[PDF] Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 20 juin 2016

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Métropole-La Réunion 20 juin 2016?

EXERCICE16POINTS

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Utilisons un arbre pondéré :Les hypothèses s"écrivent :P(A)=0,4 PA(

S)=0,2 PB(S)=0,05.

On en déduit :

P(B)=1-P(A)=0,6

P

A(S)=1-PA(

S)=1-0,2=0,8

P

B(S)=1-PB(

S)=1-0,05=0,95

On a ensuite :

0,89 ?A

0.4S:A∩S

0.8

S:A∩S0.2

B

0.6S:B∩S

0.95

S:B∩S0.05

2.Calculons PS(A) :

P

S(A)=P(A∩S)

P(S)=0,4×0,80,89=3289

Une valeur approchée, à 10-2près, de la probabilité cherchée est 0,36.

PartieB

1.Notonsfla fréquence observée de composants sans défaut .

On a???f=0,92

?30 n×f=400×0,92=368?5 n(1-f)=400×0,08=32?5 Les conditions d"utilisation d"un intervalle de confiance sont réunies. Un intervalle de confiance de la proportionp, au niveau de confiance 0,95 est

0,92-1

?400;0,92+1?400? =[0,87;0,97]

2.Pour un échantillon de taillen, l"intervalle de confiance est

0,92-1

?n;0,92+1?n? dont l"amplitude est 2 ?n L"amplitude est au maximum égale à 0,02 si et seulement si 2 ?n?0,02 (1)

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

(1)??2?0,02?n n?100 ??n?10000 car la fonction racine carrée est croissante surR+

La taille minimum de l"échantillon est 10000

PartieC

1. a. P(T?a) est l"aire, en unités d"aire, du domaine limité parC, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=0 etx=a b.Soitt?[0,+∞[ :

P(T?t)=t?

0f(x)dx

t?

0λe-λxdx

?-e-λx?t 0 ?-e-λt?-?-e-λ×0? ?-e-λt?-(-1) =1-e-λt ?t?[0,+∞[ P(T?t)=1-e-λt c.De???????lim t→+∞-λt

λ>0=-∞

et limX→-∞eX=0on déduit, par composition : lim t→+∞e-λt=0.

On a ensuite, par somme : lim

t→+∞(1-e-λt)=1-0=1 : limt→+∞P(T?t)=1

2.L"hypothèse s"écrit : 1-e-7λ=0,5 (1)

(1)??e-7λ=0,5 ?? -7λ=ln1 2 ?? -7λ=-ln2 ??λ=ln2 7 Une valeur approchée deλ, à 10-3près, est 0,099

20 juin 20162Métropole-La Réunion

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3. a.La question est de déterminer P(T?5).

Puisque P(T?5)=1-e-0,099×5, alors

La probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans estenviron 0,61 b.Il s"agit de calculer P (T?2)(T?7) La loi exponentielle étant une loi de durée de vie sans vieillissement, on a P (T?2)(T?7)=P(T?5)

La probabilité cherchée est environ 0,61

c.E(T)=1λ:

Une valeur approchée de l"espérance de T est environ 10,10 : la durée de vie moyenne d"un com-

posant est d"environ 10 ans

EXERCICE24POINTS

Commun à tous les candidats

Affirmation1

Les vecteurs--→ABet--→ACont pour coordonnées respectives((2 -2 -2)) et--→AC((-2 -2 -2)) . Puisque-2

2?=-2-2, les

vecteurs

--→ABet--→ACn"ont pas leurs coordonnées proportionnelles. Les points A,B et C ne sont donc

pas alignés :

L"affirmation 1 est fausse.

Affirmation2

Calculons?n.--→ABet?n.--→AC:

Le vecteur

?nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC): on en déduit que le vec- teur ?nest normal au plan (ABC) :

L"affirmation 2 est vraie.

Affirmation3

Première méthode :

•Montrons tout d"abord que la droite (EF) et le plan (ABC) sontsécants : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants si et seulement siles vecteurs?n((01 -1)) et--→EF((-1 -1 1)) ne sont pas orthogonaux. Calculons ?n.--→EF:

20 juin 20163Métropole-La Réunion

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Puisque

?n.--→EF?=0, alors

La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants

•Puisque le milieuIdu segment [BC] appartient manifestement au plan (ABC), il suffit de vérifier si

Iappartient à la droite (EF) :

Le milieuIdu segment [BC] a pour coordonnées

xB+xC

2,yB+yC2,zB+zC2?

=(1,0,1)

Les vecteurs

--→EFet-→EIont pour coordonnées respectives((-1 -1 1)) et((22 -2))

Puisque

-→EI=-2--→EF, les pointsE,IetFsont alignés :

I?(EF)

On a prouvé que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants en le milieu du segment [BC] :

L"affirmation 3 est vraie.

Seconde méthode :

•Déterminons une représentation paramétrique de la droite (EF) : La droite (EF) passe parE(-1,-2,3) et est dirigée par--→EF((-1 -1 1)) . Une représentation paramétrique de la droite (EF) est alors ?x=-1-t y=-2-t(t?R) z=3+t •Déterminons une équation cartésienne du plan (ABC), notéP: Puisque?n((01 -1)) est normal au plan

P, ce dernier a une équation de la forme

y-z+d=0 oùd?R PuisqueA(1,2,3) est un point deP, alorsyA-zA+d=0, soitd=-yA+zA=1

Une équation du planPesty-z+1=0

•Déterminons (EF)∩P:

SoitMun point de la droite (EF). IL existe alors un nombre réelttel que ?x

M=-1-t

y

M=-2-t

z M=3+t M appartient àPsi et seulement siyM-zM+1=0, i.e : -2-t-(3+t)+1=0

20 juin 20164Métropole-La Réunion

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

soit t=-2 La droite (EF) et le planPsont donc sécants en un point I de coordonnées (-1-(-2),-2-(-2),3+ (-2))=(1,0,1) Reste à vérifier que I est le milieu de [BC] :

Le milieu du segment [BC] a pour coordonnées

xB+xC

2,yB+yC2,zB+zC2?

=(1,0,1)

On en déduit que I est le milieu de [BC]

L"affirmation 3 est vraie.

Affirmation4

Première méthode :

•Les vecteurs--→ABet--→CDont pour coordonnées respectives((2 -2 -2)) et((31 -2)) . N"ayant pas leurs coor- données proportionnelles, les vecteurs --→ABet--→CDne sont pas colinéaires : Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles

•Les droites (AB) et (CD) sont donc soit sécantes, soit non coplanaires, selon que le point D appar-

tient ou non au plan (ABC) : Une première manière de montrer que D n"appartient pas au plan (ABC) : D appartient au plan (ABC) si et seulement si les vecteurs--→AD((1 -1 -4)) et?n((01 -1)) sont orthogo- naux.

Puisque

--→AB.?n=-1+4=3?=0, alors D n"appartient pas au plan (ABC). Une seconde manière de montrer que D n"appartient pas au plan(ABC) :

Puisque les vecteurs--→ABet--→ACne sont pas colinéaires, D appartient au plan (ABC)si et seule-

ment si le vecteur --→AD((1 -1 -4)) s"écrit en fonction des vecteurs--→ABet--→AC, autrement dit si et seulement si il existe deux nombres réelsαetβtels que

AD=α--→AB+β--→AC

L"égalité ci-dessus est équivalente au système : ?1=2α-2β -1=-2α-2β -4=-2α-2β Les deux dernières équations étant incompatibles, D n"est pas un point du plan (ABC). Les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires :

L"affirmation 4 est fausse.

20 juin 20165Métropole-La Réunion

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Seconde méthode :

•Déterminons des représentations paramétriques des droites (AB) et (CD) : La droite (AB) passe par A(1,2,3) et est dirigée par --→AB((2 -2 -2)) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc : ?x=1+2t y=2-2t(t?R) z=3-2t La droite (CD) passe par C(-1,0,1) et est dirigée par --→CD((31 -2)) Une représentation paramétrique de la droite (D) est donc : ?x=-1+3t y=t(t?R) z=1-2t •Déterminons (AB)∩(CD) : Résolvons pour cela le système???1+2t= -1+3t?

2-2t=t?

3-2t=t?(1) :

(1)?????2t-3t?= -2

2t+t?=2

2t+t?=3Lesystèmen"ayantpasdesolution, onendéduitquelesdroitesnesont

pas sécantes :

L"affirmation 4 est fausse.

EXERCICE35POINTS

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

PartieA

1.Soitx?R:

f(x)=x ??x-ln(x2+1)=x ??ln(x2+1)=0 ??x2+1=e0 ??x2=0 ??x=0

L"équationf(x)=xadmet 0 pour unique solution

2.•Montrons quefest strictement croissante surR:

La fonctionu:x?→x2+1 est une fonction trinôme, donc dérivable là où elle est définie, i.eR.

Puisqueu>0 surR, alors la fonction ln◦u=lnuest dérivable surR. Finalement, la fonctionfest dérivable surRcomme différence des fonctionsx?→xetx?→ -ln(x2+1), toutes deux dérivables surR. Pour tout nombre réelx, on a :

20 juin 20166Métropole-La Réunion

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

f?(x)=1-2xx2+1=x2+1-2xx2+1=(x-1)2x2+1 Lafonctionfest dérivablesurRetsafonction dérivée eststrictement positive surR,saufpour x=1 : on en déduit que fest strictement croissante surR.

•Montrons limx→-∞f(x)=-∞:

De ?lim x→-∞x2+1=+∞ et limX→+∞lnX=+∞on déduit, par composition : limx→-∞ln(x2+1)=+∞.

Il vient ensuite, par produit :

limx→-∞-ln(x2+1)=-∞ De ?lim x→-∞x=-∞ et limx→-∞-ln(x2+1)=-∞on déduit, par somme : limx→-∞f(x)=-∞

3.La fonctionfest (strictement) croissante sur [0,1]. Par suite :

?x?[0,1]f(0)?f(x)?f(1) On a ?f(0)=0-ln(02+1)=0 et f(1)=1-ln(12+1)=1-ln2. Puisque 1-ln2<1, alors ?x?[0,1] 0?f(x)<1

On a prouvé :

?x?[0,1]f(x)?[0,1]

4. a.L"algorithme affiche la plus petite valeur deNpour laquelleN-ln(N2+1) est supérieur ou

égal àN.

b.PourA=100, l"algorithme affiche 110

PartieB

1.Pour tout entier natureln, notonsPnla propriété :un?[0,1].

•Puisqueu0=1,P0est vraie.

•Supposons vraie la propriétéPnpourunentier naturelnquelconque.

On a alors :un?[0 ; 1].

D"après la troisième question de la partie A, on en déduit : f(un)?[0 ; 1] soit : u n+1?[0 ; 1]

On a prouvé :

?n?NPnest vraie=?Pn+1est vraie

•On a prouvé par récurrence :

?n?Nun?[0 ; 1]

20 juin 20167Métropole-La Réunion

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