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EXERCICE1(4 points)
Question 1:
Réponse d
Un vecteur directeur de la droiteDest le vecteur-→d(1, 2, 3), un vecteur directeur de la droiteD?est le vecteur-→d?(1, 1,-1).-→d·-→d?=1+2-3=0. Ces deux vecteurs sont orthogonaux,les droitesDetD?sont donc orthogonales. Aussipar élimination: la a. est fausse car les vecteurs directeursne sont pas colinéaires, b. est fausse car il n"y a pas de point d"intersection et c. est fausse car C n"est pas sur D.Question 2:
Réponse c
Un vecteur normal au planPest le vecteur-→n(1,1,-1). Ce vecteur est un vecteur directeur de la droiteD?. Ce qui entraîne que ce plan est orthogonalà la droiteD?.Question 3:
Réponse c
AB=?4+16+36=?56=2?14, AC=?16+36+4=?56, BC=?36+4+16=?56.
Ces trois distances sont égales, il en résulte que le triangleABC est équilatéral.Question 4:
Réponse b
Pour déterminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normalau planP?, il suffit de véri- fier si ces vecteurs sont orthogonauxà deux vecteurs deP?qui sont non colinéaires.Prenons-→d?(1, 1,-1) et-→u=--→AD?, où A(1,-1, 2)et D?est un pointdeD?, par exemplecelui
de coordonnées (1, 3, 4), soit--→AD?(0, 4, 2).On vérifie que-→d?et--→AD?ne sont pas colinéaires, et on constate que, dans le second cas :
Ce qui signifie que le vecteur
-→n(3,-1, 2) est un vecteur normal au planP?.Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE2(5 points)
PartieA
1. E0,7C 0,95 C0,05 E 0,3C 0,99 C0,012.On chercheP?
C∩
E? =PE(C)×P?E? =0,95×0,70=0,6653.D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P?
C∩
E? +P(C∩E)=0,665+0,99×0,30=0,962.4.PC(E)=P(E∩C)
P(C)=0,99×0,300,962≈0,309 à 10-3prèsPartieB
1.Xsuit la loi normaleN?0,17 ; 0,0062?.
la table. a.D"après le cours, commeYsuit une loi normaleN?m2;σ22?, alorsZ=Y-m2 σ2suit la loi normale centrée réduiteN(0,1). b.0,16?Y?0,18??0,16-0,17
σ2?Y-0,17σ2?0,18-0,17σ2
soit-0,01σ2?Z?0,01σ2
Donc lorsqueYappartient à l"intervalle[0,16 ; 0,18], alorsZappartient à l"in- tervalle -0,01σ2;0,01σ2?
c.On sait que cette probabilité doit être égale à 0,990, le tableau donné permet d"obtenirβ=2,5758
d"où 0,01σ2=2,5758?σ2=0,00385
En conclusion, à 10
-3près,σ≈0,004.Liban228 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE3(6 points)
PartieA
1.Puisque limx-→+∞e-x=0, il vient, limx-→+∞f1(x)=1
Puisque lim
x-→-∞e-x=+∞, il vient, limx-→+∞f1(x)=0 Graphiquement cela signifie que les droites d"équationy=0 ety=1 sont deux2.f1(x)=ex×1
ex(1+e-x)=exex+1=ex1+ex3.f?1=--e-x
(1+e-x)2=e-x(1+e-x)2. Cette expressionétant toujoursstrictementpositivesurR, il en résulteque la fonc- tionf1est strictement croissante surR. 4. I=? 1 0 f1(x)dx=? 1 0e x1+exdx=?ln(1+ex)?10=ln(1+e)-ln2=ln?1+e2?
Is"interprètegraphiquementcomme la mesure en unitéd"aires du domainelimité parC1, l"axe desxet les droites d"équationsx=0 etx=1. C"est l"aire du rectangle de côté 1 et de longueur ln?1+e 2? qui vaut à peu près 0,62 unité d"aire (ce qui se vérifie visuellement sur l"annexe).PartieB
P ?x;f1(x)?etM?x;f-1(x)?.Kest le milieu de [MP].1.f1(x)+f-1(x)=ex
ex+1+1ex+1=ex+1ex+1=12.yK=yM+yP
2=f1(x)+f-1(x)2=12
Le point K est donc un point de la droite d"équationy=1 2.3.Il résultedelaquestionprécédenteque lesdeux courbessontsymétriquespar rap-
port à la droite d"équationy=1 2. A=2? 1 0 f1(x)-12dx=2?
1 0 f1(x)dx-? 1 0 dx=2ln?1+e2? -1≈0,24.PartieC
Liban328 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
1. Vrai: Quel que soitk?R, e-kx>0?1+e-kx>1?0<11+e-kx<1.
2. Faux: On a vu que la fonctionf-1est strictement décroissante surR.
3. Vrai: Car sik?10 alors-1
2k?-5 puis e-1
2k?e-5par croissance de la fonction
exponentielleet enfin 1+e-12k?1+e-5.
Finalement :
0,99<0,9933?1
1+e-5?11+e-12k=fk?12?
Liban428 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE4 : Enseignementobligatoire uniquement (5 points)PartieA
1.L"algorithmeno1 calcule tousles termesdev0àvnmaisn"affiche quele derniervn.
L"algorithmen
de 0 àvn.L"algorithme n
o3 calcule tous les termes de 0 àvnet les affiche tous. que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3.3. a.MontronsparrécurrencelapropriétéPn:pourtoutentiernatureln, 0 Initialisation:n=0, ona bien0On suppose donc que 0 Les opposés étant rangés dans l"ordre inverse : -3<-vn<0. L"addition respecte l"ordre, donc
6-3<6-vn<6 ou 3<-vn<6.
Les inverses de ces nombres positifs sont rangés dans l"ordre inverse : 1 6<16-vn<13.
Enfin la multiplicationpar un réel positif respecte l"ordre: 9×1
6<9×16-vn<9×13, soit32<96-vn<3 et enfin
0<3 2 Conclusion: par le principede récurrence,P0est vraie et si pourn?N,Pnvraie alorsPn+1est aussi vraie, donc on a démontré que pour tout natureln,Pn: 0 b.vn+1-vn=9 6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2
6-vn>0, ainsi la suite(vn)
est (strictement)croissante. c.Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. PartieB
Liban528 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
1.wn+1-wn=1vn+1-3-1vn-3=19
-vn+3 3vn-9=-vn-33(vn-3)=-13.
Ainsi la suite
(wn)est arithmétiquede raisonr=-1 3. 2.wn=w0+nr=1
1-3-13n=-12-13n.
Commewn=1
vn-3, on avn=1wn+3=1-12-13n+3=6-3-2n+3. Or lim
n→+∞6 -3-2n=0, donc limn→+∞vn=3. Liban628 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE4 : Enseignementde spécialité uniquement (5 points) 1.u2=5u1-6u0=40-18=22
u 3=5u2-6u1=110-48=62
2. a."bprend la valeur 5a-6c»
b.La suite semble être croissante. 3.A=?5-6
1 0? Prouvons par récurrence queCn=AnC0.
Initialisation: c"est vrai pourn=0, carA0est la matrice identité. Hérédité: soitn?N, tel queCn=AnC0, alorsCn+1=ACn=A(AnC0)= A×AnC0=An+1C0.
En conclusion,C0=A0C0et si pourn?N,Cn=AnC0alorsCn+1An+1C0; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout natureln,Cn=AnC0. 4.QP=?-1 3
1-2? ?
2 3 1 1? =?-2+3-3+3 2-2 3-2?
=?1 00 1? 5.Initialisation: c"est trivialement vrai pourn=1.
Hérédité: soit?N,n?0 tel queAn=PDnQ, alors : A La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rangnau moins égal à 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier natureln, non nulAn=PDnQ. 6.PuisqueCn=AnC0, on obtiendrauncomme la somme :
u Les deux suites de terme général 2
net 3nayant pour limite+∞, il en résulte que la suite (un) n"a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu"elle diverge vers+∞). Liban728 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
ANNEXE de l"EXERCICE 3, à rendre avecla copie
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
L"addition respecte l"ordre, donc
6-3<6-vn<6 ou 3<-vn<6.
Les inverses de ces nombres positifs sont rangés dans l"ordre inverse : 16<16-vn<13.
Enfin la multiplicationpar un réel positif respecte l"ordre:9×1
6<9×16-vn<9×13, soit32<96-vn<3 et enfin
0<32 Conclusion: par le principede récurrence,P0est vraie et si pourn?N,Pnvraie alorsPn+1est aussi vraie, donc on a démontré que pour tout natureln,Pn: 0 b.vn+1-vn=9 6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2
6-vn>0, ainsi la suite(vn)
est (strictement)croissante. c.Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. PartieB
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1.wn+1-wn=1vn+1-3-1vn-3=19
-vn+3 3vn-9=-vn-33(vn-3)=-13.
Ainsi la suite
(wn)est arithmétiquede raisonr=-1 3. 2.wn=w0+nr=1
1-3-13n=-12-13n.
Commewn=1
vn-3, on avn=1wn+3=1-12-13n+3=6-3-2n+3. Or lim
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EXERCICE4 : Enseignementde spécialité uniquement (5 points) 1.u2=5u1-6u0=40-18=22
u 3=5u2-6u1=110-48=62
2. a."bprend la valeur 5a-6c»
b.La suite semble être croissante. 3.A=?5-6
1 0? Prouvons par récurrence queCn=AnC0.
Initialisation: c"est vrai pourn=0, carA0est la matrice identité. Hérédité: soitn?N, tel queCn=AnC0, alorsCn+1=ACn=A(AnC0)= A×AnC0=An+1C0.
En conclusion,C0=A0C0et si pourn?N,Cn=AnC0alorsCn+1An+1C0; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout natureln,Cn=AnC0. 4.QP=?-1 3
1-2? ?
2 3 1 1? =?-2+3-3+3 2-2 3-2?
=?1 00 1? 5.Initialisation: c"est trivialement vrai pourn=1.
Hérédité: soit?N,n?0 tel queAn=PDnQ, alors : A La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rangnau moins égal à 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier natureln, non nulAn=PDnQ. 6.PuisqueCn=AnC0, on obtiendrauncomme la somme :
u Les deux suites de terme général 2
net 3nayant pour limite+∞, il en résulte que la suite (un) n"a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu"elle diverge vers+∞). Liban728 mai 2013
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ANNEXE de l"EXERCICE 3, à rendre avecla copie
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0 b.vn+1-vn=9 6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn-3>0, donc()2>0 et vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2
6-vn>0, ainsi la suite(vn)
est (strictement)croissante. c.Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. PartieB
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1.wn+1-wn=1vn+1-3-1vn-3=19
-vn+3 3vn-9=-vn-33(vn-3)=-13.
Ainsi la suite
(wn)est arithmétiquede raisonr=-1 3. 2.wn=w0+nr=1
1-3-13n=-12-13n.
Commewn=1
vn-3, on avn=1wn+3=1-12-13n+3=6-3-2n+3. Or lim
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u 3=5u2-6u1=110-48=62
2. a."bprend la valeur 5a-6c»
b.La suite semble être croissante. 3.A=?5-6
1 0? Prouvons par récurrence queCn=AnC0.
Initialisation: c"est vrai pourn=0, carA0est la matrice identité. Hérédité: soitn?N, tel queCn=AnC0, alorsCn+1=ACn=A(AnC0)= A×AnC0=An+1C0.
En conclusion,C0=A0C0et si pourn?N,Cn=AnC0alorsCn+1An+1C0; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout natureln,Cn=AnC0. 4.QP=?-1 3
1-2? ?
2 3 1 1? =?-2+3-3+3 2-2 3-2?
=?1 00 1? 5.Initialisation: c"est trivialement vrai pourn=1.
Hérédité: soit?N,n?0 tel queAn=PDnQ, alors : A La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rangnau moins égal à 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier natureln, non nulAn=PDnQ. 6.PuisqueCn=AnC0, on obtiendrauncomme la somme :
u Les deux suites de terme général 2
net 3nayant pour limite+∞, il en résulte que la suite (un) n"a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu"elle diverge vers+∞). Liban728 mai 2013
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ANNEXE de l"EXERCICE 3, à rendre avecla copie
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6-vn-vn=9-vn(6-vn)6-vn=9-6vn+v2n6-vn(
vn-3)26-vn. Or, d"après la question précédente, 0vn<3<6, donc 6-vn>0, doncvn+1-vn=(vn-3)2
6-vn>0, ainsi la suite(vn)
est (strictement)croissante. c.Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.PartieB
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1.wn+1-wn=1vn+1-3-1vn-3=19
-vn+33vn-9=-vn-33(vn-3)=-13.
Ainsi la suite
(wn)est arithmétiquede raisonr=-1 3.2.wn=w0+nr=1
1-3-13n=-12-13n.
Commewn=1
vn-3, on avn=1wn+3=1-12-13n+3=6-3-2n+3.Or lim
n→+∞6 -3-2n=0, donc limn→+∞vn=3.Liban628 mai 2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
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u3=5u2-6u1=110-48=62
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b.La suite semble être croissante.3.A=?5-6
1 0?Prouvons par récurrence queCn=AnC0.
Initialisation: c"est vrai pourn=0, carA0est la matrice identité. Hérédité: soitn?N, tel queCn=AnC0, alorsCn+1=ACn=A(AnC0)=A×AnC0=An+1C0.
En conclusion,C0=A0C0et si pourn?N,Cn=AnC0alorsCn+1An+1C0; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout natureln,Cn=AnC0.4.QP=?-1 3
1-2? ?
2 3 1 1? =?-2+3-3+32-2 3-2?
=?1 00 1?5.Initialisation: c"est trivialement vrai pourn=1.
Hérédité: soit?N,n?0 tel queAn=PDnQ, alors : A La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rangnau moins égal à 1, elle est vraie au rang suivant. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout entier natureln, non nulAn=PDnQ.6.PuisqueCn=AnC0, on obtiendrauncomme la somme :
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net 3nayant pour limite+∞, il en résulte que la suite (un) n"a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu"elle diverge vers+∞).Liban728 mai 2013
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