " exactement »! Gardez-vous bien de dire que=à

partir d"un certain rang! Dans le cas de suites réelles, on définit aussi la convergencevers les infinis : Définition 1.1.2Une suite()Nà valeurs dansRtend vers+si et seulement si : RN Une suite()Nà valeurs dansRtend vers?si et seulement si : RN

Dans ce contexte, la définition par voisinages (définition 1.1.1, iii) reste valable, en utilisant la

notion de voisinage de+ou?rappelée au début du chapitre. Théorème 1.1.3Soit()Nune suite (réelle ou complexe). Si()Nadmet une limite, alors cette limite est unique. Elle est notéelim+.

Faites attention à ne pas utiliser cette notation avant de vous être assuré del"existencede la

limite.

1.1.2 Quelques propriétés utiles

Proposition 1.1.4Si()Ntend vers, alors(+1)Net(1)Naussi. Proposition 1.1.5Si()Nconverge vers, et siest une application strictement croissante deNdansN, alors(())converge vers(une telle suite est appelée suite extraite de()N)

Exemple typique :2,2+1...

Proposition 1.1.6(hors-programme, démonstration à refaire au besoin) Si(2)Net(2+1)N convergent vers une même limite, alors()Nconverge vers. De même pour(3),(3+1) et(3+2), etc.

1.1 Convergence7

1.1.3 Arithmétique des limites

Théorème 1.1.7Soit()Net()Ndeux suites convergentes. Alors :

1.()Nest convergente, etlim+=

lim+

2.(+)Nest convergente, etlim+(+) = lim++ lim+;

3.()Nest convergente, etlim+() = lim+lim+;

4. silim+= 0, alors= 0à partir d"un certain rang; ainsi,

est définie à partir d"un certain rang, est convergente, etlim+ =lim+lim+. Théorème 1.1.8Les résultats ci-dessus restent vrais si la limite de()Net/ou de()Nest infinie, avec les règles arithmétiques suivantes (règles usuelles dans R) : += +; ++= +;(+) = (sg()); ()() =;1 = 0

En revanche, les opérations arithmétiques suivantes ne sont pas définies, et donnent des formes

indéterminées (ayez des exemples en tête) : ? ; 0 ; ;00; 1; 00 Théorème 1.1.9Soit()Nune suite de limite nulle, telle que :N 0.

Alors la suite

1 n ?est bien définie et tend vers+. Soit()Nune suite de limite nulle, telle que :N 0. Alors la suite 1 n ?est bien définie et tend vers?. Soit()Nune suite de limite nulle, prenant une infinité de valeurs strictement positives et une infinité de valeurs strictement négatives. Alors la suite 1 n ?, si elle existe, n"admet pas de limite. Théorème 1.1.10Soit()Nune suite convergeant vers un réel. Soitune fonctioncontinue en. Alors la suite(())Nest convergente, etlim+() =(). Exemple 1.1.11La fonction exponentielle étant continue surR, et la fonction logarithme étant continue surR+, on obtient la règle arithmétique suivante : Soit()Net()Ndeux suites convergeant vers des réels 0et. Alors(n)Nconverge vers.

Pour les cas d"indétermination, on peut souvent lever l"indétermination en écrivant la puissance

avec l"exponentielle et en utilisant les croissances comparées. Exemple 1.1.12Soit()Nune suite définie par une récurrence :0 +1=(). Alors, siest continue surRet si()admet une limite, en passant à la limite dans la relation

de récurrence, on obtient l"équation suivante vérifiée par:=(). Cette équation permet de

déterminer les seules valeurs possibles de la limite.

8 Analyse - Chapitre 1. Suites numériques : révisions

Remarquez qu"ici, puisqu"on ne connait pasa priorila valeur de, on est obligé de supposer que

est continue sur toutR(ou sur un intervalle fermé contenant tous les termes de la suite à partir

d"un certain rang). Attention! Cet argument ne donne pas l"existence de la limite. Il faut pour cela utiliser un autre argument, par exemple en étudiant les variations de().

1.2 Propriétés des suites réelles

Par commodité, tous les théorèmes sont énoncés pour des propriétés vérifiées par les suites à partir

du rang0. Il est bien entendu que, les limites ne dépendant que des valeurs de la suite pour des

indices " grands », les propriétés n"ont besoin d"être vérifiées qu"à partir d"un certain rang.

1.2.1 Passage à la limite dans une inégalité

Théorème 1.2.1Soit()Net()Ndeux suites telles que :N . Alors, si ()Net()Nadmettent des limites dansR,lim+lim+.

Remarque 1.2.2Avant de passer à la limite dans une inégalité, il faut avoir justifié soigneusement

l"existencedes limites. Remarque 1.2.3Les inégalités strictes ne se conservent pas.

1.2.2 Théorème d"encadrement

Théorème 1.2.4(théorème d"encadrement, ou " théorème des gendarmes »). Soit()N,()N

et()Ntrois suites réelles telles que :N On suppose que()Net()Nconvergent toutes deux vers une même limite finie. Alors ()Nconverge, etlim+=. Théorème 1.2.5(théorème de minoration) Soit()Net()Ndeux suites telles que pour tout0,.

1. Si()Ntend vers+, alors()Ntend vers+.

2. Si()Ntend vers?, alors()Ntend vers?.

Remarque 1.2.6Les deux théorèmes ci-dessus donnent l"existencede la limite de()N. Il n"est pas utile de l"avoir justifiée avant.Attention à la rédaction de cet argument : l"existence de la limite doit bien clairement apparaître comme conséquence de ce théorème, et le symbolelimne doit pas être utilisé trop tôt Remarque 1.2.7Méthode de calcul de limites (dite par majoration/minoration) : Si on parvient à trouver une majoration :0?, où()Nest une suite de limite nulle, alors()Ntend vers. Si on parvient à minorer()Npar une suite de limite+, alors()Ntend vers+. Si on parvient à majorer()Npar une suite de limite?alors()Ntend vers?.

1.2 Propriétés des suites réelles9

Exemple 1.2.81.lim+(?1)ln= 0;lim+sin1= 0;

2.lim+= +si 1;lim+= 0si1;

3.lim != 0; Dans les exemples 2 et 3 apparaît une méthode très importantede comparaison avec une suite géométrique : supposons que n+1 n

Nadmette une limite, finie ou infinie.

Si1, on peut majorer à partir d"un certain rang()Npar une suite géométrique de raisontelle que1, donc()Ntend vers0. Si 1, on peut minorer à partir d"un certain rang()Npar une suite géométrique de raison

1, donc()Ntend vers+.

Ce petit raisonnement est à connaître imprétivement, et à refaire rigoureusement à chaque fois

qu"on veut l"utiliser (sauf si on veut l"utiliser plusieursfois dans une même copie, dans lequel cas on

le fait bien une première fois, et les fois suivantes, on rappelle qu"on l"a déjà justifié correctement)

Ce raisonnement sera très important notamment dans l"étudede la convergence de certaines séries.

1.2.3 Suites monotones

Théorème 1.2.9Soit()Nune suite réelle.

1. Si()Nest croissante et majorée, alors()Nconverge dansR.

2. Si()Nest décroissante et minorée, alors()Nconverge dansR.

3. Si()Nest croissante et non majorée, alors()Ntend vers+.

4. Si()Nest décroissante et non minorée, alors()Nconverge vers?

En particulier, toute suite monotone admet une limite (finieou infinie).

Remarque 1.2.10Ce théorème est particulièrement utile pour établir la convergence de suites

définies par une récurrence de type+1=(); la valeur de la limite est ensuite obtenue en résolvant=().

1.2.4 Suites adjacentes

Définition 1.2.11Soit()Net()Ndeux suites réelles. On dit qu"elles sont adjacentes si et seulement si :

1. l"une est croissante et l"autre décroissante;

2.(?)Ntend vers0.

Lemme 1.2.12Soit()Net()Ndeux suites adjacentes (avec()Ncroissante et()N décroissante). Alors, pour toutN,. Théorème 1.2.13(théorème des suites adjacentes) Soit()Net()Ndeux suites réelles adjacentes. Alors()Net()Nconvergent, etlim+= lim+. Corollaire 1.2.14(théorème des intervalles emboîtés) Soit()Nune suite d"intervalles fer- més bornés telle que pour toutN,+1, et telle que la longueur des intervallestend vers0. Alors N est un singleton.

10 Analyse - Chapitre 1. Suites numériques : révisions

1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître

Certains types de suite donnent lieu à des méthodes d"étude classiques, qu"il faut savoir mettre

en pratique. Nous rappelons ici les résultats et méthodes les plus courants concernant un certain

nombre de suites fréquemment rencontrées.

1.3.1 Suites définies par une récurrence affine

1.3.1.1 Suites géométriques :N +1=

Une récurrence immédiate amène :N =0.

Limites :

lim+= 0si1;lim+= +si 1;lim+=0si= 1; ()Nn"a pas de limite si?1et0= 0.

Sommes :

Si= 1,=0

=01?+1

1?; en particulier,=0

=1?+11?

Si= 1,=0

= (+ 1)0.

Si1,lim+

=0 =1

1?, ce qu"on note :+

=0 =11?.

Si1,lim+

=0 = +, ce qu"on note :+ =0 Si?1, =0 n"admet pas de limite.

1.3.1.2 Suites arithmétiques :N +1=+

Une récurrence immédiate amène :N =0+.

Limites :

lim+= +si 0;lim+=?si 0;lim+=0si= 0;

Sommes : Si= 1,

=0 = (+ 1)0+(+ 1) 2

1.3.1.3 Suites arithmético-géométriques :N +1=+ = 1.

En cherchant une suite géométrique()Ntelle que :N,=?, on trouve une explicitation de()N: N = 0? 1? +1?

Ce résultat n"est pas à connaître : il faut savoir le retrouver; on peut se souvenir, par exemple, que

le réelcorrespond au point fixe de la relation, et vérifier alors que()est une suite géométrique,

qu"on peut donc facilement expliciter.

1.3 Quelques types classiques de suite, à bien connaître 11

1.3.2 Suites définies par une récurrence linéaire d"ordrek(k >1)

Soit 1. Soit()Nune suite (réelle ou complexe) définie par la donnée determes initiaux

01et par la relation de récurrence :

N +=1+1++1+1+0

On définit le polynôme caractéristiquede cette relation de récurrence par :

R () =?11? ?1?0

Théorème 1.3.1(cas de racines simples) Siadmet exactementracines distinctes 2 à 2 (réelles ou complexes)1, alors il existe des complexes1tels que :

N =11++=

=1

Les complexes1sont déterminés par les conditions initiales, par la résolution d"un système

deéquations àinconnes.

Si les termes initiaux sont réels, alors bien sûr, la suite entière est réelle. Dans ce cas, si toutes les

racines sont réelles, les coefficientssont réels aussi. En revanche, même dans le cas d"une suite

réelle, on peut avoir des racines complexes. Dans ce cas, lescoefficientsseront complexes aussi, et conjugués pour les racines conjuguées. Théorème 1.3.2(cas de racines multiples, pour= 2) On suppose que= 2, et que le polynôme du second degréadmet une racine double= 0. Alors il existe des complexesettels que :

N = (+)

Les complexesetsont déterminés pas les conditions initiales.

1.3.3 Suites définies par une récurrence du type :nN,un+1=f(un)

Définition 1.3.3On dit qu"un intervalleest stable parsiest définie suret(). Remarque 1.3.4Pour que()Nsoit bien définie, il suffit qu"il existe un intervallestable par et un rang0tel que0. En effet, alors, par une récurrence immédiate, pour tout0, , et commeest définie sur,+1est défini. Siest définie surR, il suffit de prendre=R, qui est bien sûr stable pas!

Siest monotone (au moins sur un intervalle stable), on disposede méthodes efficaces pour l"étude

de la monotonie (une inégalité entre0et1se propage aux rangs suivants, éventuellement avec une alternance des inégalités en cas de décroissance) : Théorème 1.3.5Soitun intervalle stable par, tel que0. Alors siest croissante sur ,()Nest monotone. Théorème 1.3.6Soitun intervalle stable par, tel que0. Alors siest décroissante, (2)Net(2+1)Nsont monotones de sens de variation opposé.

12 Analyse - Chapitre 1. Suites numériques : révisions

Ces deux théorèmes sont hors-programme.Il faut impérativement esquisser l"argument sur une copie, lors de la première utilisation. Dans des cas plus généraux, l"étude du signe de()?peut être utile, puisque+1?=

1.3.4 Suites définies implicitement

Il s"agit de suites définies par une relation du type() = 0, où()Nest une suite de fonctions. Le fait que()Nsoit bien définie (existence et unicité des termes) provient souvent d"une

étude de la monotonie stricte de, par l"utilisation du théorème de la bijection (éventuellement

sur une restriction de) La monotonie de()Ns"obtient souvent par l"étude du signe de(+1)ou de+1(). En effet, la comparaison entre(+1)et() = 0et la monotonie de(déjà étudiée dans le premier argument) permettent alors de compareret+1.

Voir les TD pour des exemples.

1.4 Approximations et estimations

1.4.1 Équivalents

Nous nous restreignons au cas particulier (le plus fréquent) de suites ne s"annulant pas à partir

d"un certain rang. Définition 1.4.1Soit()Net()Ndeux suites telles que()Nne s"annule pas à partir d"un certain rang. Alors()Net()Nsont équivalentes si et seulement si n n ?tend vers 1. Remarque 1.4.21. Dans ce cas,()Nne s"annule pas non plus à partir d"un certain rang.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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