[PDF] Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de spécialité

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Antilles Guyane. Septembre 2013. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

Restitution organisée de connaissances

•SiΔest orthogonale à toute droite du planP, en particulierΔest orthogonale aux droitesD1et àD2.

•Réciproquement, supposons queΔsoit orthogonale aux droitesD1et àD2. Il revient au même de dire que le vecteur-→vest orthogonal aux vecteurs-→u1et-→u2.

SoientDune droite du planPpuis-→uun vecteur directeur deD.

Puisque les droitesD1etD2sont deux droites sécantes du planP, les vecteurs-→u1et-→u2sont deux vecteurs non

colinéaires du planP. Puisque-→uest un vecteur du planP, on sait qu"il existe deux réelsλetμtels que

-→u=λ-→u1+μ-→u2.

Mais alors

-→v .-→u=-→v .?λ-→u1+μ-→u2?=λ-→v .-→u1+μ-→v .-→u2=0+0=0.

Le vecteur

-→vest orthogonal au vecteur-→uou encore la droiteΔest orthogonale àD.

On a ainsi montré que siΔest orthogonale à deux droites sécantes du planP, alorsΔest orthogonale à toute droite

du planP.

Partie B

Affirmation 1 VRAI

Affirmation 2 FAUX

Affirmation 3 VRAI

Affirmation 4 VRAI

Justification 1.Un vecteur directeur deΔest le vecteur-→v(1,3,-2).

Le vecteur-→ABa pour coordonnées(4,-2,-1)et le vecteur-→ACa pour coordonnées(-1,-1,-2). Les vecteurs-→ABet-→ACsont deux vecteurs non colinéaires du planP.

-→v .-→AB=1×4+3×(-2) + (-2)×(-1) =4-6+2=0 et -→v .-→AC=1×(-1) +3×(-1) + (-2)×(-2) = -1-3+4=0.

Le vecteur

-→vest orthogonal aux vecteurs-→ABet-→ACou encore la droiteΔest orthogonale aux droites(AB)et(AC).

On en déduit que la droiteΔest orthogonale à toute droite du planP. L"affirmation 1 est vraie.

Justification 2.Puisque la droiteΔest orthogonale à la droite(AB), les droitesΔet(AB)ne sont pas parallèles et

donc sont sécantes ou non coplanaires. Une représentation paramétrique de la droite(AB)est???x=4u y= -1-2u z=1-u,u?R. SoientM(t,3t-1,-2t+8),t?R, un point deΔetN(4u,1-2u,1-u),u?R, un point de(AB).

M=N????t=4u

3t-1=1-2u

-2t+8=1-u????t=4u

3(4u) -1=1-2u

-2(4u) +8=1-u????t=4u 14u=2 7u=7 ??????t=4u u=1 7u=1. http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Ce système n"a pas de solution et donc les droitesΔet(AB)ne sont pas sécantes. On en déduit que les droitesΔet

(AB)ne sont pas coplanaires. L"affirmation 2 est fausse. Justification 3.Les pointsA,BetCdéfinissent un unique plan à savoir le plan(ABC). •xA+3yA-2zA+5=0-3-2+5=0. Donc le pointAappartient au plan d"équationx+3y-2z+5=0. •xB+3yB-2zB+5=4-9+0+5=0. Donc le pointBappartient au plan d"équationx+3y-2z+5=0. •xC+3yC-2zC+5= -1-6+2+5=0. Donc le pointCappartient au plan d"équationx+3y-2z+5=0. Ainsi, les pointsA,BetCappartiennent au plan d"équationx+3y-2z+5=0et donc le plan(ABC)est le plan d"équationx+3y-2z=0. L"affirmation 3 est vraie.

Justification 4.Le plan(ABC)admet pour vecteur normal le vecteur-→n(1,3,-2)et la droiteΔadmet pour vecteur

directeur le vecteur-→u(11; -1;4). -→u.-→n=11×1+ (-1)×3+4×(-2) =11-3-8=0.

Les vecteurs

-→uet-→nsont orthogonaux et donc la droiteDest parallèle au plan d"équationx+3y-2z+5=0qui est

le plan(ABC). Plus précisément, la droiteDest strictement parallèle au plan(ABC)ou incluse dans le plan(ABC).

D"autre part,

x

O+3yO-2z0+5=0+0+0+5=0t+5=5.

Donc, le pointOn"appartient pas au plan d"équationx+3y-2z+5=0et on en déduit que la droiteDest strictement

parallèle au plan d"équationx+3y-2z+5=0. L"affirmation 4 est vraie. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 2Partie A : Étude du cask=1

1) Limite defen-∞.limx→-∞e-x=limX→+∞eX= +∞. D"autre part, limx→-∞x= -∞. En multipliant, on obtient

lim x→-∞f1(x) = -∞.

Limite defen+∞.Pour tout réel non nulx,

f

1(x) =xe-x=x

ex=1ex/x. D"après un théorème de croissances comparées, lim x→+∞e x x= +∞. En prenant l"inverse, on obtient lim x→+∞f1(x) =0. On en déduit que la courbeC1admet l"axe(Ox)pour asymptote en+∞.

2)La fonctionf1est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

f ?1(x) =1×e-x+x×(-1)×e-x= (1-x)e-x.

Pour tout réelx,e-x> 0et donc pour tout réelx,f?1(x)est du signe de1-x. On en déduit le tableau de variation

de la fonctionf1surR. x-∞1+∞ f?1(x)+0- e-1 f1 -∞0

3)La fonctiong1est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

g ?1(x) = -?1×e-x+ (x+1)×(-1)×e-x?= -(1-x-1)e-x=xe-x=f1(x). Donc la fonctiong1est une primitive de la fonctionf1surR.

4)Pour tout réelx,e-x> 0. Donc pour tout réelx,f1(x)est du signe dex. La fonctionf1est donc strictement

négative sur] -∞,0[, strictement positive sur]0,+∞[et s"annule en0.

5)La fonctionf1est continue et positive sur l"intervalle[0,ln10].

0.20.40.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4-0.2

C1

Donc l"aire demandée est

A=? ln10 0 f

1(x)dx= [g1(x)]ln10

0=?-(ln10+1)e-ln10?-?-(0+1)e0?

= -(ln10+1)1 eln10+1=1-ln10+110=9-ln1010. http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Partie B : Propriétés graphiques1)Pour tout réelkstrictement positif,fk(0) =0et donc pour tout réelkstrictement positif, la courbeCkpasse

parO.

2) a)Soitkun réel strictement positif. La fonctionfkest dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables

surRet pour tout réelx, f ?k(x) =k?1×e-kx+x×(-k)×e-kx?=k(1-kx)e-kx.

b)Pour tout réelx,f?k(x)est du signe de1-kx. Par suite, puisquek > 0, la fonctionf?kest strictement positive sur?

-∞,1 k? , strictement négative sur?1k,+∞? et s"annule en1k. On en déduit que la fonctionfkadmet un maximum en1 ket que ce maximum est égal à f k?1 k? =k×1k×e-k×1 k=e-1=1e. c)L"abscisse du sommet de la courbeCaest environ0,1=1

10et donc

aest environ égal à10.

d)Une équation de la tangente àCkau pointOesty=f?k(0)(x-0)+fk(0)avecfk(0) =0etf?k(0) =k(1-0)e0=k.

Donc une équation de la tangente àCkau pointOesty=kx. e)Le coefficient directeur deTest0,6

0,2=3et le coefficient directeur de la tangente àCbau pointOestb. Donc

b=3. http ://www.maths-france.fr 4c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 31)La probabilité demandée estp1=P(35,4?X?36,6). La calculatrice (ou le cours) fournit

p

1=0,997à10-3près par défaut.

2)D"après le tableau

P(5,88?Y?6,12) =P(Y?6,12) -P(Y?5,88) =0,991 802 464-0,008 197 536=0,983 604 928. Donc p

2=0,983à10-3près par défaut.

3) a)La probabilité demandée estP(L∩D). Puisque les événementsLetDsont indépendants,

P(L∩D) =P(L)×P(D) =p1×p2=0,997×0,983=0,98arrondi à10-2.

P(L∩D) =0,98arrondi à10-2.

b)La probabilité demandée estPL(D). Puisque les événementsLestDsont indépendants,PL(D) =P(D) =p2.

http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 4Partie A1)Le nombre3est strictement inférieur à26et donc l"algorithme s"arrête immédiatement et affiche3.

Quand on saisit le nombre3, l"algorithme affiche le nombre3.

2)La variableXprend successivement les valeurs55puis55-26=29puis29-26=3puis l"algorithme s"arrête et

affiche3. Quand on saisit le nombre55, l"algorithme affiche le nombre3.

3)L"algorithme retranche un certain nombre de fois26àA. Si on noteqce nombre,A-26qest un entierrcompris

au sens large entre0et25ou encorerest le reste de la division euclidienne deApar26et l"algorithme afficher.

Pour un nombre entierAsaisi quelconque, le résultat affiché par l"algorithme est lereste de la division euclidienne de

Apar26.

Partie B

Justifions le passage de

?17 4?

à?5593?

puis à?3 15? ?3 15 2?? 17 4? =?3×17+1×4

5×17+2×4?

=?5593?

Ensuite,55=2×26+3et donc55≡3(26)avec0?3?25. De même,93=3×26+15et donc93≡15(26)avec

0?15?25. Donc

?17 4? →?5593? →?3 15?

1) a)x1etx2sont respectivement transformés eny1=3x1+x2ety2=5x1+2x2. De même,x?1etx?2sont

respectivement transformés eny?1=3x?1+x?2ety2=5x?1+2x?2.

Puisquey1≡z1(26)ety?1≡z1(26), on en déduit quey1≡y?1(26)ou encore que3x1+x2≡3x?1+x?2(26). De

même,5x1+2x2≡5x?1+2x?2(26).

On a montré que?3x1+x2≡3x?1+x?2(26)

5x

1+2x2≡5x?1+2x?2(26).

b)On en déduit que2(3x1+x2) - (5x1+2x2)≡2(3x?1+x?2) - (5x?1+2x?2) (26)ou encore quex1≡x?1(26).

De même,-5(3x1+x2) +3(5x1+2x2)≡-5(3x?1+x?2) +3(5x?1+2x?2) (26)et doncx2≡x?2(26). Ainsi,x1≡x?1(26)avec de plus0?x1?25et0?x?1?25. On sait alors quex1=x?1. De même,x2=x?2. 2) a) CC ?=?3 15 2?? 2-1 -5 3? =?3×2+1×(-5)3×(-1) +1×3

5×2+2×(-5)5×(-1) +2×3?

=?1 00 1? =I. PuisqueCC?=I, on sait queC?C=Iet donc la matriceCest inversible, d"inverse la matriceC?. b) ?y1 y 2? =?2-1 -5 3?? 3 15? =?2×3+ (-1)×15 (-5)×3+3×15? =?-9 30?

c)-9≡-9+26(26)ou encore-9≡17(26)avec0?17?25. De même,30≡30-26(26)ou encore30≡4(26)

avec0?4?25. Donc ?x1 x 2? =?17 4?

d)L"exemple précédent suggère que le décodage d"un message sefait comme son codage, en remplaçant la matriceC

par la matriceC?inverse de la matriceC. 3) ?y?1y?2? =?2-1 -5 3?? z1 z 2? =?2z1-z2 -5z1+3z2?

Ensuite, modulo26,

http ://www.maths-france.fr 6 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

3x1+x2≡3y?1+y?2≡3(2z1-z2) + (-5z1+3z2)≡z1,

et 5x

1+2x2≡5y?1+2y?2≡5(2z1-z2) +2(-5z1+3z2)≡z2.

On a montré que?3x1+x2≡z1(26)

5x

1+2x2≡z2(26).

Ainsi, le mot représenté par

?x1 x 2? se code en le mot représenté par?z1 z 2? . La question 1)b) montre que c"est le seul et donc le mot représenté par ?z1 z 2? se décode en le mot représenté par?x1 x 2?

4)Le mot QC est représenté par?z1

z 2? oùz1=16etz2=2. C ??z1 z 2? =?2-1 -5 3?? 16 2? =?30 -74? Ensuite,30≡30-26(26)ou encore30≡4(26)avec0?4?25. Doncx1=4.

De même,-74≡-74+3×26(26)ou encore-74≡4(26). Donc,x2=4. Puisque le nombre 4 correspond à la lettre

E, le mot QP se décode en le mot EE. http ://www.maths-france.fr 7c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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