[PDF] Dérivées successives - Formules de Taylor

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Chapitre 17

Dérivées successives - Formules de Taylor

Table des matières

1 Dérivées successives3

1.1 Définitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Opérations et formules de Leibniz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Formules de Taylor6

2.1 Formule de Taylor avec reste intégral

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Formule de Taylor pour les polynômes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Dérivées successives - Formules de Taylor

ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Dérivées successives - Formules de Taylor 3

1 Dérivées successives

1.1 DéfinitionsDéfinition 1. (Dérivée n-ième d"une fonction)

Soitfune fonction définie surI. Pourn?N, on dit quefestnfois dérivable surIsi : fest dérivable surI f?est dérivable surI fn-1fois???? ??···?est dérivable surI.

On note alors :

f (n)=fnfois???? ??···?.Remarque.On a en particulierf(0)=fetf(1)=f?Exemple 1.

Si on posef= exp, alors pour toutn?N, la fonctionfestnfois dérivable surRetf(n)=f.Définition 2. (Fonction de classeCn)

Soitn?N.

On dit quefest de classeCnsurIsi elle estnfois dérivable surIet sif(n)est continue surI. On note C n(I)l"ensemble des fonctions de classeCnsurI. On dit quefest de classeC∞si elle est indéfiniment dérivable surI.Remarque. fest de classeC0surIssifest continue surI. fest de classeC1surIssifest dérivable surIetf?est continue surI. fest de classeC2surIssifest deux fois dérivable surIetf??est continue surI. etc.Remarque.

1.C0(I)est donc l"ensemble des fonctions continues surI.

Et plutôt que d"écrire "fest continue surI, on peut écriref?C0(I)»

2.C1(I)est donc l"ensemble des fonctions dérivables surIdont la dérivée est continue surI.

Attention :Écrire "f?C0(I)» ne signifie pas exactement "fest dérivable surI»!(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

4 Dérivées successives - Formules de Taylor

Remarque.

Une fonction est de classeC∞surIsi et seulement si pour toutn?Nelle est de classeCnsurI.

Autrement dit :

C ∞(I) =? n?NCn(I).Proposition 1. (Fonctions usuelles)(admis)

1.exp?C∞(R).

2.?n?N?, x?→xn?C∞(R).

3.?n?Z?-, x?→xn?C∞(R?). En particulier :x?→1x

?C∞(R?).

4.ln?C∞(R?+).

5.cos?C∞(R)etsin?C∞(R).

6.tan?C∞?

R\? (2k+ 1)π2 ,k?Z?? etArctan?C∞(R).Exercice de cours 1. Calclus de dérivéesn-ième. Pour chaque fonction usuelle ci-dessous, exprimer sa dérivéen-ième pourn?Nquelconque :

1.f= exp.

2.g:x?→xravecr?N?

3.h:x?→xαavecα?R\N.

4.i:x?→1x

.Remarque. Retour sur le changement de variable dans une intégrale et sur les IPP

Pour être licite, un changement de variable doit être de classeC1. Autrement dit, lorsqu"on poseu=?(t), il

faut bien préciser et justifier que?est de classeC1.

De même dans une IPP, les fonctionsuetvdoivent être de classeC1.Proposition 2. (Dérivéen+ 1-ième d"un polynôme de degrén)

Soitfune fonction polynômiale de degrén, alorsf(n+1)= 0.

Et plus généralement,?k≥n+ 1,f(k)= 0.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Dérivées successives - Formules de Taylor 5

1.2 Opérations et formules de Leibniz

Proposition 3. (Dérivées successives et opérations) Soientfetgdeux fonctionsnfois dérivables sur un intervalleIet soitλ?R. Alors : On a alors :

1.λfetf+gsontn-fois dérivables surIet on a :

(λf)(n)=λf(n)et(f+g)(n)=f(n)+g(n)

2.fgestn-fois dérivable surIet on a :

Formule de Leibniz :(fg)(n)=n?

k=0? n k? f (k)g(n-k) 3. si gne s"annule pas surI,1g etfg sontnfois dérivable surI.Proposition 4. (Opérations sur les fonctions de classeCn)(admis)

Sifetgdeux fonctions de classeCn(resp.C∞) sur un intervalleI, alorsλf,f+getfgsont de classeCn

(resp.C∞) surI.

Si de plusgne s"annule pas surI, alors1g

etfg sont de classeCn(resp.C∞) surI.Proposition 5. (Cn(I)etC∞(I)sont de sev)(admis) C

n(I)etC∞(I)sont des sous-espaces vectoriels deRI.Proposition 6. (Composition de fonctions de classeCn)(admis)

Soientfde classeCn(resp.C∞) surIetgde classeCn(resp.C∞) surJtel quef(I)?J,

alorsg◦fest de classeCn(resp.C∞) surI.Remarque.Il n"y a pas de formule pour calculer la dérivéen-ième d"un quotient ou d"une composée. Dans ce

cas, la seule méthode à votre disposition est le raisonnement par récurrence. Mais pour celà, il vous faut la forme

générale de la dérivéen-ième. Si on ne vous la donne pas, c"est soit qu"il y a un "truc" (comme dans l"exercice 3

de la FE17), soit qu"on peut la deviner facilement en calculantf?,f??, etc..Exercice de cours 2. Application de la formule de Leibniz

Montrer que la fonctionf:x?→(1 +x+x2)e-xest de classeC∞surRet déterminerf(n).(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

6 Dérivées successives - Formules de Taylor

2 Formules de Taylor

2.1 Formule de Taylor avec reste intégralThéorème 7. (Formule de Taylor avec reste intégral)

Soitf?Cn+1sur un intervalleI. Alors pour touta,x?I, f(x) =f(a) +f?(a)(x-a) +f??(a)2! (x-a)2+...+f(n)(a)n!(x-a)n+? x a(x-t)nn!f(n+1)(t) dt n? k=0f (k)(a)k!(x-a)k+? x a(x-t)nn!f(n+1)(t) dt Cas particulier à connaître : formule avec reste intégrale en0. Si0?I: ?x?I, f(x) =f(0) +f?(0)x+f??(0)2! x2+...+f(n)(0)n!xn+? x

0(x-t)nn!f(n+1)(t) dt

n? k=0f (k)(0)k!xk+? x

0(x-t)nn!f(n+1)(t) dtExercice de cours 3.

1. Écrire la fo rmulede T ayloravec reste intégral en 0à l"ordre3puis4pour la fonctionsin. 2.

En déduire que :

?x?[0]π2 ,x-x36 +x5120 .ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Dérivées successives - Formules de Taylor 7

2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 8. (Inégalité de Taylor-Lagrange) Soitfune fonction de classeCn+1sur un intervalleI,a,b?IetMun majorant de???f(n+1)???sur[a,b](ou [b,a]). On a :?????f(b)-n? k=0f

Cas particulier à connaître, si0?I, six?Iet queMun majorant de???f(n+1)???sur[0,x](ou[x,0]On a : :

?x?I,? ????f(x)-n? k=0f

Soitx?R.

1. Déterminer, si x >0un majorant de???f(n+1)(t)???sur[0,x]et, six <0un majorant de???f(n+1)(t)??? sur[x,0] 2.

En déduire que, limn→+∞n

k=0x kk!=ex2.3 Formule de Taylor pour les polynômes Théorème 9. (Formule de Taylor pour les polynômes) Soitn?NetPun polynôme de degré au plusn. Alors pour touta,x?R, ?a,x?R, P(x) =P(a) +P?(a)(x-a) +P??(a)2! (x-a)2+...+P(n)(a)n!(x-a)n n? k=0P (k)(a)k!(x-a)k

Autrement dit :

1,(X-a),(X-a)2,...,(X-a)n?

est une base deRn[X]dans laquelle les coordonnées d"un polynômeP sont :

P(a),P?(a),P(2)(a)2

,...,P(n)(a)n!? Cette base est appelée "base de Taylor enadeRn[X]".Exercice de cours 5.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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