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Exercice 4 6 points
La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à
81 751 602 habitant aupremier janvier 2011.
De plus, on sait qu'en 2011le nombre des naissances en Allemagne ne compense pas le nombre dedécès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population alle-
mande à -0,22 %. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.Les résultats seront arrondis à l'unité.
Partie A
On propose l'algorithme suivant :
Entrée : Saisir le nombre entier naturel S Initialisation : Affecter à U la valeur 81 751 602Afffecter à N la valeur 0
Traitement : Tant que U > S
Affecter à U la valeur 0,9978×U
Affecter à N la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie : Afficher N
On saisit en entrée le nombre S = 81 200 000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que
nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ?Partie B
On note un l'effectif de la population de l'allemagne au premier janvier 2011+n.1. Déterminer u0 et u1.
2.a. Justifier que la suite (un) est une suite géométrique, de 1erterme 81 751 602 et de raison
0,9972.
b. Exprimer un en fonction de n.3. Si cette évolution de -0,22 % se confirme :
a. Quel serait l'effectif de la population de l'allemagne au premier janvier 2035 ? b. En quelle année la population passera-telle en dessous du seuil de 81 200 000 habitants ?Patie C
Dans cette partie, ontient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011, le solde migratoire(différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à
49 800 personnes.
On admet de plus que le taux d'évolution de -0,22 % ainsi que le solde migratoire restent constants
les années suivant 2011.ES Polynésie septembre 2013
1. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite (vn) dont on précisera le premier terme v0 ainsi
qu'une relation entre vn+1 et vn.2. Calculer v1 et v2. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ?
ES Polynésie septembre 2013
CORRECTION
Partie A
N = 0 U = 81 751 602
TEST U > S vrai
N = 1 U=81751602×0,9978=81571748à l'unité prèsTEST U > S vrai
N = 2 U=81571602×0,9978=81392290à l'unité près.TEST U > S vrai
N = 3 U=81392290×0,9978=81213227à l'unité près.TEST U > S vrai
N = 4 U=81213227×0,9978=81034558à l'unité près.TEST U > S FAUX
Donc Fin du Tant que et on affiche N = 4
Partie B
1. u0 est l'effectif de la population au 1er janvier 2011, u0= 81751602.
u1 est l'effectif de la population au 1er janvier 2011+1 = 2012. On estime le taux d'évolution de la population allemande à : -0,22 % donc u1=u0-0,22100×u0 et u1=81751602-179854= 81571748.
2.a. Pour tout entier naturel n.
un+1 est l'effectif de la population allemande au1er janvier 2011+n+1.
un Est l'effectif de la population allemande au 1er janvier 2011+n. un+1=un-0,22100un=(1-0,22
100)un=0,9978un
(un) est la suite géométrique de1er terme u0=81751602 et de raison q=0,9978.
b. Pour tout entier naturel n, un=u0×qn donc un=81751602×0,9978n3.a. 2035=2011+24 u24 sera l'effectif de la population au1er janvier 2035.
En utilisant la calculatrice on obtient :
u24=81751602×0,997824=77542583 b. On doit résoudre l'inéquation : 81200000>81751602×0,9978n où l'inconnue est n (entier
naturel). La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.ln(81200000)>ln(81751602×0,9978n) En utilisant les propriétés de la fonction logarithme népérien
ln(81200000)>ln(81751602)+ln(0,9978n) ln(81200000)-ln(81751602)>nln(0,9978) Or 0,9978<1 donc ln(0,9978)<0On obtient :
ES Polynésie septembre 2013
ln(81200000)-ln(81751602) ln(0,9978)N est un entier naturel donc 4⩽n.
L'effectif de la population passera en-dessous du seuil de 81200000 au1er janvier 2011+4=2015.
Partie C
1. u0=v0=81751602
vn est l'effectif de la population allemande au 1er janvier 2011+n vn+1 est l'effectif de la population allemande au 1er janvier 2011+n+1. Le taux d'évolution est : -0,22 % et le solde migratoire est ; 49800. vn+1=vn×0,9978+49800.2. v1=81758602×0,9978+49800=81571748+49800 à l'unité près.
v1= 81621548. v2=81621548×0,9978 v2= 81491781 à l'unité près. Dans un furtur proche l'effectif de la population allemande continuera de baisser.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] bac es math metropole 2016
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